Échantillonnage d’ensembles ordonnés avec probabilité proportionnelle à la taille dans des populations stratifiées
Section 3. Échantillon d’ensembles ordonnés PPT en populations stratifiées

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Dans cette section, nous construisons un échantillon d’ensembles ordonnés PPT à partir d’une population stratifiée. L’ensemble de la population est divisé en $L$ populations de strates, $P^{N_l}\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{u_{\mathrm{1,}l}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{u}_{N_l\mathrm{,}l}\right\},$ où $N_l$ est la taille de la population de la $l^{\text{e}}$ population de strate, $l\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}L.$ Les moyennes, variances et totaux de la population de strate sont donnés par

$${\mu }_{N_l}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{N_l}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{N_l}}{y}_{i\mathrm{,}l}\mathrm{,}{\sigma }_{N_l}^2\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{N_l}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{N_l}}{\left(y_{i\mathrm{,}l}-{\mu }_{N_l}\right)}^2\text{}\mathrm{,}{t}_l\mathrm{<mo>=</mo>}{N}_l{\mu }_{N_l}\mathrm{,}l\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}L\mathrm{,}$$

où $y_{i\mathrm{,}l}$ est la valeur de $Y$ sur l’unité $u_{i\mathrm{,}l}$ dans la population $P^{N_l}.$ La moyenne, le total et la variance de la population globale sont définis comme suit :

$${\mu }_N\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{N}{\displaystyle \sum _{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^L}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{N_l}}{y}_{i\mathrm{,}l}\mathrm{,}{t}_N\mathrm{<mo>=</mo>}N{\mu }_N\mathrm{,}{\sigma }_N^2\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{N}{\displaystyle \sum _{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^L}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{N_l}}{\left(y_{i\mathrm{,}l}-{\mu }_N\right)}^2\text{}\mathrm{,}$$

où $N\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^L}{N}_l.$ On peut écrire la population totale comme étant $t\mathrm{<mo>=</mo>}N{\mu }_N.$ À partir de cette population stratifiée, nous construisons l’échantillon d’ensembles ordonnés PPT stratifié (OPS)

$$\left\{Y_{\left[h\right]i,l}\mathrm{,}{\pi }_{\left[h\right]i,l}\right\}\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}{d}_l\mathrm{<mo>;</mo>}h\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}{H}_l\mathrm{<mo>;</mo>}l\mathrm{<mo>=</mo>}1,\dots \mathrm{,}L\mathrm{,}$$

où $d_l$ et $H_l$ sont respectivement la taille du cycle et la taille de l’ensemble, dans l’échantillon de strate de la population $l.$ Soit $n_l\mathrm{<mo>=</mo>}{d}_l{H}_l$ la taille d’échantillon pour la strate $l,$ $l\mathrm{<mo>=</mo>}1,\dots \mathrm{,}L.$ Les estimateurs de la moyenne et du total de la population sont donnés ensuite par

$${\overline{Y}}_{\text{OPS}\mathrm{,}N}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^L}\frac{N_l}{N}{\overline{Y}}_{\text{OP}\mathrm{,}{N}_l}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^L}\frac{N_l}{N}\frac{1}{N_l{H}_l{d}_l}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{H_l}}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{d_l}}\frac{Y_{\left[h\right]i,l}}{{\pi }_{\left[h\right]i,l}}$$

et

$$T_{\text{OPS}\mathrm{,}N}\mathrm{<mo>=</mo>}N{\overline{Y}}_{\text{OPS}\mathrm{,}N}\mathrm{.}$$

Si l’on ignore l’information de classement et qu’on utilise l’échantillonnage PPT, l’échantillon PPT stratifié peut être noté comme suit :

$$\left\{Y_{i\mathrm{,}l}\mathrm{,}{\pi }_{i\mathrm{,}l}\right\}\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}{n}_l\mathrm{,}l\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}L\mathrm{.}$$

L’estimateur de la moyenne de la population basé sur l’échantillon PPT stratifié (PS) est donné par

$${\overline{Y}}_{\text{PS}\mathrm{,}N}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^L}\frac{N_l}{N}{\overline{Y}}_{P\mathrm{,}{N}_l}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^L}\frac{N_l}{N}\frac{1}{N_l{n}_l}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{n_l}}\frac{Y_{i\mathrm{,}l}}{{\pi }_{i\mathrm{,}l}}\mathrm{.}$$

Les manuels classiques décrivent la variance de ${\overline{Y}}_{\text{PS}\mathrm{,}N}$

$${\sigma }_{{\overline{Y}}_{\text{PS}\mathrm{,}N}}^2\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^L}\frac{N_l^2}{N^2}\frac{1}{n_l{N}_l^2}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{N_l}}{\pi }_k{\left\{\frac{y_k}{{\pi }_k}-N_l{\mu }_{N_l}\right\}}^2\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^L}\frac{N_l^2}{N^2}{\sigma }_{P\mathrm{,}{N}_l}^2\mathrm{.}(3.1)$$

Le prochain théorème montre que ${\overline{Y}}_{\text{OPS}\mathrm{,}N}$ et $T_{\text{OPS}\mathrm{,}N}$ sont des estimateurs sans biais pour respectivement la moyenne et le total de la population.

