Échantillonnage d’ensembles ordonnés avec probabilité proportionnelle à la taille dans des populations stratifiées
Section 5. Comparaison de l’efficacité du nouveau plan de sondage et de l’estimateur

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Dans cette section, nous examinons l’efficacité des estimateurs calculés pour un échantillon d’ensembles ordonnés PPT stratifié. Considérons une population stratifiée avec trois strates $\left(L\mathrm{<mo>=</mo>\; 3}\right).$ Pour voir les effets de la taille et des variances de la population de la strate sur les procédures de répartition, nous avons produit des populations stratifiées ayant des tailles de population et des variances différentes. À des fins de clarté dans la notation, nous définissons les proportions de tailles de population et de variances comme suit :

$$p_{N_l}=\frac{N_l}{{\displaystyle {\sum }_{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^L{N}_l}}\mathrm{,}{p}_{{\sigma }_{N_l}}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\sigma }_{N_l}}{{\displaystyle {\sum }_{l=1}^L{\sigma }_{N_l}}}\mathrm{,}l\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}L\mathrm{.}$$

Notons que les répartitions proportionnelle et de Neyman sélectionnent respectivement des tailles d’échantillon de strate proportionnelles à $p_{N_l}$ et à $p_{{\sigma }_{N_l}}.$

Dans cette partie de la simulation, les valeurs de population des variables $Y$ et $X$ sont générées par un modèle différent des modèles des équations (2.3) et (2.4). Pour la population de strate $l,$ nous produisons $X_l^{*}\mathrm{<mo>=</mo>}\left(X_{\mathrm{1,}l}^{*}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{X}_{N_l\mathrm{,}l}^{*}\right)$ à partir de

$$X_{i\mathrm{,}l}^{*}\mathrm{<mo>=</mo>}{F}^{-1}\left(i/\left(N+1\right)\mathrm{<mo>;</mo>}\text{0,1}\right)\mathrm{<mo>;</mo>}i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}{N}_l\mathrm{,}$$

où $F\left(\mathrm{<mo>;</mo>}\lambda \right)$ est la fonction de distribution cumulative de la distribution exponentielle avec une moyenne de 10 (taux $\lambda \mathrm{<mo>=</mo>}$ 0,1). Pour simplifier la construction des valeurs de la variable $X$ à partir de la population de strate, nous avons remis à l’échelle $X_{i\mathrm{,}l}^{*}$ par

$$X_{i\mathrm{,}l}=\sqrt{\frac{X_{i\mathrm{,}l}^{*}}{\text{min}\left(X{}_l^{*}\right)}}\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}{N}_l\mathrm{.}$$

Les valeurs de la variable $Y$ dans la population de strate $l$ sont générées à partir des quantiles d’une distribution normale au moyen de la variable $X_{i\mathrm{,}l},$ $i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}{N}_l.$ Premièrement, nous calculons

$${\epsilon }_{i\mathrm{,}l}\mathrm{<mo>=</mo>}{G}^{-1}\left(i/\left(N_l+1\right)\mathrm{<mo>;</mo>}{\theta }_l\mathrm{,}{\tau }_l\right)\mathrm{<mo>;</mo>}i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}{N}_l\mathrm{,}$$

où $G\left(\mathrm{<mo>;</mo>}a\mathrm{,}b\right)$ est la FDC d’une distribution normale avec une moyenne $a$ et un écart-type $b.$ Les valeurs de la variable $Y$ sont alors construites à partir de

$$Y_{i\mathrm{,}l}\mathrm{<mo>=</mo>}{X}_{i\mathrm{,}l}{\epsilon }_{i\mathrm{,}l}\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}{N}_l\mathrm{.}$$

Dans cette construction, on constate clairement que les valeurs de la variable $Y$ sont proportionnelles aux valeurs de la variable $X.$ L’utilisation de l’échantillon d’ensembles ordonnés PPT stratifié convient donc ici.

Dans l’étude par simulations, la taille totale de la population $N,$ la taille de l’échantillon $n$ et le paramètre d’emplacement ${\theta }_l\left(l\mathrm{<mo>=</mo>}1;2;3\right)$ sont sélectionnés de façon à ce qu’ils soient égaux respectivement à $N\mathrm{<mo>=</mo>}$ 700, $n\mathrm{<mo>=</mo>}$ 90 et ${\theta }_l\mathrm{<mo>=</mo>}$ 5. Les valeurs $N_l$ et ${\tau }_l$ sont variées pour établir les valeurs de $p_{N_l}$ et $p_{{\sigma }_{N_l}}$ dans les tableaux 5.1 et 5.2. Pour les quatre premières lignes, les tailles de population et les écarts-types sont sélectionnés de façon à ce qu’ils soient respectivement de $N_1\mathrm{<mo>=</mo>}$ 100, $N_2\mathrm{<mo>=</mo>}$ 200, $N_3\mathrm{<mo>=</mo>}$ 400 et ${\sigma }_{N_1}\mathrm{<mo>=</mo>}$ 35, ${\sigma }_{N_2}\mathrm{<mo>=</mo>}$ 10, ${\sigma }_{N_3}\mathrm{<mo>=</mo>}$ 5. Pour les quatre dernières lignes, les tailles de population et les écarts-types sont sélectionnés comme étant respectivement $N_1\mathrm{<mo>=</mo>}$ 400, $N_2\mathrm{<mo>=</mo>}$ 200, $N_3\mathrm{<mo>=</mo>}$ 100 et ${\sigma }_{N_1}\mathrm{<mo>=</mo>}$ 35, ${\sigma }_{N_2}\mathrm{<mo>=</mo>}$ 10, ${\sigma }_{N_3}\mathrm{<mo>=</mo>}$ 5. Afin de faciliter la comparaison, on utilise une taille d’ensemble identique $H$ $\left(H\mathrm{<mo>=</mo>}2;3;5;6\right)$ dans toutes les populations de strate pour toute combinaison de choix particuliers de $p_{N_l}$ et $p_{{\sigma }_{N_l}},$ $l\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots ,L.$

