Échantillonnage d’ensembles ordonnés avec probabilité proportionnelle à la taille dans des populations stratifiées
Section 2. Échantillon d’ensembles ordonnés par échantillonnage avec probabilité proportionnelle à la taille

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Nous considérons une population finie de taille $N,$ $P^N\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{u_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{u}_N\right\}.$ Supposons que chaque unité de la population possède deux caractéristiques $Y$ et $X.$ Les valeurs de $X$ sont disponibles pour toutes les unités et les valeurs de $Y$ sont approximativement proportionnelles aux valeurs de $X.$ Un faible pourcentage des unités de population peut produire des valeurs extrêmes pour les deux variables $Y$ et $X$ avec une constante de proportionnalité différente. Soit ${\pi }_i$ la probabilité que l’unité $u_i$ soit sélectionnée dans $P^N,$ pour chaque tirage.

$${\pi }_i\mathrm{<mo>=</mo>}P\left(\begin{array}{l}\text{l’unité }{u}_i\text{ est sélectionnée à partir de }{P}^N\text{ selon un}\\ \text{échantillonnage par sélection avec remise pour chaque tirage}\end{array}\right),$$

où ${\pi }_i$ est proportionnel à la taille de $X$ pour l’unité $u_i.$ Les valeurs de la variable $Y$ dans la population $P^N$ sont indiquées par $y_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{y}_N.$ On définit la moyenne et la variance de cette population comme suit :

${\mu }_N=\frac{1}{N}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}{y}_k$  et  ${\sigma }_N^2\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{N}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}{\left(y_k-{\mu }_N\right)}^2\mathrm{.}$

Nous commençons par présenter brièvement la notation d’un échantillon PPT. Soit $n$ la taille de l’échantillon. Nous considérons un échantillon PPT, $\left(Y_i\mathrm{,}{\pi }_i\mathrm{,}{u}_i\right),$ $i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots ,n,$ construit à partir de la population $P^N$ selon un échantillonnage par plan de sélection avec remise avec une probabilité de sélection ${\pi }_i.$ La fonction de masse de probabilité (FMP) et la fonction de distribution cumulative (FDC) de la variable aléatoire $Y_i$ sont données par

$$P\left(Y_i\mathrm{<mo>=</mo>}y\right)\mathrm{<mo>=</mo>}f\left(y\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}{\pi }_{j}I\left(y_j\mathrm{<mo>=</mo>}y\right)\mathrm{,}F\left(y\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{z\mathrm{<mo>=</mo>}{y}_1}^y}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}{\pi }_{j}I\left(y_j\mathrm{<mo>=</mo>}z\right)\mathrm{.}$$

Nous constatons qu’étant donné que les unités d’échantillonnage $u_i,$ $i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots ,n,$ sont sélectionnées avec remise, les valeurs $Y_i,$ $i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots ,n,$ sont indépendantes et identiquement distribuées. Considérons maintenant les statistiques d’ordre $Y_{\left(h<mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mtext>\hspace{0.17em}</mtext>:n\right)}$ dans un échantillon de taille $n.$ La FDC des statistiques du $h^{\text{e}}$ ordre dans un échantillon de taille $n$ est donnée par

$$\begin{array}{ll}\begin{array}{l}{F}_{\left(h<mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mtext>\hspace{0.17em}</mtext>:n\right)}\left(y\right)\\ \end{array}\hfill & \begin{array}{l}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{r\mathrm{<mo>=</mo>}h}^n}\left(\begin{array}{l}n\hfill \\ r\hfill \end{array}\right)F^r\left(y\right){\left\{1-F\left(y\right)\right\}}^{n-r}\\ \end{array}\hfill \\ f_{\left(h<mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mtext>\hspace{0.17em}</mtext>:n\right)}\left(y\right)\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{F}_{\left(h<mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mtext>\hspace{0.17em}</mtext>:n\right)}\left(y\right)-F_{\left(h<mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mtext>\hspace{0.17em}</mtext>:n\right)}\left(y^{-}\right)\mathrm{,}(2.1)\hfill \end{array}$$

où $F_{\left(h<mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mtext>\hspace{0.17em}</mtext>:n\right)}\left(y^{-}\right)$ est la limite à gauche à $y.$

