Méthodes d’estimation sur petits domaines avec échantillonnage défini par un seuil d’inclusion
Section 4. Estimateurs par calage

• Précédent
• Suivant

De façon classique, on applique le calage quand on connaît les totaux vrais de certaines variables auxiliaires, susceptibles d’être corrélées à la variable étudiée. L’intention du calage est d’ajuster les poids de sondage $w_{j|i}$ de façon à ce que les estimateurs par dilatation correspondants des totaux vrais disponibles n’aient aucune erreur. Si les poids ajustés fournissent des estimateurs des totaux disponibles des variables auxiliaires qui ne comportent pas d’erreur, on s’attend à ce qu’ils réduisent également l’erreur dans l’estimation du total de la variable étudiée, à condition qu’il soit linéairement lié aux variables auxiliaires. Même en présence d’un modèle linéaire sous-jacent, en l’absence d’échantillonnage défini par un seuil d’inclusion, les estimateurs par calage sont convergents par rapport au plan de sondage à mesure que la taille d’échantillon de domaine $n_i$ augmente y compris si le modèle ne se vérifie pas. En ce sens, ils sont assistés par un modèle et leurs propriétés sont généralement évaluées dans le cadre de la configuration fondée sur le plan. Toutefois, si les valeurs $n_i$ sont petites, les estimations peuvent souffrir d’un biais de petit échantillon.

Comme nous le verrons ci-dessous, les estimateurs par calage réduisent le biais causé par l’échantillonnage défini par un seuil d’inclusion si le modèle linéaire sous-jacent se vérifie pour l’ensemble de la population (unités incluses et exclues). Toutefois, pour les petits domaines, ils peuvent comporter des erreurs d’échantillonnage d’une ampleur inacceptable, hormis un biais de petit échantillon non négligeable.

Soit $x_{ij}$ le vecteur des variables auxiliaires pour l’unité $j$ dans le domaine $i.$ Selon qu’on dispose des totaux de domaine ou seulement des totaux de population de ces variables auxiliaires, on peut appliquer différentes méthodes de calage. Tout d’abord, examinons le cas où le vecteur des totaux de domaine $X_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{N_i}}{x}_{ij}$ est disponible. Notons que $X_i$ le total dans l’ensemble du domaine $U_i\mathrm{<mo>=</mo>}{U}_{iI}\cup U_{iE}.$ Ensuite, une des méthodes de calage consiste à déterminer les poids de calage $h_{j|i},$ $j\in s_i,$ qui minimisent

$$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{j\in s_i}}{\left(h_{j|i}-w_{j|i}\right)}^2/w_{j|i}(4.1)\hfill \\ \text{s}\text{.c}\text{.}{\displaystyle \sum _{j\in s_i}}{h}_{j|i}{x}_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}{X}_i\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

Les poids de calage qui en résultent $h_{j|i}$ sont donnés par

$$h_{j|i}=w_{j|i}\left\{1+{\left(X_i-{\widehat{X}}_i\right)}^{\prime }{\left({\displaystyle \sum _{j\in s_i}}{w}_{j|i}{x}_{ij}{x}_{ij}^{\prime }\right)}^{-1}{x}_{ij}\right\}\mathrm{,}j\in s_i\mathrm{,}(4.2)$$

sous réserve de la non-singularité de ${\displaystyle {\sum }_{j\in s_i}}{w}_{j|i}{x}_{ij}{x}_{ij}^{\prime }.$ L’estimateur par calage du total du domaine $Y_i$ est ensuite donné par

$${\widehat{Y}}_i^{\text{LCAL}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{j\in s_i}}{h}_{j|i}{y}_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{Y}}_i+{\left(X_i-{\widehat{X}}_i\right)}^{\prime }{\widehat{B}}_i\mathrm{,}(4.3)$$

qui est l’estimateur par la régression généralisée (GREG) bien connu de $Y_i,$ où

$${\widehat{B}}_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\displaystyle \sum _{j\in s_i}}{w}_{j|i}{x}_{ij}{x}_{ij}^{\prime }\right)}^{-1}{\displaystyle \sum _{j\in s_i}}{w}_{j|i}{x}_{ij}{y}_{ij}\mathrm{.}$$

L’estimateur de Hájek ${\widehat{Y}}_i^{\text{HA}}$ est un cas particulier de (4.3), avec $x_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}1,$ $j\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}{N}_i.$ En l’absence d’échantillonnage défini par un seuil d’inclusion, l’estimateur GREG ci-dessus est convergent par rapport au plan de sondage quand la taille de l’échantillon de domaine $n_i$ augmente, bien qu’il puisse présenter un biais de petit échantillon. Il réduit la variance si les variables de calage sont corrélées linéairement avec le résultat et que la corrélation est forte. Selon un échantillonnage défini par un seuil d’inclusion, le deuxième terme du deuxième membre de (4.3) corrige le biais de l’estimateur par dilatation de base ${\widehat{Y}}_i$ en tant qu’estimateur de $Y_i$ à l’aide des totaux du domaine connus dans $X_i.$ Toutefois, pour la petite taille d’échantillon de domaine $n_i,$ cette réduction du biais d’échantillonnage défini par un seuil d’inclusion pourrait être transférée sur une augmentation de la variance.

