Méthodes d’estimation sur petits domaines avec échantillonnage défini par un seuil d’inclusion
Section 5. EBLUP selon le modèle à erreurs emboîtées

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Les estimateurs décrits jusqu’à maintenant utilisent uniquement l’information sur les résultats provenant du domaine. Cela signifie que, quand la taille d’échantillon de domaine $n_i$ est petite, ces estimateurs peuvent être inefficaces y compris en l’absence d’échantillonnage défini par un seuil d’inclusion. Les méthodes d’estimation sur petits domaines (ou indirectes) sont conçues pour réduire la variance en augmentant la taille réelle de l’échantillon. À ce propos, voir le compte rendu exhaustif des méthodes d’estimation sur petits domaines dans Rao et Molina (2015). Dans la présente section, nous nous intéressons aux méthodes fondées sur un modèle, qui fournissent aux estimateurs de bonnes propriétés dans la distribution induite par le modèle. Étant donné que les propriétés fondées sur un modèle sont connues, nous souhaitons analyser si les estimateurs ont de bonnes propriétés sous le mécanisme de rééchantillonnage, qui ne suppose pas que le modèle se vérifie.

Pour cela, nous examinerons un modèle au niveau de l’unité très répandu, qui a été introduit par Battese, Harter et Fuller (1988) et est souvent dit modèle à erreurs emboîtées. Comme pour le modèle $m_2$ dans (4.16), ce modèle suppose une régression linéaire constante pour toutes les unités de population, mais permet une hétérogénéité inexpliquée entre les domaines en incluant les effets de domaine aléatoires $u_i$ hormis les erreurs de modèle $e_{ij}.$ Ce modèle, le modèle noté $m_3,$ suppose

$$\begin{array}{ll}{y}_{ij}\hfill & =x_{ij}^{\prime }\beta +u_i+e_{ij}\mathrm{,}{u}_i\stackrel{\text{iid}}{{\displaystyle \sim }}N\left(\mathrm{0,}{\sigma }_u^2\right)\mathrm{,}\hfill \\ e_{ij}\hfill & \stackrel{\text{iid}}{{\displaystyle \sim }}N\left(\mathrm{0,}{\sigma }_e^2\right)\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}{N}_i\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}m\mathrm{,}(5.1)\hfill \end{array}$$

où les effets de domaine $u_i$ et les erreurs $e_{ij}$ sont tous mutuellement indépendants. Les vecteurs $\beta$ et $\theta \mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\sigma }_u^2\mathrm{,}{\sigma }_e^2\right)}^{\prime }$ sont inconnus. En établissant ${\sigma }_u^2\mathrm{<mo>=</mo>}0$ dans (5.1), nous obtenons le modèle $m_2$ donné dans (4.16). Si $y_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(y_{i1}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{y}_{i{N}_i}\right)}^{\prime }$ désigne le vecteur des résultats pour le domaine $i$ et $X_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(x_{i1}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_{i{N}_i}\right)}^{\prime }$ la matrice de plan correspondante, le modèle dans la notation de la matrice se lit

$$y_i\stackrel{\text{ind}}{{\displaystyle \sim }}N\left(X_i\beta \mathrm{,}{V}_i\right)\mathrm{,}{V}_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\sigma }_u^2{1}_{N_i}{1}_{N_i}^{\prime }+{\sigma }_e^2{I}_{N_i}\text{}\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}m\mathrm{,}(5.2)$$

où $1_k$ est un vecteur de uns de taille $k$ et $I_k$ est la matrice identité $k\times k.$

Nous considérons les paramètres de domaine linéaires définis comme étant $H_i\mathrm{<mo>=</mo>}{b}_i^{\prime }{y}_i,$ où $b_i$ est un vecteur non stochastique d’éléments connus. La moyenne de domaine $H_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\overline{Y}}_i\mathrm{<mo>=</mo>}{N}_i^{-1}{\displaystyle {\sum }_{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{N_i}}{y}_{ij}$ est obtenue au moyen de $b_i\mathrm{<mo>=</mo>}{N}_i^{-1}{1}_{N_i}.$