Nous construisons maintenant un échantillon d’ensembles ordonnés PPT qui combine l’information de classement dans les ensembles de comparaison avec l’information fournie par les probabilités de sélection dans un échantillon PPT. Soit $H$ la taille de l’ensemble. Au moyen d’un plan de sondage PPT, nous sélectionnons $H$ unités de la population avec remise pour former un ensemble de comparaison $S\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{u_1\mathrm{,}\dots ,u_H\right\}$ avec probabilités de sélection, $\left\{{\pi }_{u_1}\text{}\mathrm{,}\dots ,{\pi }_{u_H}\right\}.$ Les unités de cet ensemble sont classées de la plus petite à la plus grande à partir des valeurs de la variable de taille $X,$ ce qui produit $S^{*}\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\left(Y_{\left[1\right]}\mathrm{,}{\pi }_{\left[1\right]}\mathrm{,}{u}_{\left[1\right]}\mathrm{,}{X}_{\left(1\right)}\right)\mathrm{,}\dots ,\left(Y_{\left[H\right]}\mathrm{,}{\pi }_{\left[H\right]}\mathrm{,}{u}_{\left[H\right]}\mathrm{,}{X}_{\left(H\right)}\right)\right\},$ où $Y_{\left[h\right]}$ est la valeur de la variable $Y$ et ${\pi }_{\left[h\right]}$ est la probabilité de sélection de l’unité $u_{\left[h\right]}$ qui correspond à la $h^{\text{e}}$ plus petite valeur de $X$ $\left(X_{\left(h\right)}\right)$ dans l’ensemble. La plus petite unité classée dans l’ensemble $S^{*}$ est sélectionnée et mesurée pour la variable $Y,$ $Y_{\left[1\right]},$ et sa probabilité de sélection, ${\pi }_{\left[1\right]},$ est enregistrée. Les unités restantes $H-1$ ne sont pas mesurées. On les utilise seulement pour obtenir le rang de $u_1$ en se fondant sur le classement des mesures de $X.$ Nous construisons un autre ensemble de comparaison au moyen d’un échantillon PPT et nous classons les unités selon la variable $X.$ Cette fois, nous mesurons la variable $Y$ sur l’unité qui correspond à la deuxième plus petite valeur de $X$ et enregistrons sa probabilité de sélection, $\left(Y_{\left[2\right]}\mathrm{,}{\pi }_{\left[2\right]}\right).$ Nous continuons de construire des ensembles de comparaison et de mesurer les variables $Y$ jusqu’à ce que nous ayons la mesure de l’unité qui correspond à la plus grande valeur de $X,$ $\left(Y_{\left[H\right]}\mathrm{,}{\pi }_{\left[H\right]}\right).$ Les valeurs mesurées $\left(Y_{\left[h\right]}\mathrm{,}{\pi }_{\left[h\right]}\right)\mathrm{,}h\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}H,$ sont appelées cycle. Pour augmenter la taille de l’échantillon à $n\mathrm{<mo>=</mo>}Hd,$ tout le processus est répété pour $d$ cycles. Les valeurs mesurées $Y_{\left[h\right]j}\mathrm{,}{\pi }_{\left[h\right]j},$ $h\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots ,H,$ $j\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}d$ sont appelées échantillon d’ensembles ordonnés PPT, où $Y_{\left[h\right]j}\mathrm{,}{\pi }_{\left[h\right]j}$ sont la mesure de $Y$ et la probabilité de sélection de l’unité $u_{\left[h\right]}$ qui correspond à la $h^{\text{e}}$ plus petite valeur de la variable $X$ dans l’ensemble $h$ et le cycle $j.$ Nous appelons $Y_{\left[h\right]i}$ statistique du $h^{\text{e}}$ ordre induit puisque sa position est induite par les valeurs de $X$ dans l’ensemble. Nous remarquons que la statistique d’ordre induit $Y_{\left[h\right]i}$ et l’unité d’ordre induit $u_{\left[h\right]i}$ sont définies dans des ensembles de comparaison avec la taille d’ensemble $H.$ Pour simplifier la notation, nous omettons la taille d’ensemble $H$ et écrivons $Y_{\left[h\right]i}\mathrm{<mo>=</mo>}{Y}_{\left[h<mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mtext>\hspace{0.17em}</mtext>:H\right]i},$ $u_{\left[h\right]i}\mathrm{<mo>=</mo>}{u}_{\left[h<mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mtext>\hspace{0.17em}</mtext>:H\right]i}.$

