Méthodes d’estimation sur petits domaines avec échantillonnage défini par un seuil d’inclusion
Section 9. Estimation des ventes totales dans les provinces espagnoles

• Précédent
• Suivant

Nous décrivons ici une application à l’estimation des ventes totales d’un produit du tabac dans les provinces espagnoles. L’ensemble de données disponibles contient, pour $N\mathrm{<mo>=</mo>}$ 12 791 bureaux de tabac (presque tous) dans $m\mathrm{<mo>=</mo>}$ 48 provinces espagnoles (îles Canaries, Ceuta et Melilla non comprises), le volume des achats de ce produit effectués par chaque établissement au cours des trois mois précédant novembre 2016 $(z_{ij},$ en euros). Il contient également une variable indiquant si un appareil enregistrant tous les renseignements requis au sujet de chaque vente a été fourni à l’établissement. Seuls les établissements aux ventes les plus importantes reçoivent l’appareil en question. Ces établissements (au total $n\mathrm{<mo>=</mo>}$ 1 842) sont en mesure de déclarer précisément les données relatives à leurs ventes. Par conséquent, les données de ces établissements donnent le volume de vente $(v_{ij},$ en euros) du produit examiné en novembre 2016.

Nous estimons les ventes totales $V_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{N_i}}{v}_{ij}$ dans chacune des $m\mathrm{<mo>=</mo>}$ 48 provinces incluses dans les données au moyen de l’estimateur de base direct, des estimateurs par calage sélectionnés et d’un estimateur fondé sur un modèle. Les établissements $j$ pour lesquels $z_{ij}$ et $v_{ij}$ sont disponibles pour une province $i$ composent l’ensemble des unités incluses $U_{iI},$ qui est égal à l’échantillon $s_i$ dans ce cas (il n’y a pas d’échantillonnage dans $U_{iI}).$ Alors, les estimateurs directs de base sont donnés ici par ${\widehat{V}}_i^{\text{HA}}\mathrm{<mo>=</mo>}{N}_i{\overline{V}}_{iI},$ $i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}m,$ qui ont une variance nulle, mais qui pourraient être fortement biaisés. Étant donné que les valeurs vraies dans les applications réelles ne sont pas disponibles et que, par conséquent, les biais réels ne peuvent pas être évalués (nous n’avons pas d’information de $U_{iE}),$ nous comparerons ici les estimateurs en considérant l’ensemble des établissements de chaque province dont les ventes sont enregistrées comme EASSR de cette province. Notons qu’il s’agit du meilleur scénario pour l’estimateur direct de base. Par conséquent, pour l’estimateur direct de base ${\widehat{V}}_i^{\text{HA}}$ si l’on considère que l’échantillon réel $s_i\mathrm{<mo>=</mo>}{U}_{iI}$ est un EASSR de $U_i,$ la variance est égale à l’EQM (nous ignorons le biais). L’estimateur sans biais par rapport au plan de l’EQM est alors

$${\text{eqm}}_{\pi }\left({\widehat{V}}_i\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{N}_i^2\frac{s_i^2}{n_i}\left(1-\frac{n_i}{N_i}\right)\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}m\mathrm{,}$$

où $s_i^2\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(n_i-1\right)}^{-1}{\displaystyle {\sum }_{j\in s_i}}{\left(v_{ij}-{\overline{v}}_{is}\right)}^2$ est la variance de l’échantillon des ventes de la province $i$ et ici $n_i\mathrm{<mo>=</mo>}{N}_{iI},$ $i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}m.$

