Méthodes d’estimation sur petits domaines avec échantillonnage défini par un seuil d’inclusion
Section 3. Estimateurs directs de base

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Nous examinons d’abord les estimateurs directs de base, obtenus uniquement à l’aide des observations $n_i$ de la variable d’intérêt de la région cible. En l’absence d’échantillonnage défini par un seuil d’inclusion, ces estimateurs sont convergents par rapport au plan de sondage à mesure que la taille de l’échantillon du domaine $n_i$ augmente. De plus, ils sont non paramétriques dans le sens qu’ils ne nécessitent aucune hypothèse de modèle. Toutefois, il peut y avoir des erreurs d’échantillonnage inacceptables dans des petits domaines. De plus, comme nous le verrons plus bas, selon un échantillonnage défini par un seuil d’inclusion, leur biais de plan pourrait être important.

L’estimateur par dilatation habituel (Horvitz et Thompson, 1952) de $Y_i$ qu’on obtient en ignorant que l’échantillon $s_i$ est tiré uniquement de $U_{iI}$ est donné par ${\widehat{Y}}_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{j\in s_i}}{w}_{ij}{y}_{ij}.$ Selon un échantillonnage défini par un seuil d’inclusion, ${\widehat{Y}}_i$ estime en fait le total dans les strates incluses, $Y_{iI}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\in U_{iI}}}{y}_{ij},$ plutôt que le total global $Y_i\mathrm{<mo>=</mo>}{Y}_{iI}+Y_{iE},$ où $Y_{iE}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\in U_{iE}}}{y}_{ij}.$ En effet, $E_{\pi }\left({\widehat{Y}}_i\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{Y}_{iI},$ où $E_{\pi }$ désigne une espérance dans un échantillonnage répété, puisque les poids d’échantillonnage $w_{j|i}\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_{j|i}^{-1}$ dans ${\widehat{Y}}_i$ se dilatent à $U_{iI}$ au lieu de $U_i.$ Personne n’utiliserait cet estimateur, car son biais, $B_{\pi }\left({\widehat{Y}}_i\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{E}_{\pi }\left({\widehat{Y}}_i\right)-Y_i\mathrm{<mo>=</mo>}-Y_{iE},$ donné en termes relatifs par la proportion du total représentée par la population exclue, ${\text{BR}}_{\pi }\left({\widehat{Y}}_i\right)\mathrm{<mo>=</mo>}-Y_{iE}/Y_i,$ peut être important.

Quand on ne dispose pas d’information auxiliaire, il est plus judicieux d’utiliser l’estimateur de Hájek (Hájek, 1971) pour la moyenne ${\overline{Y}}_i,$ donnée par ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{HA}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{Y}}_i/{\widehat{N}}_i,$ où ${\widehat{N}}_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{j\in s_i}}{w}_{ij}.$ L’estimateur correspondant pour le total est ${\widehat{Y}}_i^{\text{HA}}\mathrm{<mo>=</mo>}{N}_i{\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{HA}},$ si l’on considère que les moyennes dans les strates incluses et exclues sont égales. En effet, si on ignore le biais de ratio (d’ordre inférieur) et qu’on note que $E_{\pi }\left({\widehat{N}}_i\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{N}_{iI},$ le biais de plan asymptotique (en tant que $n_i\to \infty )$ de ${\widehat{Y}}_i^{\text{HA}}$ est donné en termes absolus et relatifs par

$$B_{\pi }\left({\widehat{Y}}_i^{\text{HA}}\right)\cong N_{iE}\left({\overline{Y}}_{iI}-{\overline{Y}}_{iE}\right)\mathrm{,}{\text{BR}}_{\pi }\left({\widehat{Y}}_i^{\text{HA}}\right)\cong \frac{N_{iE}}{N_i}\frac{{\overline{Y}}_{iI}-{\overline{Y}}_{iE}}{{\overline{Y}}_i}\mathrm{,}(3.1)$$

où ${\overline{Y}}_{iI}\mathrm{<mo>=</mo>}{Y}_{iI}/N_{iI}$ et ${\overline{Y}}_{iE}\mathrm{<mo>=</mo>}{Y}_{iE}/N_{iE}$ sont respectivement les véritables moyennes des ensembles d’unités incluses et exclues de la région $i$ (Haziza et coll., 2010). Pour la moyenne, le biais de ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{HA}}$ est obtenu en divisant par $N_i$ dans (3.1). Pour un domaine $i$ avec $U_{iE}\ne \varnothing ,$ le biais ci-dessus disparaît seulement quand ${\overline{Y}}_{iI}\mathrm{<mo>=</mo>}{\overline{Y}}_{iE},$ ce qui est improbable dans les cas réels où l’échantillonnage défini par un seuil d’inclusion est appliqué, voir par exemple Haziza et coll. (2010) ou la section 9. Dans la section qui suit, nous décrivons brièvement les techniques de calage comme moyen de réduire le biais de l’échantillonnage défini par un seuil d’inclusion.

Remarque 3.1. L’estimateur de Hájek de ${\overline{Y}}_i$ est un cas particulier de l’estimateur par le ratio habituel. Dans de nombreuses enquêtes-entreprises mensuelles, les paramètres d’intérêt sont en fait les changements de certains totaux dans le temps, comme ${\theta }_{it}\mathrm{<mo>=</mo>}{Y}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}/Y_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\mathrm{1\; <mo\; stretchy="false">)</mo>},$ où $Y_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ est le total de la variable cible au temps $t$ dans le domaine $i.$ Les estimations de la variation par le ratio sont rapportées au lieu des totaux réels, car on croit souvent que ces ratios ne sont pas touchés par le biais d’échantillonnage défini par un seuil d’inclusion. Soit ${\widehat{\theta }}_{it}\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{Y}}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}/{\widehat{Y}}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\mathrm{1\; <mo\; stretchy="false">)</mo>}$ l’estimateur direct de base de ${\theta }_{it}.$ Comme nous l’avons vu ci-dessus, le biais de l’estimateur par le ratio attribuable à l’échantillonnage défini par un seuil d’inclusion a tendance à être beaucoup plus faible que celui des totaux absolus ${\widehat{Y}}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ et ${\widehat{Y}}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\mathrm{1\; <mo\; stretchy="false">)</mo>\; .}$ Cependant, comme nous l’avons également vu, le biais d’échantillonnage défini par un seuil d’inclusion des estimateurs par le ratio disparaît seulement en cas d’hypothèses solides. En effet, si l’on ignore le biais du ratio, qui est négligeable pour les grandes valeurs, $n_i,$ le biais de ${\widehat{\theta }}_{it}$ est donné par

$$B_{\pi }\left({\widehat{\theta }}_{it}\right)\cong \frac{Y_{iI}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{Y_{iI}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\mathrm{1\; <mo\; stretchy="false">)</mo>}}-\frac{Y_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{Y_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\mathrm{1\; <mo\; stretchy="false">)</mo>}}\text{,}$$

où $Y_{iI}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ désigne le total correspondant uniquement pour les unités incluses. Ce biais est nul seulement si les ratios pour la population $Y_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}/Y_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\mathrm{1\; <mo\; stretchy="false">)</mo>}$ sont les mêmes que ceux des unités incluses $Y_{iI}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}/Y_{iI}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\mathrm{1\; <mo\; stretchy="false">)</mo>}.$

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