L’échantillon des ensembles ordonnés PPT est illustré dans le tableau 2.1 pour la taille d’ensemble $H\mathrm{<mo>=</mo>}3$ et la taille de cycle $d\mathrm{<mo>=</mo>}2.$ Pour chaque cycle, le tableau contient trois ensembles de comparaison (lignes). Chaque ensemble comporte trois unités. Les unités de chaque ensemble sont classées selon la variable $X.$ Les unités de la diagonale (en gras) sont mesurées pour les valeurs des variables $Y,$ et leurs probabilités de sélection sont enregistrées. La dernière colonne contient les valeurs mesurées des unités de l’échantillon d’ensembles ordonnés PPT. Chaque point de données mesuré dans le tableau 2.1 donne trois éléments d’information : (1) la valeur de $Y,$ (2) la probabilité de sélection de l’unité selon un échantillonnage avec remise, et (3) la position relative de l’unité dans son ensemble de comparaison. On peut établir une comparaison intuitive entre l’échantillon d’ensembles ordonnés PPT et d’autres plans de sondage décrits dans la littérature. Par exemple, un échantillon aléatoire simple fournit l’information du point (1), un échantillon d’ensembles ordonnés fournit l’information des points (1) et (3), et un échantillon PPT fournit l’information des points (1) et (2). Selon nos anticipations (que nous démontrons dans le théorème 1), l’échantillon d’ensembles ordonnés PPT est plus informatif que ces trois plans de sondage et présente donc une variance plus petite, puisqu’il fournit l’information des points (1), (2) et (3).

Nous constatons que $Y_{\left[h\right]1}$ n’est pas nécessairement identique à la valeur de $Y$ de l’unité ayant la $h^{\text{e}}$ plus petite valeur de $Y$ $\left(Y_{\left(h\right)1}\right)$ puisque son rang est induit selon la variable de taille $X.$ Les crochets servent à noter la possibilité d’une erreur de classement à l’intérieur de l’ensemble. En l’absence d’erreur de classement, les crochets sont remplacés par des parenthèses. Dans ce cas $Y_{\left(h\right)1}$ devient la statistique du $h^{\text{e}}$ ordre dans un ensemble de taille $H.$

Dans une étude récente, Ozturk (2019b) a utilisé les rangs induits de façon post-expérimentale dans un échantillon poststratifié par choix raisonné PPT. La principale différence entre un échantillon d’ensembles ordonnés PPT et un échantillon poststratifié par choix raisonné PPT est la mise en œuvre du processus de classement. Les rangs dans un échantillon d’ensembles ordonnés PPT sont obtenus avant la mesure de la variable $Y,$ alors que les rangs dans un échantillon poststratifié par choix raisonné PPT sont obtenus de manière post-expérimentale après la mesure des variables $Y$ dans un échantillon PPT.

