Échantillonnage d’ensembles ordonnés avec probabilité proportionnelle à la taille dans des populations stratifiées
Section 4. Détermination de la taille de l’échantillon

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L’un des objectifs d’un plan de sondage stratifié consiste à maximiser le contenu informationnel de l’échantillon. Comme notre plan de sondage comprend la sélection d’échantillons de chacune des populations de strates, la répartition de taille d’échantillon aux populations de strates devient un enjeu important et a une grande incidence sur le contenu de l’information de l’échantillon. Nous examinerons quatre méthodes de répartition différentes : égale, proportionnelle, de Neyman et optimale pour un modèle de coût donné. La répartition de taille d’échantillon (pour ce qui est l’efficacité de l’estimateur) dépend fortement de la structure de coût de la procédure d’échantillonnage et de l’ampleur des variances au niveau de la strate. Par conséquent, ces quatre procédures de répartition donnent différents résultats d’efficacité, puisqu’elles cherchent à réduire au minimum le coût de l’échantillonnage ou la contribution des variances au niveau de la strate.

Notons que le nombre de strates $L$ est fixe et que la taille d’échantillon de la population de strate $l$ est $n_l.$ Pour une répartition égale, toutes les tailles d’échantillon de strate sont égales à $n_l\equiv n/L,$ $l\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}L,$ où $n$ est la taille d’échantillon totale dans l’échantillon d’ensembles ordonnés PPT stratifié. Pour la répartition proportionnelle, la taille d’échantillon $n_l$ est sélectionnée de façon à être proportionnelle à la taille de la population de strate $N_l$ $l\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}L\mathrm{,}$ à savoir :

$$n_l\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{N_l}{N}n\mathrm{,}l\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}L\mathrm{.}$$

Une fois que $n_l$ est déterminé de cette manière, on peut établir $d_l\mathrm{<mo>=</mo>}{n}_l/H_l$ pour une taille d’ensemble donnée $H_l.$ Dans les contextes où un échantillonnage PPT convient, le classement dans les ensembles de comparaison est effectué en fonction de la variable de taille $X.$ Comme la variable $X$ est proportionnelle à la variable $Y,$ nous nous attendons à ce que les variables $X$ et $Y$ soient fortement corrélées. Par conséquent, nous sélectionnons une valeur moyennement élevée de $H_l$ pour une valeur $n_l$ donnée, par exemple $H_l\mathrm{<mo>=</mo>}$ 5; 6 ou 10. Selon une répartition proportionnelle, la variance de ${\overline{Y}}_{\text{OPS}\mathrm{,}N}$ est obtenue par

$${\sigma }_{{\overline{Y}}_{\text{OPS},N}}^2\left(P\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^L}\frac{1}{N{N}_{l}n{H}_l}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{H_l}}{\sigma }_{\left[h<mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mtext>\hspace{0.17em}</mtext>:H_l\right]}^2\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^L}\frac{{\overline{\sigma }}_l^2}{N{N}_{l}n}\mathrm{,}(4.1)$$

où ${\overline{\sigma }}_l^2\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{H_l}{\displaystyle {\sum }_{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{H_l}}{\sigma }_{\left[h<mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mtext>\hspace{0.17em}</mtext>:H_l\right]}^2.$

La répartition de Neyman minimise la variance de l’estimateur pour ce qui est de la taille d’échantillon $n_l$ soumise à la contrainte que la somme des tailles d’échantillon de strate soit égale à $n.$ La méthode des multiplicateurs de Lagrange permet de montrer que

$$n_l\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{n{\overline{\sigma }}_l}{{\displaystyle {\sum }_{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^L{\overline{\sigma }}_l}}$$

minimise la variance de ${\overline{Y}}_{\text{OPS}\mathrm{,}N}.$ Dans une répartition de Neyman, la variance de ${\overline{Y}}_{\text{OPS}\mathrm{,}N}$ est réduite à la forme simple

$${\sigma }_{{\overline{Y}}_{\text{OPS},N}}^2\left(N\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^L}\frac{{\overline{\sigma }}_l{\displaystyle {\sum }_{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^L{\overline{\sigma }}_l}}{N^{2}n}\mathrm{.}(4.2)$$