On suppose qu’un échantillon $s_i$ est tiré de l’ensemble des unités incluses dans le domaine $i,$ à savoir $s_i\subset U_{iI}.$ Nous désignons par $r_i\mathrm{<mo>=</mo>}\left(U_{iI}-s_i\right)\cup U_{iE}$ l’ensemble des unités non échantillonnées du domaine $U_i,$ qui comprend les unités non échantillonnées de $U_{iI}$ et toutes les unités de $U_{iE}.$ Notons que $U_i\mathrm{<mo>=</mo>}{s}_i\cup r_i\mathrm{<mo>=</mo>}{U}_{iI}\cup U_{iE}.$ Alors, l’échantillon global $s$ est composé des échantillons $s_i$ tirés des ensembles d’unités incluses dans chaque domaine $U_{iI},$ $i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}m,$ à savoir $s\mathrm{<mo>=</mo>}{s}_1\cup \cdots \cup s_m.$

Nous décomposons le vecteur de domaine $y_i$ et les matrices de plan et de covariance $X_i$ et $V_i$ dans les sous-vecteurs et les sous-matrices correspondants pour les unités échantillonnées et non échantillonnées, indiqués par les indices $s$ et $r$ respectivement, comme suit :

$$y\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}{y}_{is}\\ y_{ir}\end{array}\right)\mathrm{,}X\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}{X}_{is}\\ X_{ir}\end{array}\right)\mathrm{,}{V}_i\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cc}{V}_{is}& V_{isr}\\ V_{irs}& V_{ir}\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Le paramètre linéaire $H_i\mathrm{<mo>=</mo>}{b}_i^{\prime }{y}_i$ peut alors être exprimé comme étant $H_i\mathrm{<mo>=</mo>}{b}_{is}^{\prime }{y}_{is}+b_{ir}^{\prime }{y}_{ir}.$ Selon le modèle (5.1), le meilleur prédicteur linéaire sans biais (BLUP) de $H$ est la fonction linéaire sans biais par rapport au modèle des données d’échantillon ${\widehat{H}}_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\alpha }_{is}^{\prime }{y}_{is},$ qui réduit au minimum l’erreur quadratique moyenne (EQM) du modèle, ${\text{EQM}}_{m_3}\left({\widehat{H}}_i\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{E}_{m_3}{\left({\widehat{H}}_i-H_i\right)}^2.$ Le BLUP de $H_i\mathrm{<mo>=</mo>}{b}_{is}^{\prime }{y}_{is}+b_{ir}^{\prime }{y}_{ir}$ est alors

$${\widehat{H}}_i^{\text{BLUP}}\left(\text{}\theta \text{}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{b}_{is}^{\prime }{y}_{is}+b_{ir}^{\prime }\left[X_{ir}{\tilde{\beta }}_s+V_{irs}{V}_{is}^{-1}\left(y_{is}-X_{is}^{\prime }{\tilde{\beta }}_s\right)\right]\mathrm{,}(5.3)$$

où ${\tilde{\beta }}_s$ est l’estimateur des moindres carrés pondérés de $\beta ,$ donné par

$${\tilde{\beta }}_s\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\beta }}_s\left(\text{}\theta \text{}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m}{X}_{is}^{\prime }{V}_{is}^{-1}{X}_{is}\right)}^{-1}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m}{X}_{is}^{\prime }{V}_{is}^{-1}{y}_{is}\mathrm{.}(5.4)$$

Le BLUP de $H_i$ donné dans (5.3) dépend des vraies valeurs des composantes de variance $\theta \mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\sigma }_u^2\mathrm{,}{\sigma }_e^2\right)}^{\prime },$ qui sont généralement inconnues. En les remplaçant par des estimateurs convergents par rapport au modèle correspondants $\widehat{\theta }\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\widehat{\sigma }}_u^2\mathrm{,}{\widehat{\sigma }}_e^2\right)}^{\prime },$ nous obtenons le BLUP dit empirique (EBLUP), noté ${\widehat{H}}_i^{\text{EBLUP}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{H}}_i^{\text{BLUP}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\widehat{\theta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>\; .}$