Dans l’ensemble de l’article, notre procédure de classement satisfait à la condition de cohérence

$$\text{HF}\left(y\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}{F}_{\left[h<mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mtext>\hspace{0.17em}</mtext>:H\right]}\left(y\right),(2.2)$$

où $F_{\left[h<mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mtext>\hspace{0.17em}</mtext>:H\right]}\left(y\right)$ est la FDC de $Y_{\left[h\right]i}.$ La démonstration de l’équation (2.2) se trouve dans Presnell et Bohn (1999). La cohérence du processus de classement indique que la même procédure de classement, aussi imparfaite soit-elle, est appliquée dans tous les ensembles de comparaison. Par conséquent, l’égalité dans l’équation (2.2) se vérifie pour les méthodes de classement qui utilisent la variable de taille $X.$

Nous construisons un estimateur pour la moyenne de la population à partir de l’échantillon d’ensembles ordonnés PPT :

$${\overline{Y}}_{\text{OP}\mathrm{,}N}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{HdN}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^d}\frac{Y_{\left[h\right]i}}{{\pi }_{\left[h\right]i}}\mathrm{.}$$

L’estimateur pour le total de la population est donné par $T_{\text{OP}\mathrm{,}N}\mathrm{<mo>=</mo>}N{\overline{Y}}_{\text{OP}\mathrm{,}N}.$ L’estimateur PPT standard, souvent appelé estimateur de Hansen-Hurwitz, avec la taille d’échantillon $n\mathrm{<mo>=</mo>}dH$ a la même forme que l’estimateur ${\overline{Y}}_{\text{OP}},$ mais il n’utilise pas l’information de classement :

$${\overline{Y}}_{P\text{}\mathrm{,}N}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{nN}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^n}\frac{Y_i}{{\pi }_i}\mathrm{.}$$

Dans les manuels classiques, la variance de ${\overline{Y}}_{P\text{}\mathrm{,}N}$ est (voir, par exemple, Thompson, 2002, page 52)

$${\sigma }_{{\overline{Y}}_{P\text{},N}}^2\mathrm{<mo>=</mo>}\text{Var}\left({\overline{Y}}_{P\text{}\mathrm{,}N}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{n{N}^2}\text{Var}\left(\frac{Y_1}{{\pi }_1}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{n{N}^2}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}{\pi }_k{\left(\frac{y_k}{{\pi }_k}-N{\mu }_N\right)}^2\mathrm{.}$$

Théorème 1. Soit $\left(Y_{\left[h\right]i}\mathrm{,}{\pi }_{\left[h\right]i}\right),$   $h\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots ,H,$   $i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots ,d$ un échantillon d’ensembles ordonnés PPT de la population $P^N.$  Dans tout scénario de classement cohérent satisfaisant l’équation (2.2), l’estimateur ${\overline{Y}}_{\text{OP}\mathrm{,}N}\left(T_{\text{OP}\mathrm{,}N}\right)$  est sans biais pour la moyenne de la population (total). Leurs variances sont égales à ${\sigma }_{{\overline{Y}}_{\text{OP},N}}^2$ et ${\sigma }_{T_{\text{OP},N}}^2$

$$\begin{array}{ll}{\sigma }_{{\overline{Y}}_{\text{OP},N}}^2\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{H^{2}d{N}^2}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}\left\{{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}\frac{y_k^2}{{\pi }_k^2}{f}_{\left[h<mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mtext>\hspace{0.17em}</mtext>:H\right]}\left(y_k\right)-{\left[{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}\frac{y_k}{{\pi }_k}{f}_{\left[h<mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mtext>\hspace{0.17em}</mtext>:H\right]}\left(y_k\right)\right]}^2\right\}\hfill \\ \hfill & =\frac{1}{H^{2}d{N}^2}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}{\sigma }_{\left[h<mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mtext>\hspace{0.17em}</mtext>:H\right]}^2\mathrm{<mo>=</mo>}{\sigma }_{{\overline{Y}}_{p,N}}^2-\frac{1}{nH{N}^2}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}{\left({\mu }_{\left[h<mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mtext>\hspace{0.17em}</mtext>:H\right]}-N{\mu }_N\right)}^2\le {\sigma }_{{\overline{Y}}_{p,N}}^2\mathrm{,}\hfill \\ {\sigma }_{T_{\text{OP},N}}^2\hfill & =N^2{\sigma }_{{\overline{Y}}_{\text{OP},N}}^2\mathrm{,}\hfill \end{array}$$