L’estimateur sans biais de la variance de la moyenne de l’échantillon nécessite que $d_l\ge 2,$ pour $l\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}L.$ Dans la répartition de Neyman et la répartition proportionnelle, il se peut que cette hypothèse ne se vérifie pas dans certains échantillons de strate quand la valeur de $p_{N_l}$ ou $p_{{\sigma }_{N_l}}$ est trop petite. Dans ce cas, nous avons modifié la répartition de Neyman et la répartition proportionnelle pour que $d_l\ge 2$ en réduisant la valeur maximale de $d_l$ et en augmentant toute valeur de $d_l$ inférieure à 2. Il se peut que ces procédures de répartition ne soient pas optimales avec cette modification.

Le tableau 5.1 présente les efficacités relatives de la moyenne de l’échantillon d’ensembles ordonnés PPT stratifié par rapport à la moyenne de l’échantillon PPT stratifié selon les procédures de répartition égale, proportionnelle et de Neyman. Les efficacités sont calculées au moyen des équations (3.1), (4.1), (4.2) et (4.4). On constate clairement que la moyenne de l’échantillon d’ensembles ordonnés PPT stratifié est plus efficace que la moyenne de l’échantillon PPT stratifié selon toutes les procédures de répartition. L’amélioration de l’efficacité augmente avec la taille d’ensemble $H.$

Le tableau 5.2 présente les efficacités des procédures de répartition et des probabilités de couverture de l’intervalle de confiance approximatif pour la moyenne de population construite à partir des échantillons d’ensembles ordonnés PPT stratifiés. On calcule encore une fois les efficacités à partir des expressions analytiques des équations (3.1), (4.1), (4.2) et (4.4), alors qu’on calcule les probabilités de couverture à partir d’une étude par simulations en générant 5 000 échantillons d’ensembles ordonnés PPT stratifiés. Les échantillons PPT sont produits au moyen de la fonction « lahiri.design » dans le module R SDaA, Verbeke (2014). Les efficacités des répartitions égale et proportionnelle sont comparées à celles de la répartition de Neyman. Comme la répartition de Neyman est optimale, nous constatons que toutes les entrées, sauf 0,979 dans la dernière ligne de la colonne 9, sont supérieures à 1, comme prévu. Dans la dernière ligne, la répartition proportionnelle est plus efficace que celle de Neyman, car la répartition de Neyman y est modifiée. La répartition de Neyman donne $d_1\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{14,}{d}_2\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}{d}_3\mathrm{<mo>=</mo>}0.$ Cette répartition est modifiée en $d_1\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{11,}{d}_2\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{2,}{d}_3\mathrm{<mo>=</mo>}2$ pour que la taille du cycle de chaque échantillon de strate soit supérieure à 1. La répartition proportionnelle de la dernière ligne n’a pas nécessité de modification. Étant donné que la répartition de Neyman n’est plus optimale dans ce cas, elle n’est pas aussi efficace que la répartition proportionnelle.

En revanche, la répartition de Neyman reste préférable à la répartition égale y compris quand la première a été modifiée pour les tailles de cycle. On peut obtenir l’efficacité de la répartition proportionnelle par rapport à la répartition égale en divisant la colonne 8 du tableau 5.2 par la colonne 9. Si le ratio des entrées des colonnes 8 et 9 est supérieur à 1, la répartition proportionnelle est plus efficace que la répartition égale.

Il apparaît clairement que, dans les quatre premières lignes du tableau 5.2, la répartition égale est préférable à la répartition proportionnelle. En effet, dans ces populations, les populations de strate plus petites présentent des variances plus grandes. Par conséquent, la répartition proportionnelle sélectionne moins de données de la strate ayant une grande variance et plus de données de la strate ayant une petite variance. Dans les quatre dernières lignes du tableau 5.2, dans lesquelles de grandes populations ont de grandes variances, la répartition proportionnelle est plus efficace que la répartition égale, car elle attribue des tailles d’échantillon plus grandes aux strates ayant des variances plus grandes. Ces résultats concordent avec le résultat de l’équation (4.5), selon lequel la répartition proportionnelle est plus efficace quand de grandes populations de strate ont de grandes variances.

Les trois dernières colonnes du tableau 5.2 présentent les probabilités de couverture des intervalles de confiance pour la moyenne de population selon les procédures de répartition égale, proportionnelle et de Neyman. On constate nettement que toutes les probabilités de couverture sont très proches de la probabilité de couverture nominale de 0,95.

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