Échantillonnage d’ensembles ordonnés avec probabilité proportionnelle à la taille dans des populations stratifiées
Section 7. Conclusions

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Un échantillonnage avec probabilité proportionnelle à la taille donne des estimateurs très efficaces pour la moyenne et le total de la population quand il existe une mesure de la taille pour chaque unité de la population. La mesure de la taille contient de l’information significative sur l’importance de chaque unité incluse dans l’échantillon. Elle fournit également des renseignements importants sur la position relative (rang) des unités de population. En conjuguant ces deux éléments d’information de façon significative, on obtient un nouveau plan d’échantillonnage, l’échantillonnage d’ensembles ordonnés PPT stratifié. L’échantillonnage d’ensembles ordonnés PPT stratifié conjugue les gains d’efficacité de l’échantillonnage probabiliste et l’information sur la position (rang) de l’unité de l’échantillon dans un ensemble de comparaison.

Nous avons construit des estimateurs sans biais pour la moyenne de la population, son total et leurs variances. La répartition de taille d’échantillon à chaque strate joue un rôle significatif dans l’efficacité des estimateurs. Le choix de la répartition de taille d’échantillon dépend du coût de l’échantillonnage, des tailles de population des strates et des variances. Si les populations plus grandes présentent des variances plus importantes, la répartition proportionnelle fonctionne raisonnablement bien. Le nouveau plan de sondage est appliqué aux données sur la production de pommes dans une population stratifiée.

Annexe

Démonstration du théorème 1. Notons d’abord que $\left(Y_{\left[h\right]i}\mathrm{,}{\pi }_{\left[h\right]i}\right),$ $i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots ,d$ sont des variables iid aléatoires. Puis, nous écrivons

$$\begin{array}{ll}E\left({\overline{Y}}_{\text{OP}\mathrm{,}N}\right)\hfill & =\frac{1}{dHN}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}dE\left(\frac{Y_{\left[h\right]1}}{{\pi }_{\left[h\right]1}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{dHN}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}d{y}_k\frac{P\left(Y_{\left[h\right]1}\mathrm{<mo>=</mo>}{y}_k\right)}{{\pi }_k}\hfill \\ \hfill & =\frac{1}{HN}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}\frac{y_k}{{\pi }_k}{f}_{\left[h<mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mtext>\hspace{0.17em}</mtext>:H\right]}\left(y_k\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{HN}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}\frac{y_k}{{\pi }_k}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}{f}_{\left[h<mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mtext>\hspace{0.17em}</mtext>:H\right]}\left(y_k\right)\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

En utilisant la cohérence de la procédure de classement de l’équation (2.2), nous écrivons

$$E\left({\overline{Y}}_{\text{OP}\mathrm{,}N}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{HN}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}\left(\frac{y_k}{{\pi }_k}\right)Hf\left(y_k\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{N}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}\left(\frac{y_k}{{\pi }_k}\right){\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}{\pi }_{j}I\left(y_k\mathrm{<mo>=</mo>}{y}_j\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{N}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}{y}_k\mathrm{<mo>=</mo>}{\mu }_N\mathrm{.}$$

Afin de démontrer la variance, considérons

$$\begin{array}{ll}\text{Var}\left({\overline{Y}}_{\text{OP}\mathrm{,}N}\right)\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{d}{H^2{d}^2{N}^2}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}\text{Var}\left(\frac{Y_{\left[h\right]1}}{{\pi }_{\left[h\right]1}}\right)\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{H^{2}d{N}^2}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}\left\{E{\left(\frac{Y_{\left[h\right]1}}{{\pi }_{\left[h\right]1}}\right)}^2-{\left[E\left(\frac{Y_{\left[h\right]1}}{{\pi }_{\left[h\right]1}}\right)\right]}^2\right\}\hfill \\ \hfill & =\frac{1}{nH{N}^2}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}E{\left(\frac{Y_{\left[h\right]1}}{{\pi }_{\left[h\right]1}}\right)}^2-\frac{1}{nH{N}^2}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}{\mu }_{\left[h<mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mtext>\hspace{0.17em}</mtext>:H\right]}^2\mathrm{.}(\text{A}\text{.1})\hfill \end{array}$$

En nous appuyant encore une fois sur la cohérence de la procédure de classement à l’intérieur de l’ensemble de l’équation (2.2), nous écrivons

$$\begin{array}{ll}\frac{1}{n{N}^{2}H}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}E{\left(\frac{Y_{\left[h\right]1}}{{\pi }_{\left[h\right]1}}\right)}^2\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{n{N}^2}E{\left(\frac{Y_1}{{\pi }_1}\right)}^2\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{n{N}^2}\text{Var}\left(\frac{Y_1}{{\pi }_1}\right)+\frac{1}{n{N}^2}{\left\{E\left(\frac{Y_1}{{\pi }_1}\right)\right\}}^2\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\text{Var}\left({\overline{Y}}_{\text{PPT}}\right)+{\mu }_N^2/n\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

Nous insérons maintenant ce résultat dans l’équation (A.1) pour écrire

$$\begin{array}{ll}\text{Var}\left({\overline{Y}}_{\text{OP}\mathrm{,}N}\right)\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\text{Var}\left({\overline{Y}}_{\text{PPT}}\right)+{\mu }_N^2/n-\frac{1}{nH{N}^2}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}{\mu }_{\left[h<mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mtext>\hspace{0.17em}</mtext>:H\right]}^2\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\text{Var}\left({\overline{Y}}_{\text{PPT}}\right)-\frac{1}{nH{N}^2}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}{\left({\mu }_{\left[h<mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mtext>\hspace{0.17em}</mtext>:H\right]}-N{\mu }_N\right)}^2\hfill \\ \hfill & \le \text{Var}\left({\overline{Y}}_{\text{PPT}}\right)\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

Le théorème est démontré.

Démonstration du théorème 2. On constate aisément que

$$\begin{array}{ll}E\left({\widehat{\sigma }}_{{\overline{Y}}_{\text{OP},N}}^2\right)\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{2d\left(d-1\right)}{2d^2\left(d-1\right)N^2{H}^2}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}E{\left(\frac{Y_{\left[h\right]1}}{{\pi }_{\left[h\right]1}}\right)}^2-\frac{2d\left(d-1\right)}{2d^2\left(d-1\right)N^2{H}^2}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}E\left(\frac{Y_{\left[h\right]1}}{{\pi }_{\left[h\right]1}}\right)E\left(\frac{Y_{\left[h\right]2}}{{\pi }_{\left[h\right]2}}\right)\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{d{H}^2{N}^2}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}\left\{E{\left(\frac{Y_{\left[h\right]1}}{{\pi }_{\left[h\right]1}}\right)}^2-{\left[E\left(\frac{Y_{\left[h\right]1}}{{\pi }_{\left[h\right]1}}\right)\right]}^2\right\}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{d{H}^2{N}^2}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}{\sigma }_{\left[h<mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mtext>\hspace{0.17em}</mtext>:H\right]}^2\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

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