où ${\mu }_{\left[h<mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mtext>\hspace{0.17em}</mtext>:H\right]}\mathrm{<mo>=</mo>}E\left(\frac{Y_{\left[h\right]1}}{{\pi }_{\left[h\right]1}}\right)$ et ${\sigma }_{\left[h<mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mtext>\hspace{0.17em}</mtext>:H\right]}^2\mathrm{<mo>=</mo>}E{\left(\frac{Y_{\left[h\right]1}}{{\pi }_{\left[h\right]1}}\right)}^2-{\mu }_{\left[h<mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mtext>\hspace{0.17em}</mtext>:H\right]}^2$ sont la moyenne et la variance de $Y_{\left[h\right]i}/{\pi }_{\left[h\right]i}.$

Nous notons que les deux dernières valeurs attendues du théorème 1 sont calculées au moyen d’une distribution aléatoire. Le théorème 1 montre que l’estimateur ${\overline{Y}}_{\text{OP}\mathrm{,}N}$ a toujours une variance plus petite que la variance de la moyenne d’un estimateur PPT dans la mesure où il y a des renseignements significatifs pour classer les unités de l’échantillon dans un ensemble de comparaison. Dans les contextes où l’échantillon PPT convient, l’information de classement serait disponible puisque la variable de taille $X$ est approximativement proportionnelle à la variable $Y.$ Il donne par conséquent de façon raisonnablement exacte le classement des unités dans les ensembles de comparaison.

La fonction de masse de probabilité dans le théorème 1, $f_{\left[h<mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mtext>\hspace{0.17em}</mtext>:H\right]}\left(y_k\right),$ est donnée pour un classement parfait comme dans l’équation (2.1). Selon un classement imparfait, $f_{\left[h<mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mtext>\hspace{0.17em}</mtext>:H\right]}\left(y_k\right)$ est la FMP de la statistique d’ordre induit $Y_{\left[h\right]1}$ et sa forme est inconnue. Dans le prochain théorème, nous donnons un estimateur sans biais pour ${\sigma }_{{\overline{Y}}_{\text{OP},N}}^2$ $\left({\sigma }_{T_{\text{OP},N}}^2\right)$ quelle que soit la qualité de l’information de classement.

Théorème 2. Soit $\left(Y_{\left[h\right]i}\mathrm{,}{\pi }_{\left[h\right]i}\right),$   $h\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots ,H;$   $i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots ,d,$  un échantillon d’ensembles ordonnés PPT de la population $P^N.$  Dans tout scénario de classement cohérent satisfaisant l’équation (2.2), les estimateurs sans biais de ${\sigma }_{{\overline{Y}}_{\text{OP},N}}^2$  et ${\sigma }_{T_{\text{OP},N}}^2$  sont donnés par

$$\begin{array}{ll}{\widehat{\sigma }}_{{\overline{Y}}_{\text{OP},N}}^2\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{2d^2\left(d-1\right)H^2{N}^2}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^d}{\displaystyle \sum _{j\ne i}^d}{\left\{\frac{Y_{\left[h\right]i}}{{\pi }_{\left[h\right]i}}-\frac{Y_{\left[h\right]j}}{{\pi }_{\left[h\right]j}}\right\}}^2\text{}\mathrm{,}d\mathrm{<mo>></mo>}1\hfill \\ {\widehat{\sigma }}_{T_{\text{OP},N}}^2\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{N}^2{\widehat{\sigma }}_{{\overline{Y}}_{\text{OP},N}}^2\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

Pour les échantillons de taille moyenne, nous pouvons utiliser l’approximation normale pour fournir des intervalles de confiance approximatifs de 100 % $\left(1-\alpha \right)$ pour la moyenne et le total de la population, à savoir :

$${\overline{Y}}_{\text{OP}\mathrm{,}N}\pm t_{n-H\mathrm{,}\alpha /2}{\widehat{\sigma }}_{{\overline{Y}}_{\text{OP},N}}^2\text{}\mathrm{,}{\overline{T}}_{\text{OP}\mathrm{,}N}\pm t_{n-H\mathrm{,}\alpha /2}{\widehat{\sigma }}_{{\overline{T}}_{\text{OP},N}}^2\text{}\mathrm{,}$$

