Méthodes d’estimation sur petits domaines avec échantillonnage défini par un seuil d’inclusion
Section 8. Expériences de simulation

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8.1  Objectifs et description générale

Dans la présente section, nous décrirons des expériences de simulation conçues pour comparer les propriétés des petits échantillons des estimateurs de ${\overline{Y}}_i$ présentés plus haut dans le contexte de l’échantillonnage défini par un seuil d’inclusion. Plus précisément, nous comparons l’estimateur direct naïf ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{HA}},$ les estimateurs par calage ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{LCAL}}$ et ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{LCALN}},$ et l’EBLUP selon le modèle à erreurs emboîtées ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{EBLUP}},$ dans deux scénarios différents. Dans le premier scénario, les valeurs de la variable cible pour toutes les unités de population sont générées à partir du même modèle. Dans le deuxième, les unités incluses et exclues sont générées à partir de modèles différents.

En l’absence d’échantillonnage défini par un seuil d’inclusion, les estimateurs par calage sont convergents par rapport au plan de sondage à mesure que la taille du domaine $n_i$ augmente même si le modèle correspondant ne se vérifie pas, mais cela n’est pas le cas pour les estimateurs fondés sur un modèle. D’autre part, selon le modèle correspondant, l’EBLUP d’un paramètre linéaire est approximativement l’estimateur linéaire et sans biais le plus efficace, de sorte que la réalisation de simulations selon un modèle n’apporterait pas de nouvelles connaissances. L’objectif ici est de déterminer si les prédicteurs fondés sur un modèle ont également de bonnes performances pour ce qui est du plan (d’échantillonnage défini par un seuil d’inclusion). C’est pourquoi, nous exécutons des simulations fondées sur le plan de sondage en générant un vecteur de population $y\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(y_1^{\prime }\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{y}_m^{\prime }\right)}^{\prime }$ à partir du modèle à erreurs emboîtées dans (5.1), en le maintenant fixe et en tirant à répétition un nouvel échantillon défini par un seuil d’inclusion dans chaque simulation Monte-Carlo. On répartit les unités aux ensembles d’unités incluses ou exclues en générant une variable binaire aléatoire $c_{ij}$ pour chaque unité $j\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}{N}_i$ et chaque domaine $i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}m.$ Les unités $j$ avec $c_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}1$ sont attribuées à $U_{iI}$ et celles avec $c_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}0$ sont attribuées à $U_{iE}.$ Dans chaque répétition Monte-Carlo, des échantillons sont tirés, indépendamment pour chaque domaine $i,$ à partir des unités $U_{iI}$ $i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}m.$

8.2  Modèle de régression commun

Nous considérons une population de $N\mathrm{<mo>=</mo>}$ 20 000 individus divisés en $m\mathrm{<mo>=</mo>}$ 80 domaines d’une même taille $N_i\mathrm{<mo>=</mo>}$ 250, $i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}m.$ Nous considérons trois variables auxiliaires, avec des valeurs générées sous la forme $x_{ij\kappa }\stackrel{\text{iid}}{{\displaystyle \sim }}N\left(3,2\right),$ $\kappa \mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\mathrm{2,}3.$ Les variables binaires $c_{ij}$ déterminant la répartition des unités dans $U_{iI}$ ou $U_{iE}$ pour chaque domaine $i$ sont générées indépendamment en tant que $c_{ij}\stackrel{\text{ind}}{{\displaystyle \sim }}\text{Bern}\left(p_{j|i}\right),$ où les probabilités $p_{j|i}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{Pr}\left(c_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}\right)$ sont liées au vecteur des variables auxiliaires $x_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(x_{ij1}\mathrm{,}{x}_{ij2}\mathrm{,}{x}_{ij3}\right)}^{\prime }$ sous la forme

$$p_{j|i}=\frac{\exp \left(x_{ij}^{\prime }\zeta \right)}{1+\exp \left(x_{ij}^{\prime }\zeta \right)}\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}{N}_i\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}m\mathrm{.}$$

Nous prenons $\zeta \mathrm{<mo>=</mo>}{\left(\text{0,75;}1;1\right)}^{\prime }.$ À partir de cette valeur, le nombre total d’unités incluses (avec $c_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}1)$ de tous les domaines représente environ la moitié de la population.