Dans la procédure ci-dessus, un problème de calage différent se pose pour chaque domaine. Dans le cas où l’on dispose seulement de la population totale $X\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m}{\displaystyle {\sum }_{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{N_i}}{x}_{ij},$ on peut chercher des poids de calage pour tous les domaines simultanément, $g_{j|i},$ $j\in s_i,$ $i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}m,$ en résolvant un seul problème de calage :

$$\begin{array}{l}\underset{\left\{g_{j|i}\mathrm{<mo>:</mo>}j\in s_i\text{}\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}m\right\}}{\text{min}}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m}{\displaystyle \sum _{j\in s_i}}{\left(g_{j|i}-w_{j|i}\right)}^2/w_{j|i}(4.4)\hfill \\ \text{s}\text{.c}\text{.}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m}{\displaystyle \sum _{j\in s_i}}{g}_{j|i}{x}_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}X\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

Dans ce cas, les poids de calage $g_{j|i}$ sont donnés par

$$g_{j|i}\mathrm{<mo>=</mo>}{w}_{j|i}\left\{1+{\left(X-\widehat{X}\right)}^{\prime }{\left({\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m}{\displaystyle \sum _{j\in s_i}}{w}_{j|i}{x}_{ij}{x}_{ij}^{\prime }\right)}^{-1}{x}_{ij}\right\}\mathrm{,}j\in s_i\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}m\mathrm{,}(4.5)$$

sous réserve de la non-singularité de ${\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m}{\displaystyle {\sum }_{j\in s_i}}{w}_{j|i}{x}_{ij}{x}_{ij}^{\prime }.$ L’estimateur par calage qui en résulte du total de domaine $Y_i$ est ensuite obtenu sous la forme :

$${\widehat{Y}}_i^{\text{LCALN}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{j\in s_i}}{g}_{j|i}{y}_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{Y}}_i+{\left(X-\widehat{X}\right)}^{\prime }{\widehat{B}}_i^N\text{}\mathrm{,}(4.6)$$

où

$${\widehat{B}}_i^N\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\displaystyle \sum _{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m}{\displaystyle \sum _{j\in s_l}}{w}_{j|l}{x}_{lj}{x}_{lj}^{\prime }\right)}^{-1}{\displaystyle \sum _{j\in s_i}}{w}_{j|i}{x}_{ij}{y}_{ij}\mathrm{.}$$

Contrairement à l’estimateur GREG, la correction de ${\widehat{Y}}_i$ dans ${\widehat{Y}}_i^{\text{LCALN}}$ utilise le total de la population globale $X$ et l’estimateur par dilatation correspondant.

L’estimateur par calage linéaire LCAL (ou GREG) (4.3) devrait avoir un biais d’échantillonnage défini par un seuil d’inclusion plus petit que (4.6), car il utilise de l’information auxiliaire de chaque domaine particulier $i.$ Par ailleurs, pour les domaines ayant de petites tailles d’échantillon, sa variance (et le biais de petit échantillon) peut être importante puisqu’elle utilise seulement des données propres à un domaine. L’autre estimateur par calage donné dans (4.6) devrait présenter un biais d’échantillonnage défini par un seuil d’inclusion légèrement plus grand parce qu’il utilise seulement de l’information auxiliaire agrégée au niveau national, mais la variance sous le plan devrait être plus petite. Nous étudions ensuite les propriétés de (4.3). À cette fin, nous examinerons la version théorique de l’estimateur LCAL (4.3), donnée par

$${\tilde{Y}}_i^{\text{LCAL}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{Y}}_i+{\left(X_i-{\widehat{X}}_i\right)}^{\prime }{B}_{iI}\mathrm{.}(4.7)$$