où $t_{n-H\mathrm{,}a}$ est le $a^{\text{e}}$ quantile supérieur d’une distribution-t ayant des degrés de liberté $df\mathrm{<mo>=</mo>}n-H.$ On propose $df\mathrm{<mo>=</mo>}n-H$ pour tenir compte de l’hétérogénéité entre les classes de classement par choix raisonné. Pour les échantillons de petite taille, on peut estimer les degrés de liberté au moyen de l’approximation de Satterthwaite.

Nous étudions maintenant l’efficacité de l’estimateur pour un échantillon d’ensembles ordonnés PPT en utilisant plusieurs populations qui correspondent à la structure présentée dans la section 1. Des populations finies sont générées au moyen du modèle ci-dessous.

1. Pour une taille de population fixe $N,$ on génère la variable de taille $X$ à partir d’une distribution exponentielle avec une moyenne de 100 et on ordonne ces $N$ nombres aléatoires du plus petit au plus grand, $x_{\left(1\right)}\mathrm{<mo><</mo>}\dots \mathrm{<mo><</mo>}{x}_{\left(N\right)},$ où $x_{\left(i\right)}$ est la $i^{\text{e}}$ plus petite valeur des valeurs de $X.$
2. Soit $N^{*}$ le plus grand nombre entier de sorte que $N^{*}\le N\left(1-\omega \right).$ On génère les valeurs de $Y$ à partir de

$$y_{\left[i\right]}\mathrm{<mo>=</mo>}\{\begin{array}{ll}{x}_{\left(i\right)}+\tau {\epsilon }_i\hfill & i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots ,N^{*}\hfill \\ \beta x_{\left(i\right)}+\tau {\epsilon }_i\hfill & i\mathrm{<mo>=</mo>}{N}^{*}+\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{,}\hfill \end{array}(2.3)$$

• ou

$$y_{\left[i\right]}\mathrm{<mo>=</mo>}\{\begin{array}{ll}{x}_{\left(i\right)}+\tau \sqrt{x_{\left(i\right)}}{\epsilon }_i\hfill & i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots ,N^{*}\hfill \\ \beta x_{\left(i\right)}+\tau \sqrt{x_{\left(i\right)}}{\epsilon }_i\hfill & i\mathrm{<mo>=</mo>}{N}^{*}+\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{,}\hfill \end{array}(2.4)$$

• où ${\epsilon }_i$ est généré à partir d’une distribution normale avec moyenne zéro et variance 1 et $y_{\left[i\right]}$ est la valeur de la variable $Y$ qui correspond à la valeur de $x_{\left(i\right)}.$

Pour un nombre entier donné $N,$ ce modèle génère $N$ paires de mesures de $\left(Y\mathrm{,}X\right),$ pour lesquelles les valeurs de la variable $Y$ sont proportionnelles aux valeurs de la variable $X.$ Pour les unités de population produisant le plus grand $100\left(1-\omega \right)$ % des valeurs de $Y,$ la pente de la droite de régression entre les variables $Y$ et $X$ est $\beta$ plus grande que la pente de la droite de régression pour les autres unités. La variance de la variable $Y$ est constante dans le modèle (2.3) et augmente avec les valeurs de $X$ dans le modèle (2.4).