Si la fraction de sondage du domaine, $n_i/N_i,$ est négligeable, le BLUP de ${\overline{Y}}_i$ peut être exprimé comme étant la moyenne pondérée

$${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{BLUP}}\cong {\gamma }_{is}\left[{\overline{y}}_{is}+{\left({\overline{X}}_i-{\overline{x}}_{is}\right)}^{\prime }{\tilde{\beta }}_s\right]+\left(1-{\gamma }_{is}\right){\overline{X}}_i^{\prime }{\tilde{\beta }}_s\mathrm{,}(5.5)$$

où ${\gamma }_{is}\mathrm{<mo>=</mo>}{\sigma }_u^2/\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\sigma }_u^2+{\sigma }_e^2/n_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ est dans l’intervalle $\left(\mathrm{0,}1\right)$ et tend vers 1 quand $n_i\to \infty$ (Rao et Molina, 2015). Par conséquent, pour les domaines ayant une grande taille d’échantillon $n_i,$ ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{BLUP}}$ s’approche de l’estimateur par la régression de l’enquête ${\overline{y}}_{is}+{\left({\overline{X}}_i-{\overline{x}}_{is}\right)}^{\prime }{\tilde{\beta }}_s,$ tandis que pour les domaines ayant une petite taille d’échantillon $n_i,$ ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{BLUP}}$ emprunte de l’information des autres domaines en s’approchant de l’estimateur synthétique de type régression ${\overline{X}}_i^{\prime }{\tilde{\beta }}_s.$ En remplaçant les composantes de variance dans $\theta \mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\sigma }_u^2\mathrm{,}{\sigma }_e^2\right)}^{\prime }$ par des estimateurs convergents $\widehat{\theta }\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\widehat{\sigma }}_u^2\mathrm{,}{\widehat{\sigma }}_e^2\right)}^{\prime }$ dans le BLUP, désignant ${\widehat{\gamma }}_{is}\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{\sigma }}_u^2/\left({\widehat{\sigma }}_u^2+{\widehat{\sigma }}_e^2/n_i\right)$ et ${\widehat{\beta }}_s\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\beta }}_s\left(\text{}\widehat{\theta }\text{}\right),$ nous obtenons l’EBLUP de ${\overline{Y}}_i,$ donné par

$${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{EBLUP}}\cong {\widehat{\gamma }}_{is}\left[{\overline{y}}_{is}+{\left({\overline{X}}_i-{\overline{x}}_{is}\right)}^{\prime }{\widehat{\beta }}_s\right]+\left(1-{\widehat{\gamma }}_{is}\right){\overline{X}}_i^{\prime }{\widehat{\beta }}_s\mathrm{.}(5.6)$$

Le BLUP est sans biais et optimal selon le modèle $m_3$ dans le sens qu’il minimise l’EQM selon ce modèle. Nous étudions maintenant ses propriétés de plan, qui ne supposent pas que le modèle est correct et qui tiennent par conséquent compte du biais des écarts par rapport au modèle. À cette fin, nous considérons le paramètre de régression du recensement pour les unités incluses, défini comme $B_I\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m}{X}_{iI}^{\prime }{V}_{iI}^{-1}{X}_{iI}\right)}^{-1}{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m}{X}_{iI}^{\prime }{V}_{iI}^{-1}{y}_{iI},$ où $y_{iI},$ $X_{iI}$ et $V_{iI}$ sont le sous-vecteur et les sous-matrices correspondants de $y_i,$ $X_i$ et $V_i,$ pour les unités incluses $\left(j\in U_{iI}\right).$ Encore une fois, nous considérons la version théorique du BLUP définie sous la forme $B_I,$

$${\tilde{\overline{Y}}}_i^{\text{BLUP}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\gamma }_{is}\left[{\overline{y}}_{is}+{\left({\overline{X}}_i-{\overline{x}}_{is}\right)}^{\prime }\text{}{B}_I\right]+\left(1-{\gamma }_{is}\right){\overline{X}}_i^{\prime }{B}_I\mathrm{.}(5.7)$$