Pour les estimateurs qui considèrent un modèle de régression, nous effectuons d’abord une analyse descriptive préliminaire des variables. Les histogrammes des ventes $v_{ij}$ et des achats $z_{ij}$ montrent des distributions asymétriques à droite pour les deux variables. De plus, un diagramme de dispersion des résidus des moindres carrés ordinaires à partir d’un modèle linéaire pour $v_{ij}$ en termes de $z_{ij},$ contre $z_{ij}$ révèle une légère tendance à l’hétéroscédasticité. Il semblerait que la transformation des ventes par la racine carrée, c’est-à-dire en supposant $y_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}{v}_{ij}^{1/2}$ comme variable réponse et $x_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(\mathrm{1,}{x}_{ij}\right)}^{\prime },$ avec $x_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}{z}_{ij}^{1/2}$ comme covariable réduise le problème. Par conséquent, nous examinerons un modèle à erreurs emboîtées (5.1) pour les ventes transformées $y_{ij}$ en termes d’achats transformés $x_{ij},$ et les MPE ou EBE des ventes totales de chaque province, $V_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{N_i}}{v}_{ij},$ seront calculés à partir de ce modèle. Notons que, pour ce qui est des réponses du modèle $y_{ij},$ les ventes totales sont données par $V_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{N_i}}{y}_{ij}^2\mathrm{<mo>=</mo>}h\left(y_i\right).$ Alors, le MPE/EBE de $V_i\mathrm{<mo>=</mo>}h\left(y_i\right)$ est donné par ${\widehat{V}}_i^{\text{MPE}}\mathrm{<mo>=</mo>}{E}_{m_3}\left[h\left(y_i\right)|y_{is}\mathrm{<mo>;</mo>}\widehat{\theta }\right],$ $i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}m,$ qui peut être calculé de façon analytique ou approximative par simulation de Monte-Carlo. Nous estimons l’EQM du modèle du MPE/EBE au moyen du bootstrap paramétrique décrit à la section 7 pour $H_i\mathrm{<mo>=</mo>}{V}_i,$ en supposant ${{\displaystyle H}}_i^{*(b)}={{\displaystyle V}}_i^{*(b)}$ et ${{\displaystyle \widehat{H}}}_i^{\text{MPE}*(b)}={{\displaystyle \widehat{V}}}_i^{\text{MPE}*(b)}$ et en considérant que le modèle se vérifie pour les unités incluses et exclues. Les résidus du modèle sont décrits ci-dessous.

Notons que l’estimateur LCAL (ou GREG) n’est pas défini pour une fonction non linéaire des valeurs de la variable de réponse dans les unités de population, comme le total des ventes $V_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{N_i}}{y}_{ij}^2$ après la transformation par la racine carrée. Nous calculons ici alors l’estimateur GREG selon (4.3) au moyen de $v_{ij}$ au lieu de $y_{ij}$ et $z_{ij}$ au lieu de $x_{ij},$ qui est assisté par le modèle linéaire (4.10) pour les ventes non transformées $v_{ij}$ en termes d’achats $z_{ij}.$ Afin de mesurer l’incertitude de l’estimateur GREG, et pour la rendre comparable à celle du MPE/EBE, nous avons estimé son EQM de modèle au moyen de la même procédure bootstrap, en remplaçant ${\widehat{H}}_i^{\text{MPE*}\left(\text{}b\text{}\right)}$ par ${{\displaystyle \widehat{V}}}_i^{\text{GREG}*(b)}.$ L’estimateur bootstrap obtenu de l’EQM comprend en fait l’erreur causée par le fait que le bon modèle est celui comportant des variables transformées.

Avant de comparer les estimations, nous analysons les résidus du modèle à erreurs emboîtées (5.1), donnés par ${\widehat{e}}_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}{y}_{ij}-x_{ij}^{\prime }\widehat{\beta }-{\widehat{u}}_i.$ La figure 9.1 montre le diagramme de dispersion de ces résidus par rapport aux valeurs prédites ${\widehat{y}}_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_{ij}^{\prime }\widehat{\beta }+{\widehat{u}}_i$ (à gauche) et un histogramme des résidus (à droite). Nous pouvons voir quelques valeurs aberrantes négatives sur le graphique de gauche, qui concordent avec la queue légèrement plus grande à gauche dans l’histogramme. Les résidus ne présentent aucune autre tendance remarquable. Nous constatons que dans l’histogramme, ils semblent être surtout concentrés autour de zéro, ce qui indique la puissance prédictive élevée du modèle.