On génère les valeurs de la variable cible $y_{ij}$ à partir du modèle à erreurs emboîtées (5.1) au moyen de $x_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(x_{ij1}\mathrm{,}{x}_{ij2}\mathrm{,}{x}_{ij3}\right)}^{\prime }$ et en prenant $\beta \mathrm{<mo>=</mo>}{\left(1;\text{1,5;}1\right)}^{\prime },$ ${\sigma }_u^2\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(\text{0,75}\right)}^2$ et ${\sigma }_e^2\mathrm{<mo>=</mo>}{4}^2,$ ce qui donne un coefficient de détermination $R^2\approx \text{0,5}\text{.}$ Alors, si l’on garde les valeurs de population $\left\{\left(x_{ij}\mathrm{,}{y}_{ij}\mathrm{,}{c}_{ij}\right)\mathrm{<mo>;</mo>}j\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}{N}_i\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}m\right\}$ fixes, on tire $K\mathrm{<mo>=</mo>}$ 1 000 échantillons Monte-Carlo $s^{\left(\text{}k\text{}\right)},$ $k\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}K.$ On obtient chacun de ces échantillons en tirant des sous-échantillons indépendants $s_i^{\left(\text{}k\text{}\right)}$ de taille $n_i$ des unités dans $U_{iI}$ par échantillonnage aléatoire simple sans remise, $i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}m.$ On suppose les tailles d’échantillon de domaine $n_i\in \left\{5;10;30;50\right\},$ chaque taille d’échantillon étant répétée pour 20 domaines subséquents. Au moyen des données de l’échantillon $k^{\text{e}}$ nous calculons l’estimateur direct de base, les estimateurs par calage au niveau du domaine (LCAL) et au niveau de la population (LCALN), ainsi que l’EBLUP. Les poids, $h_{j|i}$ et $g_{j|i},$ dans les estimateurs par calage (4.3) et (4.6) respectivement sont obtenus au moyen de la fonction calib du module sampling (Tillé et Matei, 2016) de R (R Development Core Team, 2016). Les EBLUP sont obtenus au moyen du module de R sae (Molina et Marhuenda, 2015), qui, par défaut, estime les paramètres du modèle ${\sigma }_u^2,$ ${\sigma }_e^2$ et $\beta$ au moyen du maximum de vraisemblance restreint (ou REML, pour restricted maximum likelihood).

Supposons que ${\widehat{\overline{Y}}}_i$ est un estimateur générique de ${\overline{Y}}_i$ et ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\left(\text{}k\text{}\right)}$ sa valeur obtenue avec l’échantillon $k^{\text{e}}.$ Nous évaluons les performances des estimateurs en termes de biais relatif (BR) et de racine carrée de l’EQM relative (REQMR) selon le plan, dont on obtient une approximation empirique comme suit

$${\text{BR}}_{\pi }\left({\widehat{\overline{Y}}}_i\right)\mathrm{<mo>=</mo>}100\frac{K^{-1}{\displaystyle {\sum }_{k\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^K\left({\widehat{\overline{Y}}}_i^{\left(\text{}k\text{}\right)}-{\overline{Y}}_i\right)}}{{\overline{Y}}_i}\mathrm{,}{\text{REQMR}}_{\pi }\left({\widehat{\overline{Y}}}_i\right)\mathrm{<mo>=</mo>}100\frac{\sqrt{K^{-1}{{\displaystyle {\sum }_{k\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^K\left({\widehat{\overline{Y}}}_i^{\left(\text{}k\text{}\right)}-{\overline{Y}}_i\right)}}^2}}{{\overline{Y}}_i}\mathrm{.}$$

Nous calculons en outre les moyennes sur les domaines du BR absolu et de la REQMR comme suit

$$\overline{\text{BRA}}\mathrm{<mo>=</mo>}{m}^{-1}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m}\left|{\text{BR}}_{\pi }\left({\widehat{\overline{Y}}}_i\right)\right|\mathrm{,}\overline{\text{REQMR}}\mathrm{<mo>=</mo>}{m}^{-1}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m}{\text{REQMR}}_{\pi }\left({\widehat{\overline{Y}}}_i\right)\mathrm{.}$$

La figure 8.1 présente des diagrammes de quartiles du pourcentage de BR pour les estimateurs de la moyenne considérés ${\overline{Y}}_i,$ où chaque diagramme de quartile correspond aux 20 domaines de chaque groupe des tailles d’échantillon $n_i\mathrm{<mo>=</mo>}5;10;30;50.$ Nous observons le biais important de l’échantillonnage défini par un seuil d’inclusion de l’estimateur direct de base, le BR médian étant supérieur à 20 % pour toutes les tailles d’échantillon de domaine. Ce biais de l’échantillonnage défini par un seuil d’inclusion est corrigé par tous les autres estimateurs. Néanmoins, l’estimateur LCALN donne des diagrammes de quartiles plus larges. Cet estimateur obtient un biais important pour certains domaines, probablement parce que le modèle l’assistant ne tient pas compte des effets de domaine. L’estimateur LCAL est fondé sur un modèle qui tient compte des effets de domaine et a de bonnes performances pour ce qui est du biais de plan uniformément pour toutes les tailles d’échantillon de domaine, mais l’EBLUP donne également d’assez bons résultats concernant le biais de plan.

Si nous observons maintenant la REQMR à la figure 8.2, nous pouvons voir que les REQMR des EBLUP sont nettement plus petites pour toutes les tailles d’échantillon de domaine. L’estimateur LCAL obtient des REQMR plus proches à mesure que la taille de l’échantillon de domaine augmente, mais pour $n_i\mathrm{<mo>=</mo>\; 5}$ il obtient des REQMR très grandes. Nous avons constaté que l’estimateur LCALN peut être fortement biaisé pour certains domaines et qu’il a aussi de grandes REQMR pour toutes les tailles d’échantillon de domaine. En résumé, EBLUP donne la REQMR de plan la plus basse tout en maîtrisant le biais de plan.

