Méthodes d’estimation sur petits domaines avec échantillonnage défini par un seuil d’inclusion
Section 6. Meilleur prédicteur empirique selon le modèle à erreurs emboîtées

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L’estimation des paramètres de domaine non linéaires nécessite des méthodes plus générales d’estimation sur petits domaines, comme le meilleur prédicteur/l’estimateur bayésien (MP ou EBE). À ce propos, voir Molina et Rao (2010). Les paramètres non linéaires particuliers sont les indicateurs de pauvreté et d’inégalité définis selon une mesure du bien-être, comme la famille des indicateurs de pauvreté introduits par Foster, Greer et Thorbecke (1984). Le meilleur prédicteur peut aussi servir à estimer d’autres caractéristiques comme la médiane ou les quantiles, ou encore toute la fonction de distribution empirique de la variable d’intérêt, voir Pratesi (2016). De plus, on peut l’utiliser pour estimer les totaux et les moyennes d’une variable cible donnée, quand la variable dépendante dans le modèle considéré est une transformation bijective (par exemple, des transformations logarithmiques ou de type Box-Cox plus générales) de cette variable cible. Ces transformations sont généralement appliquées en cas de non-normalité ou d’hétéroscédasticité.

Dans la présente section, la variable cible (par exemple, la mesure du bien-être) pour l’unité $j^{\text{e}}$ dans le domaine $i^{\text{e}}$ est notée comme étant $v_{ij}$ et $y_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}T\left(v_{ij}\right),$ où $T$ est une transformation bijective. Nous supposons que $y_{ij}$ suit le modèle à erreurs emboîtées (5.1). Par la transformation inverse $v_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}{T}^{-1}\left(y_{ij}\right),$ nous pouvons exprimer notre paramètre cible (défini à l’origine en termes de variables cibles $v_{ij})$ comme une fonction du vecteur $y_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(y_{i1}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{y}_{i{N}_i}\right)}^{\prime }$ des réponses du modèle pour les unités de domaine, $H_i\mathrm{<mo>=</mo>}h\left(y_i\right).$ Le meilleur prédicteur (MP) de $H_i\mathrm{<mo>=</mo>}h\left(y_i\right)$ est défini comme la fonction des données d’échantillon $y_{is}$ qui minimise l’EQM du modèle, et qui est

$${\widehat{H}}_i^{\text{MP}}\left(\beta \mathrm{,}\theta \right)\mathrm{<mo>=</mo>}{E}_{m_3}\left[h\left(y_i\right)|y_{is}\mathrm{<mo>;</mo>}\beta \mathrm{,}\theta \right]\mathrm{,}(6.1)$$

où l’espérance est prise par rapport à la distribution du modèle de $y_{ir}|y_{is},$ qui dépend des valeurs vraies de $\beta$ et $\theta .$ Le MP de $H_i$ est sans biais par rapport au modèle (5.1), quelle que soit la complexité de la fonction $h\left(\text{}\cdot \text{}\right)$ définissant le paramètre cible. Toutefois, il ne peut pas être calculé en pratique, car les paramètres du modèle $\beta$ et $\theta$ sont généralement inconnus. Un meilleur prédicteur empirique (MPE) de $H_i,$ noté ${\widehat{H}}_i^{\text{MPE}},$ est ensuite obtenu par le remplacement de $\beta$ et $\theta$ dans ${\widehat{H}}_i^{\text{MP}}\left(\beta ,\theta \right)$ par les estimateurs convergents $\widehat{\beta }$ et $\widehat{\theta },$ quand ${\widehat{H}}_i^{\text{MPE}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{H}}_i^{\text{MP}}\left(\widehat{\beta },\widehat{\theta }\right).$ Le MPE n’est pas exactement sans biais, mais le biais découlant de l’estimation de $\beta$ et $\theta$ est généralement négligeable quand la taille globale de l’échantillon $n$ est grande. Dans le cas d’un paramètre linéaire $H_i\mathrm{<mo>=</mo>}{b}_i^{\prime }{y}_i,$ le MPE selon le modèle à erreurs emboîtées avec normalité obtenu au moyen de ${\widehat{\beta }}_s\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\beta }}_s\left(\widehat{\theta }\text{}\right)$ pour estimer $\beta$ est égal à ${\widehat{H}}_i^{\text{EBLUP}}.$

Quand $h\left(\text{}\cdot \text{}\right)$ est si complexe que l’espérance définissant le MPE dans (6.1) ne peut pas être calculée analytiquement, on peut appliquer les méthodes Monte-Carlo pour obtenir une approximation de ${\widehat{H}}_i^{\text{MPE}}$ comme le proposent Molina et Rao (2010). Pour cela, on simule, à partir du modèle (5.1) ajusté aux données d’échantillon originales, des répliques $L$ $y_{ij}^{\left(l\right)}\mathrm{<mo>;</mo>}l\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}L$ de $y_{ij}\text{}\mathrm{,}j\in r_i,$ où $r_i$ sont les unités non échantillonnées du domaine $i,$ en attribuant les éléments d’échantillon $y_{ij},$ $j\in s_i$ pour former le vecteur de population $y_i^{\left(l\right)},$ en calculant le paramètre cible correspondant $H_i^{\left(l\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}h\left(y_i^{\left(l\right)}\right)$ pour chaque $l\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}L$ et, enfin, en établissant la moyenne des répliques $L$ sous la forme ${\widehat{H}}_i^{\text{MPE}}\mathrm{<mo>=</mo>}{L}^{-1}{\displaystyle {\sum }_{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^L}{H}_i^{\left(l\right)}.$ Il faut noter que le MPE nécessite les valeurs $x_{ij}$ pour toutes les unités de population, et non pas seulement pour les unités incluses. Pour en savoir plus, voir Molina et Rao (2010).

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