Méthodes d’estimation sur petits domaines avec échantillonnage défini par un seuil d’inclusion
Section 7. Estimation de l’EQM

• Précédent
• Suivant

L’EBLUP de la section 5 ou le MPE décrit à la section 6 sont fondés sur le modèle à erreurs emboîtées (5.1). Les estimateurs par calage décrits à la section 4 sont également assistés par un modèle de régression linéaire. Si nous voulons avoir des mesures d’exactitude comparables, il semble raisonnable d’obtenir les EQM de tous les estimateurs selon un modèle de régression donné (EQM de modèle), en supposant que le modèle se vérifie pour toutes les unités de population (incluses et exclues). Nous estimons ici l’EQM du modèle au moyen de la méthode bootstrap proposée dans Molina et Rao (2010), fondée sur la méthode bootstrap paramétrique originale pour les populations finies de González-Manteiga, Lombardia, Molina, Morales et Santamaría (2008). Dans cette procédure, l’EQM par la méthode bootstrap de ${\widehat{H}}_i^{\text{MPE}}$ selon le modèle à erreurs emboîtées (5.1) est obtenue comme suit : (i) on ajuste le modèle (5.1) aux données d’échantillon $\left\{\left(y_{is}\mathrm{,}{X}_{is}\right)\mathrm{<mo>;</mo>}i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}m\right\},$ pour obtenir les estimateurs $\widehat{\beta },$ ${\widehat{\sigma }}_u^2$ et ${\widehat{\sigma }}_e^2$ de $\beta ,$ ${\sigma }_u^2$ et ${\sigma }_e^2$ respectivement; (ii) pour $b\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}B,$ on produit indépendamment $u_i^{*\left(\text{}b\text{}\right)}\stackrel{\text{iid}}{{\displaystyle \sim }}N\left(\mathrm{0,}{\widehat{\sigma }}_u^2\right)$ et $e_{ij}^{*\left(\text{}b\text{}\right)}\stackrel{\text{iid}}{{\displaystyle \sim }}N\left(\mathrm{0,}{\widehat{\sigma }}_e^2\right),$ $j\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}{N}_i,$ $i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}m;$ (iii) pour $b\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}B,$ on construit des vecteurs bootstrap de domaine $y_i^{*\left(\text{}b\text{}\right)}={\left(y_{i1}^{*\left(\text{}b\text{}\right)}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{y}_{i{N}_1}^{*\left(\text{}b\text{}\right)}\right)}^{\prime }$, dont les éléments sont générés en tant que

$$y_{ij}^{*\left(\text{}b\text{}\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_{ij}^{\prime }\widehat{\beta }+u_i^{*\left(\text{}b\text{}\right)}+e_{ij}^{*\left(\text{}b\text{}\right)}\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}{N}_i\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}m\mathrm{.}$$

à partir du vecteur bootstrap de domaine ${{\displaystyle y}}_i^{*(b)},$ on calcule le paramètre bootstrap cible ${{\displaystyle H}}_i^{*(b)}=h\left({{\displaystyle y}}_i^{*(b)}\right),$ pour $b\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}B;$ (iv) à partir de chaque vecteur bootstrap de population ${{\displaystyle y}}_i^{*(b)},$ on prend la partie de l’échantillon ${{\displaystyle y}}_{is}^{*(b)},$ où les indices d’échantillon $s_i$ sont exactement ceux de l’échantillon original tiré de $U_{iI},$ pour $i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}m.$ À l’aide des données de l’échantillon bootstrap global ${{\displaystyle y}}_{is}^{*(b)},$ et des vecteurs de population $x_{ij},$ $j\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}{N}_i,$ supposés connus pour toutes les unités de population, on calcule l’EBE bootstrap de $H_i,$ noté ${{\displaystyle \widehat{H}}}_i^{\text{MPE}*(b)},$ $b\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}B;$ (v) un estimateur de l’EQM bootstrap pour l’EBE selon le modèle (5.1), ${\text{EQM}}_{m_3}\left({\widehat{H}}_i^{\text{MPE}}\right),$ est obtenu sous la forme

$${\text{eqm}}_B\left({\widehat{H}}_i^{\text{MPE}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{B}{\displaystyle \sum _{b\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^B}{\left({\widehat{H}}_i^{\text{MPE*}\left(\text{}b\text{}\right)}-H_i^{*\left(\text{}b\text{}\right)}\right)}^2\mathrm{.}(7.1)$$

On peut obtenir de la même façon les estimateurs bootstrap de l’EQM selon le même modèle d’estimateurs par calage. Dans le cas particulier d’un paramètre linéaire, $H_i\mathrm{<mo>=</mo>}{b}_i^{\prime }{y}_i,$ si ${\widehat{\beta }}_s$ est l’estimateur des moindres carrés pondérés (5.4), alors (7.1) est un estimateur de ${\text{EQM}}_{m_3}\left({\widehat{H}}_i^{\text{EBLUP}}\right).$ Cet estimateur bootstrap naïf de l’EQM du modèle est sans biais au premier ordre, dans le sens que son biais de modèle est $O\left(m^{-1}\right),$ et non pas $o\left(m^{-1}\right).$ Les corrections de biais décrites dans la littérature augmentent la variance et peuvent produire des estimations de l’EQM négatives. En effet, on ne trouve pas dans la littérature d’estimateurs bootstrap de l’EQM qui soient à la fois strictement positifs et sans biais au deuxième ordre. C’est pourquoi, par souci de simplicité, nous considérons l’estimateur bootstrap naïf (7.1), qui ne peut pas produire de valeurs négatives et qui a de bonnes performances pour un nombre moyen de régions $m.$

• Précédent
• Page principale de l'article
• Suivant