Ici, $B_{iI}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\displaystyle {\sum }_{j\in U_{iI}}}{x}_{ij}{x}_{ij}^{\prime }\right)}^{-1}$ ${\displaystyle {\sum }_{j\in U_{iI}}}{x}_{ij}{y}_{ij}$ est la version du recensement de ${\widehat{B}}_i$ fondée sur l’ensemble d’unités incluses du domaine $i.$ Notons que l’échantillon $s_i$ est tiré seulement de $U_{iI}$ et par conséquent ${\widehat{B}}_i$ estime $B_{iI}.$ Nous décomposons le biais de ${\widehat{Y}}_i^{\text{LCAL}}$ comme étant

$$\begin{array}{ll}{B}_{\pi }\left({\widehat{Y}}_i^{\text{LCAL}}\right)\hfill & =E_{\pi }\left({\widehat{Y}}_i^{\text{LCAL}}-{\tilde{Y}}_i^{\text{LCAL}}\right)+B_{\pi }\left({\tilde{Y}}_i^{\text{LCAL}}\right)\mathrm{,}\hfill \\ \hfill & =E_{\pi }\left\{{\left(X_i-{\widehat{X}}_i\right)}^{\prime }\left({\widehat{B}}_i-B_{iI}\right)\right\}+B_{\pi }\left({\tilde{Y}}_i^{\text{LCAL}}\right)\mathrm{.}(4.8)\hfill \end{array}$$

Le terme y tend vers zéro quand $n_i\to \infty$ qu’on applique ou pas un échantillonnage défini par un seuil d’inclusion, étant donné que ${\widehat{B}}_i$ tend vers $B_{iI}.$ Cependant, pour les petites valeurs $n_i$ ce terme peut ne pas être négligeable, ce qui signifie que l’estimateur LCAL souffre d’un biais de petit échantillon même si $U_{iE}\mathrm{<mo>=</mo>}\varnothing .$ En l’absence d’échantillonnage défini par un seuil d’inclusion, le terme du biais $B_{\pi }\left({\tilde{Y}}_i^{\text{LCAL}}\right)$ dans (4.8) est exactement égal à zéro. Selon un échantillonnage défini par un seuil d’inclusion, nous savons que $E_{\pi }\left({\widehat{Y}}_i\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{Y}_{iI}$ et $E_{\pi }\left({\widehat{X}}_i\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{X}_{iI},$ où $X_{iI}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{j\in U_{iI}}}{x}_{ij}.$ En notant que $X_i-X_{iI}\mathrm{<mo>=</mo>}{X}_{iE},$ pour $X_{iE}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{j\in U_{iE}}}{x}_{ij},$ nous obtenons le biais de plan de cet estimateur théorique LCAL, donné en termes absolus et relatifs par

$$B_{\pi }\left({\tilde{Y}}_i^{\text{LCAL}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}-N_{iE}\left({\overline{Y}}_{iE}-{\overline{X}}_{iE}^{\prime }{B}_{iI}\right)\mathrm{,}{\text{BR}}_{\pi }\left({\tilde{Y}}_i^{\text{LCAL}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{N_{iE}}{N_i}\frac{{\overline{Y}}_{iE}-{\overline{X}}_{iE}^{\prime }{B}_{iI}}{{\overline{Y}}_i}\mathrm{.}(4.9)$$

Ce biais est faible quand le même modèle se vérifie pour les individus inclus et exclus.

Étant donné que l’estimateur par calage ${\widehat{Y}}_i^{\text{LCAL}}$ doit servir à estimer $Y_i$ (et non pas $Y_{iI}),$ pour la moyenne de domaine ${\overline{Y}}_i\mathrm{<mo>=</mo>}{Y}_i/N_i$ nous examinons l’estimateur obtenu simplement par la division de y par $N_i$ (au lieu de $N_{iI}),$ ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{LCAL}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{Y}}_i^{\text{LCAL}}/N_i.$ Le biais asymptotique de ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{LCAL}}$ est donné par (4.9) divisé par $N_i.$

Nous analysons maintenant les propriétés selon le modèle et le mécanisme de rééchantillonnage. Notons que ${\widehat{B}}_i$ dans l’estimateur GREG est l’estimateur des moindres carrés pondérés du vecteur des coefficients de régression ${\beta }_i$ dans le modèle de régression linéaire suivant pour les unités du domaine $i:$

$$y_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_{ij}^{\prime }{\beta }_i+{\epsilon }_{ij}\mathrm{,}{E}_m\left({\epsilon }_{ij}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{0,}{E}_m\left({\epsilon }_{ij}^2\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\sigma }_{\epsilon }^2\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}{N}_i\mathrm{,}(4.10)$$