Nous avons réalisé une étude par simulations pour étudier l’efficacité de l’estimateur pour un échantillon d’ensembles ordonnés PPT. Des populations finies de taille $N\mathrm{<mo>=</mo>}$ 2 000 sont générées à partir des modèles (2.3) et (2.4). On sélectionne le paramètre de pente $\beta$ comme étant 2 ou 3. Le paramètre $\tau$ contrôle la corrélation entre les variables $Y$ et $X,$ $\rho \mathrm{<mo>=</mo>}\text{cor}\left(X\mathrm{,}Y\right),$ et il est sélectionné pour être $\tau \mathrm{<mo>=</mo>}3;8;20.$ Le paramètre $\omega$ contrôle le pourcentage d’unités de population ayant une constante de proportionnalité plus élevée pour les unités ayant des valeurs de $Y$ extrêmes. Nous considérons $\omega$ valeurs de 0,05; 0,10 et 0,20. Dans ce contexte de population, nous comparons l’efficacité de l’estimateur pour un échantillon d’ensembles ordonnés PPT avec les estimateurs PPT et par le ratio de la moyenne de la population. Les échantillons PPT avec remise ont été générés au moyen de la méthode de Lahiri (1951), qui ne sélectionne aucune des unités avec une probabilité de un dans la population, et donne à chaque unité de la population une probabilité positive d’être sélectionnée dans l’échantillon. Pour chaque échantillon, la taille de l’échantillon est fixée à $n\mathrm{<mo>=</mo>}dH,$ avec $d\mathrm{<mo>=</mo>}5$ et $H\mathrm{<mo>=</mo>}5;10.$ On utilise des tailles d’échantillon relativement plus petites $\left(n\mathrm{<mo>=</mo>}25;50\right)$ pour évaluer les comportements des petits échantillons des probabilités de couverture des intervalles de confiance de la moyenne de population. La taille de la simulation est de 20 000. Comme l’estimateur par le ratio n’est pas un estimateur sans biais par rapport au plan, nous utilisons l’erreur quadratique moyenne (EQM) de l’estimateur par le ratio pour comparer son efficacité avec l’estimateur pour un échantillon d’ensembles ordonnés PPT. L’EQM de l’estimateur par le ratio est calculée ainsi :

$${\text{EQM}}_R\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{\text{20}\text{000}}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{\text{20}\text{000}}}{\left({\overline{Y}}_{R\mathrm{,}i}-{\mu }_N\right)}^2\mathrm{,}{\overline{Y}}_{R\mathrm{,}i}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\overline{Y}}_i}{{\overline{X}}_i}{\mu }_X\mathrm{,}$$

où ${\overline{Y}}_i$ et ${\overline{X}}_i$ sont les moyennes d’échantillon des variables $Y$ et $X,$ respectivement, dans la $i^{\text{e}}$ itération de la simulation, et ${\mu }_X$ est la moyenne de la population de la variable $X.$

Le tableau 2.2 présente les résultats de l’efficacité et les probabilités de couverture (COV) des intervalles de confiance d’environ 95 % pour la moyenne de population selon la moyenne de l’échantillon d’ensembles ordonnés PPT. Les résultats de l’efficacité montrent que l’estimateur pour un échantillon d’ensembles ordonnés PPT est plus efficace que l’estimateur PPT et que l’estimateur par le ratio pour tous les paramètres de simulation dans le tableau 2.2. L’efficacité augmente avec chacun des paramètres de simulation $\rho ,$ $H,$ $\beta$ pour les valeurs fixes de tous les autres paramètres. Par exemple, dans le modèle de variance constante, pour les valeurs fixes de $\beta \mathrm{<mo>=</mo>}$ 2, $\omega \mathrm{<mo>=</mo>}$ 0,05 et $H\mathrm{<mo>=</mo>}$ 5, les valeurs d’efficacité par rapport aux estimateurs par le ratio et PPT sont de 2,093 et 1,235 pour $\rho \mathrm{<mo>=</mo>}$ 0,926 et 5,385 et de 1,657 pour $\rho \mathrm{<mo>=</mo>}$ 0,933, respectivement. Les mêmes valeurs d’efficacité dans le modèle de variation croissante sont de 1,128 et 1,018 pour $\rho \mathrm{<mo>=</mo>}$ 0,611 et de 3,335 et 1,348 pour $\rho \mathrm{<mo>=</mo>}$ 0,918, respectivement. On peut faire des observations similaires pour d’autres combinaisons de paramètres de simulation.

Les probabilités de couverture des intervalles de confiance pour la moyenne de population sont relativement proches de la probabilité de couverture nominale de 0,95 pour les modèles de variance constante et ceux de variance croissante.

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