Le tableau 8.1 présente les moyennes pour tous les domaines du BR absolu et de la REQMR, ainsi que la part en pourcentage du carré du biais provenant de l’EQM totale du plan. Encore une fois, nous observons le biais important de l’échantillonnage défini par un seuil d’inclusion de l’estimateur direct de base, avec une proportion de biais de $B_{\pi }^2/{\text{EQM}}_{\pi }\approx$ 100 %, contrairement à tous les autres estimateurs. L’estimateur LCAL a le plus petit biais relatif absolu moyen, et il est suivi de près par l’estimateur EBLUP. Le LCALN obtient les meilleures performances pour ce qui est du ratio du biais en raison de son EQM importante. C’est pourquoi nous considérons que l’estimateur LCAL donne de meilleures performances. Comme cela a été dit, l’estimateur EBLUP est nettement plus performant si l’on examine à la fois le biais et l’EQM.

8.3  Différents modèles de régression

Dans la présente expérience de simulation, nous conservons les mêmes valeurs de population et plan d’échantillonnage qu’auparavant, mais les valeurs de la variable cible pour les unités incluses et exclues sont générées à partir de modèles ayant des valeurs de paramètres différentes. Il est entendu que ce scénario n’est pas favorable pour les estimateurs fondés sur un modèle considérés ici, mais il peut être réaliste, car en pratique, le modèle supposé ne peut pas être vérifié pour les unités exclues. Par conséquent, au lieu d’une valeur $\beta$ constante pour toutes les unités de population, nous supposons ${\beta }_I\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(1;1,5;1\right)}^{\prime }$ pour les unités incluses et ${\beta }_E\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(\text{0,5;}\text{1,6;}\text{0,5}\right)}^{\prime }$ pour les unités exclues. On suppose que les valeurs des variables explicatives et des composantes de variance ${\sigma }_u^2$ et ${\sigma }_e^2$ sont exactement les mêmes qu’auparavant. Encore une fois, nous tirons $K\mathrm{<mo>=</mo>}$ 1 000 échantillons $s^{\left(\text{}k\text{}\right)}$ par EASSR indépendant dans les unités du domaine $i$ avec $c_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}1,$ avec les mêmes tailles d’échantillon de domaine $n_i$ qu’auparavant. Au moyen des données d’échantillon provenant de l’échantillon $k^{\text{e}}$ nous calculons l’estimation par estimateur direct de base, LCAL, LCALN et EBLUP de ${\overline{Y}}_i.$

La figure 8.3 montre les diagrammes de quantiles des biais relatifs correspondants en pourcentage pour chaque taille d’échantillon de domaine. Dans ce cas, tous les estimateurs sont biaisés, mais le biais de l’estimateur direct de base devient très grand, atteignant plus de 40 % pour certains domaines. Le biais des estimateurs LCAL et EBLUP demeure relativement faible pour tous les domaines, mais celui de LCALN reste très grand en valeur absolue pour certains domaines. En l’absence d’échantillonnage défini par un seuil d’inclusion, les estimateurs par calage sont asymptotiquement sans biais par rapport au plan de sondage à mesure que la taille de l’échantillon de domaine $n_i$ augmente, même si le modèle considéré ne se vérifie pas. Toutefois, cela n’est pas vrai en cas d’échantillonnage défini par un seuil d’inclusion et c’est pourquoi les biais relatifs des estimateurs par calage ne diminuent pas quand $n_i$ croît. Y compris dans ce scénario défavorable comprenant différents modèles générateurs pour les unités incluses et exclues, les EBLUP présentent un biais modéré, qui est comparable à celui de l’estimateur LCAL et qui donne des performances nettement meilleures pour ce qui est de la REQMR.

Encore une fois, les moyennes pour tous les domaines du BR absolu et de la REQMR sont présentées au tableau 8.2, ainsi que le ratio du carré du biais. Comme nous l’avons indiqué, l’estimateur direct de base souffre d’un biais considérable, tandis que les estimateurs LCAL et EBLUP gardent un $\overline{\text{BRA}}$ inférieur à 10 %. L’estimateur LCALN affiche le plus faible ratio de biais en raison d’une EQM plus grande. Encore une fois, l’estimateur EBLUP est le plus efficace, avec une REQMR moyenne également inférieure à 10 %.

Nous avons répété l’expérience de simulation en supposant une valeur de ${\beta }_E$ plus éloignée de ${\beta }_I,$ pour que les deux modèles de régression soient sensiblement différents. Nous n’avons pas inclus les résultats en raison de contraintes d’espace, cependant, comme on pouvait s’y attendre, les valeurs du BR et de la REQMR augmentent pour tous les estimateurs, mais les conclusions sont semblables à celles de la dernière expérience. L’estimateur direct de base obtient le plus grand BR, les estimateurs par calage et EBLUP réduisent nettement le biais d’échantillonnage défini par un seuil d’inclusion de l’estimateur direct de base et EBLUP obtient une REQMR plus petite, particulièrement pour les domaines ayant les plus petites tailles d’échantillon.

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