Théorème 3. Soit $\left\{Y_{\left[h\right]i\mathrm{,}l}\mathrm{,}{\pi }_{\left[h\right]i\mathrm{,}l}\right\}\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}{d}_l\mathrm{<mo>;</mo>}h\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}{H}_l\mathrm{<mo>;</mo>}l\mathrm{<mo>=</mo>}1,\dots \mathrm{,}L,$  un échantillon d’ensembles ordonnés PPT stratifié d’une population stratifiée. Dans tout modèle de classement cohérent satisfaisant l’équation (2.2), les estimateurs ${\overline{Y}}_{\text{OPS}\mathrm{,}N}$ et $T_{\text{OPS}\mathrm{,}N}$  sont sans biais pour la moyenne de la population $\left({\mu }_N\right)$  et son total $\left(t_N\right),$  respectivement, et leurs variances sont données par ${\sigma }_{{\overline{Y}}_{\text{OPS},N}}^2$  et ${\sigma }_{T_{\text{OPS},N}}^2,$

$$\begin{array}{ll}{\sigma }_{{\overline{Y}}_{\text{OPS},N}}^2\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^L}\frac{N_l^2}{N^2}{\sigma }_{{\overline{Y}}_{\text{OP},N_l}}^2\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^L}\frac{N_l^2}{N^2}\left\{{\sigma }_{P\mathrm{,}{N}_l}^2-\frac{1}{N_l^2{n}_l{H}_l}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{H_l}}{\left({\mu }_{\left[h<mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mtext>\hspace{0.17em}</mtext>:H_l\right]}-N_l{\mu }_{N_l}\right)}^2\right\}\le {\sigma }_{{\overline{Y}}_{\text{PS},N}}^2\hfill \\ {\sigma }_{T_{\text{OPS},N}}^2\hfill & =N^2{\sigma }_{{\overline{Y}}_{\text{OPS},N}}^2\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

La démonstration du théorème 3 suit celle du théorème 1. Le théorème 3 indique que la variance de la moyenne de l’échantillon ${\overline{Y}}_{\text{OPS}\mathrm{,}N}$ basée sur un échantillon d’ensembles ordonnés PPT stratifié est toujours inférieure ou égale à la variance de la moyenne de l’échantillon ${\overline{Y}}_{\text{PS}\mathrm{,}N}$ basée sur l’échantillon PPT stratifié dans les contextes où l’échantillonnage PPT convient.

À partir du théorème 2, l’estimateur sans biais de la variance ${\sigma }_{{\overline{Y}}_{\text{OPS},N}}^2$ est donné par

$${\widehat{\sigma }}_{{\overline{Y}}_{\text{OPS},N}}^2\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^L}\frac{N_l^2}{N^2}\frac{1}{2d_l^2\left(d_l-1\right)H_l^2{N}_l^2}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{H_l}}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{d_l}}{\displaystyle \sum _{j\ne i}^{d_l}}{\left\{\frac{Y_{\left[h\right]i,l}}{{\pi }_{\left[h\right]i,l}}-\frac{Y_{\left[h\right]j,l}}{{\pi }_{\left[h\right]j,l}}\right\}}^2\mathrm{,}{d}_l\mathrm{<mo>></mo>}\mathrm{1\; <mo>;</mo>}l\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}L\mathrm{.}$$

Cet estimateur de la variance sans biais donne un moyen de construire un intervalle de confiance approximatif pour la moyenne de la population ${\mu }_N,$ à savoir :

$${\overline{Y}}_{\text{OPS}\mathrm{,}N}\pm t_{df\text{}\mathrm{,}\alpha /2}{\widehat{\sigma }}_{{\overline{Y}}_{\text{OPS},N}}\text{}\mathrm{,}$$

où $df\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^L}{n}_l-{\displaystyle {\sum }_{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^L}{H}_l.$ Pour les échantillons de plus petite taille, on peut aussi obtenir les degrés de liberté approximatifs au moyen de l’approximation de Satterthwaite afin de tenir compte de l’effet des variances de population de strates inégales. On peut écrire une expression semblable pour un intervalle de confiance du total de la population $t_N.$

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