où les erreurs de modèle ${\epsilon }_{ij}$ sont toutes mutuellement indépendantes. Nous souhaitons connaître la valeur ajoutée par le modèle aux propriétés du plan des estimateurs, c’est-à-dire que nous voulons savoir quel serait le gain si les données étaient effectivement produites (au moins approximativement) par le modèle supposé. Soit $E_m$ l’espérance sous le modèle (4.10). Si le modèle de régression linéaire (4.10) se vérifie véritablement pour toutes les unités du domaine (incluses et exclues), alors $E_m\left(B_{iI}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\beta }_i$ et si nous supposons l’espérance du terme de biais dans (4.9) sous le modèle (4.10), nous obtenons le biais par rapport au plan et au modèle,

$$B_{m\mathrm{,}\pi }\left({\tilde{Y}}_i^{\text{LCAL}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}-N_{iE}\left\{E_m\left({\overline{Y}}_{iE}\right)-{\overline{X}}_{iE}^{\prime }{E}_m\left(B_{iI}\right)\right\}\mathrm{<mo>=</mo>}-N_{iE}\left({\overline{X}}_{iE}^{\prime }{\beta }_i-{\overline{X}}_{iE}^{\prime }{\beta }_i\right)\mathrm{<mo>=</mo>\; 0.}(4.11)$$

En revanche, si l’on suppose exactement le même modèle de régression, le biais de l’estimateur direct de base ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{HA}}$ selon un échantillonnage défini par un seuil d’inclusion n’est pas nul, à moins que les moyennes des variables auxiliaires pour les unités exclues et incluses soient égales. En effet,

$$B_{m\mathrm{,}\pi }\left({\widehat{Y}}_i^{\text{HA}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{N}_{iE}{E}_m\left({\overline{Y}}_{iI}-{\overline{Y}}_{iE}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{N}_{iE}{\left({\overline{X}}_{iI}-{\overline{X}}_{iE}\right)}^{\prime }{\beta }_i\mathrm{.}(4.12)$$

Ainsi, la condition dans laquelle l’estimateur LCAL est sans biais par rapport au plan, à savoir celle où le modèle linéaire (4.10) se vérifie sans erreur pour toutes les unités du domaine, est beaucoup plus faible que les conditions requises pour que l’estimateur direct de base soit sans biais par rapport au plan. Cela signifie que les estimateurs par calage auront tendance à être moins biaisés que l’estimateur direct de base et peuvent réduire considérablement le biais d’échantillonnage défini par un seuil d’inclusion si le résultat est généré par le modèle de régression linéaire propre au domaine ci-dessus.

Passons maintenant à l’estimateur LCALN (4.6) pour définir la version théorique correspondante

$${\tilde{Y}}_i^{\text{LCALN}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{Y}}_i+{\left(X-\widehat{X}\right)}^{\prime }{B}_{iI}^N\mathrm{,}(4.13)$$

où $B_i^N$ est la version du recensement pour les unités incluses,

$$B_i^N\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\displaystyle \sum _{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m}{\displaystyle \sum _{j\in U_{lI}}}{x}_{lj}{x}_{lj}^{\prime }\right)}^{-1}{\displaystyle \sum _{j\in U_{iI}}}{x}_{ij}{y}_{ij}\mathrm{.}$$

En décomposant le biais de la même façon que dans (4.8), nous obtenons

$$B_{\pi }\left({\widehat{Y}}_i^{\text{LCALN}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{E}_{\pi }\left\{{\left(X-\widehat{X}\right)}^{\prime }\left({\widehat{B}}_i^N-B_{iI}^N\right)\right\}+B_{\pi }\left({\tilde{Y}}_i^{\text{LCALN}}\right)\mathrm{.}(4.14)$$

Encore une fois, $E_{\pi }\left\{\left(X-\widehat{X}\right)\left({\widehat{B}}_i^N-B_{iI}^N\right)\right\}/N_i$ n’est pas nul pour les petites valeurs $n_i$ mais tend vers zéro quand $n_i\to \infty$ y compris selon un échantillonnage défini par un seuil d’inclusion, tandis que $B_{\pi }\left({\tilde{Y}}_i^{\text{LCALN}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}0$ seulement en l’absence de biais d’échantillonnage défini par un seuil d’inclusion. En général, si l’on utilise la décomposition $X\mathrm{<mo>=</mo>}{X}_I+X_E,$ où $X_I$ et $X_E$ sont respectivement les totaux nationaux pour les unités incluses et exclues, le biais de plan de ${\tilde{Y}}_i^{\text{LCALN}}$ est donné par

$$B_{\pi }\left({\tilde{Y}}_i^{\text{LCALN}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}-\left(Y_{iE}-X_E^{\prime }{B}_{iI}^N\right)\mathrm{.}(4.15)$$