La figure 9.2 montre le diagramme Q-Q normal des effets de domaine prédits ${\widehat{u}}_i.$ Ce diagramme supporte la normalité de ${\widehat{u}}_i$ sauf pour une valeur aberrante apparaissant sur la queue gauche de la distribution. Ce point correspond à la province ayant la plus petite taille d’échantillon $(n_i\mathrm{<mo>=</mo>}$ 3 observations), ce qui donne à penser que l’effet aléatoire estimé pour cette province, ${\widehat{u}}_i,$ n’est pas très fiable. Par conséquent, nous considérons que le modèle à erreurs emboîtées est raisonnablement bien ajusté aux données disponibles.

Nous comparerons maintenant les estimations obtenues. La figure 9.3 à gauche montre les MPE/EBE des ventes totales du produit du tabac considéré pour chaque province par rapport aux estimations directes. Les tailles d’échantillon des provinces sont utilisées comme étiquettes de points. Ce diagramme indique une grande similitude entre les deux types d’estimations, sauf pour les deux provinces ayant les plus grandes tailles d’échantillon, où les MPE/EBE sont légèrement plus grands que les estimations directes, ce qui pourrait être dû au biais d’échantillonnage défini par un seuil d’inclusion de l’estimateur direct. La figure 9.3 à droite présente les MPE/EBE par rapport aux estimations par régression généralisée. La grande similitude entre les estimations GREG et EBE illustrées dans le graphique confirme le fait que les estimateurs directs pourraient en fait sous-estimer les ventes totales dans cette application.

Enfin, nous comparons les trois types d’estimations des ventes totales pour chaque province dans la figure 9.4 à gauche, qui montre les estimations ponctuelles pour chaque province (axe des x); les provinces sont triées par tailles d’échantillon, de la plus petite à la plus grande, et les tailles d’échantillon sont indiquées sur les étiquettes de l’axe des x. Les conclusions sont identiques aux conclusions précédentes, à savoir que les trois types d’estimations prennent des valeurs très semblables pour toutes les provinces, sauf pour un petit nombre de provinces ayant les tailles d’échantillon les plus grandes, où l’estimateur direct de base prend des valeurs légèrement plus petites (qui sous-estiment peut-être les ventes totales). La figure 9.4 (à droite) montre les coefficients de variation (CV) estimés qu’on obtient si l’on ignore le biais causé par l’échantillonnage défini par un seuil d’inclusion. Les estimateurs par MPE/EBE ont des performances uniformément supérieures à celles des autres estimateurs pour ce qui est des CV estimés, dont les valeurs sont maintenues sous 10 % pour presque toutes les provinces alors que l’estimateur GREG obtient des valeurs de CV supérieures à 10 % pour les provinces ayant les plus petites tailles d’échantillon. Nous observons des sommets dans les CV estimés pour certaines provinces qui n’ont pas nécessairement les plus petites tailles d’échantillon. Ces plus grandes valeurs de CV s’expliquent par la présence d’achats et de ventes nuls du produit considéré dans de nombreux bureaux de tabac de ces provinces (le produit examiné n’y est pas acquis chaque mois). Il apparaît clairement que l’estimateur direct est le moins efficace de tous.

Le tableau A.1 de l’annexe donne les estimations par l’estimateur direct, LCAL et MPE/EBE des ventes totales de la province pour le produit, complétées par l’estimation de leurs CV. Le tableau confirme les meilleures performances du MPE/EBE pour ce qui est de l’estimation du CV dans le modèle à erreurs emboîtées, particulièrement pour les provinces ayant de petites tailles d’échantillon. Enfin, l’estimateur direct a des performances médiocres en termes de CV même si l’on ne tient pas compte du biais attribuable à l’échantillonnage défini par un seuil d’inclusion.

• Précédent
• Page principale de l'article
• Suivant