Méthodes d’estimation sur petits domaines avec échantillonnage défini par un seuil d’inclusion
Section 2. Échantillonnage défini par un seuil d’inclusion pour petits domaines

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Nous considérons une population $U$ partitionnée en $m$ sous-ensembles $U_i,$ $i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}m,$ ci-après nommés domaines ou régions, de tailles $N_i,$ $i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}m,$ avec $N\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m}{N}_i.$ Nous limitons notre étude au cas où les domaines agissent comme des strates d’échantillonnage. Ensuite, on tire des échantillons indépendants des différents domaines, où l’échantillon $s_i$ de taille $n_i$ du domaine $i$ est supposé tiré d’un échantillonnage défini par un seuil d’inclusion, $i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}m.$ Pour cela, on exclut un sous-ensemble d’unités $U_{iE}\subseteq U_i$ de la sélection. En d’autres termes, le domaine $U_i$ est partitionné en deux sous-ensembles, $U_{iI}$ et $U_{iE},$ de tailles connues $N_{iI}$ et $N_{iE}$ respectivement, avec $N_i\mathrm{<mo>=</mo>}{N}_{iI}+N_{iE}.$ L’ensemble $U_{iI}$ contient les unités qui peuvent être sélectionnées pour l’échantillon, il est appelé ici ensemble des unités incluses, tandis que $U_{iE}$ contient les unités exclues.

Soit $y_{ij}$ la valeur de la variable cible $y$ pour l’unité $j^{\text{e}}$ dans le domaine $i^{\text{e}}.$ Nous nous intéressons à l’estimation des totaux de domaine $Y_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{N_i}}{y}_{ij}$ ou des moyennes ${\overline{Y}}_i\mathrm{<mo>=</mo>}{Y}_i/N_i,$ $i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}m.$ Selon un échantillonnage défini par un seuil d’inclusion dans chaque domaine, l’échantillon $s_i$ est supposé tiré du sous-ensemble d’individus inclus, $U_{iI},$ du domaine $i.$ Ensuite, les probabilités d’inclusion des individus inclus $\left(j\in U_{iI}\right)$ sont ${\pi }_{j|i}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{Pr}\left(j\in s_i\right)\mathrm{<mo>></mo>}0$ et $w_{j|i}\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_{j|i}^{-1}$ sont les poids d’échantillonnage correspondants. Pour les unités exclues $\left(j\in U_{iE}\right),$ les probabilités d’inclusion sont nulles et, par conséquent, les poids d’échantillonnage correspondants ne sont pas définis. Par conséquent, pour les domaines $i$ avec $U_{iE}\ne \varnothing ,$ les estimateurs fondés sur le plan de base de $Y_i$ ou ${\overline{Y}}_i$ sont biaisés et il n’existe pas d’estimateur sans biais par rapport au plan de sondage.

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