Considérons maintenant le modèle linéaire avec des coefficients de régression constante pour toutes les unités de population, qu’on appellera modèle $m_2:$

$$y_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_{ij}^{\prime }\beta +{\epsilon }_{ij}\mathrm{,}{E}_{m_2}\text{}\left({\epsilon }_{ij}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{0,}{E}_{m_2}\text{}\left({\epsilon }_{ij}^2\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\sigma }_{\epsilon }^2\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}{N}_i\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}m\mathrm{,}(4.16)$$

où, encore une fois, les erreurs de modèle ${\epsilon }_{ij}$ sont mutuellement indépendantes. Notons que, selon ce modèle, $E_{m_2}\left(B_{iI}^N\right)\ne \beta$ en général, mais si nous considérons plutôt la somme $B_I\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m}{B}_{iI}^N,$ nous obtenons $E_{m_2}\text{}\left(B_I\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\beta .$ Cela signifie que l’estimateur LCALN théorique pour un domaine particulier, ${\tilde{Y}}_i^{\text{LCALN}},$ n’est pas sans biais par rapport au plan et au modèle, parce que

$$B_{m_2\text{}\mathrm{,}\pi }\left({\tilde{Y}}_i^{\text{LCALN}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}-\left\{X_{iE}^{\prime }\beta -X_E^{\prime }{E}_{m_2}\text{}\left(B_{iI}^N\right)\right\}\mathrm{,}$$

n’est pas nécessairement égal à zéro. Cependant, l’estimateur national obtenu par l’addition de ceux des domaines, ${\tilde{Y}}^{\text{LCALN}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m}{\tilde{Y}}_i^{\text{LCALN}}\mathrm{<mo>=</mo>}\widehat{Y}+{\left(X-\widehat{X}\right)}^{\prime }\text{}{B}_I,$ est en fait sans biais par rapport au plan et au modèle, parce que

$$B_{m_2\text{}\mathrm{,}\pi }\left(\text{}{\tilde{Y}}^{\text{LCALN}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}-\left\{X_E^{\prime }\beta -X_E^{\prime }{E}_{m_2}\left(B_I\right)\right\}\mathrm{<mo>=</mo>}0.$$

Ainsi, selon le modèle (4.16) avec des coefficients de régression constants pour toutes les unités de population, l’estimateur LCALN n’est pas sans biais par rapport au plan et au modèle pour un domaine particulier, mais il est sans biais lors de l’agrégation pour tous les domaines, à condition que le même modèle se vérifie pour les unités incluses et exclues dans tous les domaines. Pour la moyenne ${\overline{Y}}_i,$ le biais de l’estimateur théorique ${\tilde{\overline{Y}}}_i^{\text{LCALN}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{Y}}_i^{\text{LCALN}}/N_i$ est donné par (4.15) divisé par $N_i.$

Étudions maintenant les variances. Pour l’estimateur LCAL théorique (4.7), la variance sous le plan est donnée par

$$V_{\pi }\left({\tilde{Y}}_i^{\text{LCAL}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{V}_{\pi }\left({\widehat{Y}}_i-{\widehat{X}}_i^{\prime }{B}_{iI}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{V}_{\pi }\left({\displaystyle \sum _{j\in s_i}}{w}_{j|i}{E}_{ij}\right)\mathrm{,}(4.17)$$

où $E_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}{y}_{ij}-x_{ij}^{\prime }{B}_{iI},$ $j\in U_{iI}.$ Nous pouvons ensuite appliquer les estimateurs de la variance habituels pour les estimateurs par dilatation. Dans le cas de l’estimateur LCALN de (4.13), la variance est donnée par

$$V_{\pi }\left({\tilde{Y}}_i^{\text{LCALN}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{V}_{\pi }\left({\widehat{Y}}_i-{\widehat{X}}^{\prime }{B}_{iI}^N\right)\mathrm{.}$$

Notons que $\widehat{X}$ est fondé sur les unités d’échantillon $n,$ tandis que ${\widehat{X}}_i$ utilise seulement les unités $n_i$ du domaine $i.$ Par conséquent, la contribution de $\widehat{X}$ à la variance de LCALN doit être nettement inférieure à la contribution de ${\widehat{X}}_i$ dans (4.17). Cela signifie que, dans la mesure où les lignes de régression nationale et de domaine sont semblables, la variance de l’estimateur LCALN, obtenue à partir du calage au niveau national, doit être plus petite que celle de l’estimateur par calage LCAL propre au domaine.

• Précédent
• Page principale de l'article
• Suivant