Si chaque échantillon $s_i$ est tiré du domaine correspondant $U_{iI}$ par échantillonnage aléatoire simple sans remise (EASSR), alors $E_{\pi }\left({\overline{y}}_{is}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\overline{Y}}_{iI}$ et $E_{\pi }\left({\overline{x}}_{is}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\overline{X}}_{iI}.$ À partir de ces faits, on peut facilement calculer le biais de plan ${\tilde{\overline{Y}}}_i^{\text{BLUP}}$ selon un EASSR, qui est donné par

$$B_{\pi }\left({\tilde{\overline{Y}}}_i^{\text{BLUP}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\gamma }_{is}\frac{N_{iE}}{N_{iI}}\left[\left({\overline{Y}}_i-{\overline{X}}_i^{\prime }{B}_I\right)-\left({\overline{Y}}_{iE}-{\overline{X}}_{iE}^{\prime }{B}_I\right)\right]+\left(1-{\gamma }_{is}\right)\left({\overline{X}}_i^{\prime }{B}_I-{\overline{Y}}_i\right)\mathrm{.}(5.8)$$

Ce biais sera faible si (5.1) se vérifie pour l’ensemble de la population, et dans ce cas $E_{m_3}\text{}\left({\overline{Y}}_i\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\overline{X}}_i\beta$ et $E_{m_3}\text{}\left({\overline{Y}}_{iE}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\overline{X}}_{iE}\beta .$ En utilisant ces résultats quand nous prenons l’espérance selon le modèle $m_3$ dans (5.8), nous obtenons $B_{m_3\text{}\mathrm{,}\pi }\left({\tilde{\overline{Y}}}_i^{\text{BLUP}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}0.$ En fait, ce résultat se vérifie aussi selon le modèle $m_2.$

En ce qui concerne la variance, si $s_i$ est obtenu par EASSR dans $U_{iI},$ la variance sous le plan de l’estimateur BLUP théorique est donnée par

$$V_{\pi }\left({\tilde{\overline{Y}}}_i^{\text{BLUP}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\gamma }_{is}^2{V}_{\pi }\left({\overline{y}}_{is}-{\overline{x}}_{is}{B}_I\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\gamma }_{is}^2}{N_i^2}{V}_{\pi }\left({\widehat{Y}}_i-{\widehat{X}}_i^{\prime }{B}_I\right)\mathrm{.}$$

Par conséquent, si les droites de régression par les moindres carrés (MC) du recensement pour les domaines du modèle (4.10) sont similaires à la droite de régression par les moindres carrés pondérés (MCP) du modèle (5.1), c’est-à-dire si $B_I\approx B_{iI},$ alors la variance du BLUP de ${\overline{Y}}_i$ diminue jusqu’à celle de l’estimateur LCAL de ${\overline{Y}}_i$ obtenu à partir de (4.17), multipliée par le facteur ${\gamma }_{is}^2\in \left(0,1\right).$

Selon des plans d’échantillonnage plus généraux dans $U_{iI},$ nous considérons le meilleur prédicteur linéaire sans biais pseudo-empirique (pseudo-EBLUP) de ${\overline{Y}}_i$ proposé par You et Rao (2002) au lieu de l’EBLUP. En définissant l’estimateur théorique analogue qui utilise les moyennes de l’échantillon pondérées ${\overline{y}}_{iw}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\displaystyle {\sum }_{j\in s_i}}{w}_{j|i}\right)}^{-1}{\displaystyle {\sum }_{j\in s_i}}{w}_{j|i}{y}_{ij}$ et ${\overline{x}}_{iw}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\displaystyle {\sum }_{j\in s_i}}{w}_{j|i}\right)}^{-1}{\displaystyle {\sum }_{j\in s_i}}{w}_{j|i}{x}_{ij}$ au lieu des moyennes non pondérées ${\overline{y}}_{is}$ et ${\overline{x}}_{is}$ dans (5.7), nous obtenons les mêmes expressions pour le biais par rapport au plan et la variance, avec ${\gamma }_{is}$ changé en ${\gamma }_{iw}\mathrm{<mo>=</mo>}{\sigma }_u^2/\left({\sigma }_u^2+{\sigma }_e^2{\delta }_{iw}\right),$ pour ${\delta }_{iw}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\displaystyle {\sum }_{j\in s_i}}{w}_{j|i}\right)}^{-2}{\displaystyle {\sum }_{j\in s_i}}{w}_{j|i}^2.$

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