Si l’étude de l’enquête a une contrainte budgétaire, on peut optimiser la répartition de taille d’échantillon en minimisant la variance de l’estimateur par une contrainte budgétaire dans une fonction de coût. On obtient une fonction de coût simple pour un échantillon d’ensembles ordonnés stratifiés PPT par

$$C_T\mathrm{<mo>=</mo>}{C}_0+{\displaystyle \sum _{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^L}\left(c_l+r_l\right)n_l\mathrm{,}(4.3)$$

où $C_T$ est le coût total, $C_0$ est le coût indirect, $c_l$ est le coût de la mesure d’une seule observation de la strate $l,$ et $r_l$ est le coût du classement de $H_l$ observations dans l’ensemble de comparaison dans une strate $l.$ Dans les contextes pour lesquels un échantillonnage d’ensembles ordonnés PPT convient, nous nous attendons à ce que $r_l$ soit nul ou très petit. Selon cette fonction de coût, la répartition optimale des tailles d’échantillon est donnée par

$$n_l\mathrm{<mo>=</mo>}n\frac{{\overline{\sigma }}_l/\sqrt{c_l+r_l}}{{\displaystyle {\sum }_{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^L{\overline{\sigma }}_l/\sqrt{c_l+r_l}}}\mathrm{,}l\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}L\mathrm{.}$$

Selon le modèle de coût (4.3), la variance de ${\overline{Y}}_{\text{OPS}\mathrm{,}N}$ est obtenue par

$${\sigma }_{{\overline{Y}}_{\text{OPS},N}}^2\left(C\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^L}\frac{{\overline{\sigma }}_l/\sqrt{c_l+r_l}{\displaystyle {\sum }_{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^L{\overline{\sigma }}_l/\sqrt{c_l+r_l}}}{N^{2}n}\mathrm{.}$$

Nous comparons maintenant l’estimateur pour un échantillon d’ensembles ordonnés PPT stratifié selon les procédures de répartition égale, proportionnelle et de Neyman. Selon une répartition égale, chaque échantillon de strate a la même taille d’échantillon $n_l\mathrm{<mo>=</mo>}n/L,$ $l\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots ,L.$ La variance de ${\overline{Y}}_{\text{OPS}\mathrm{,}N}$ selon la répartition égale est donnée par

$${\sigma }_{{\overline{X}}_{\text{OPS},N}}^2\left(E\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^L}\frac{L{\overline{\sigma }}_l^2}{N^{2}n}\mathrm{.}(4.4)$$

La différence entre les variances de ${\overline{Y}}_{\text{OPS}\mathrm{,}N}$ selon les répartitions égale et proportionnelle peut s’écrire comme suit :

$${\sigma }_{{\overline{Y}}_{\text{OPS},N}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\sigma }_{{\overline{Y}}_{\text{OPS},N}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>\; <mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mo>=</mo><mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mtext>\hspace{0.17em}</mtext>}{\displaystyle \sum _{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^L}\frac{L{\overline{\sigma }}_l^2}{Nn}\left\{\frac{N_l-\overline{N}}{N{N}_l}\right\}\mathrm{.}(4.5)$$

Nous nous attendons à ce que cette différence soit positive dans les contextes où les grandes populations de strate présentent de grandes variances. Dans ce cas, une répartition proportionnelle augmente la taille d’échantillon pour une grande population de strate afin de réduire la contribution de cet échantillon de strate à la variance de l’estimateur.

Selon la répartition de Neyman, nous obtenons

$${\sigma }_{{\overline{Y}}_{\text{OPS},N}}^2\left(E\right)-{\sigma }_{{\overline{Y}}_{\text{OPS},N}}^2\left(N\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^L}\frac{1}{N^{2}n}{\left\{{\overline{\sigma }}_l-{\overline{\sigma }}_{·}\right\}}^2\ge 0$$

et

$$\begin{array}{ll}{\sigma }_{{\overline{Y}}_{\text{OPS},N}}^2\left(P\right)-{\sigma }_{{\overline{Y}}_{\text{OPS},N}}^2\left(N\right)\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^L}\frac{{\overline{\sigma }}_l^2}{N{N}_{l}n}-{\displaystyle \sum _{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^L}\frac{{\overline{\sigma }}_l{\displaystyle {\sum }_{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^L{\overline{\sigma }}_l}}{N^{2}n}\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^L}\frac{L{\overline{\sigma }}_l^2}{\overline{N}{N}_{l}n}-{\displaystyle \sum _{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^L}\frac{{\overline{\sigma }}_l{\displaystyle {\sum }_{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^L{\overline{\sigma }}_l}}{N^{2}n}\hfill \\ \hfill & \ge {\displaystyle \sum _{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^L}\frac{L{\overline{\sigma }}_l^2}{N^{2}n}-{\displaystyle \sum _{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^L}\frac{{\overline{\sigma }}_l{\displaystyle {\sum }_{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^L{\overline{\sigma }}_l}}{N^{2}n}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^L}\frac{L}{N^{2}n}{\left\{{\overline{\sigma }}_l-{\overline{\sigma }}_{·}\right\}}^2\ge \mathrm{0,}\hfill \end{array}$$

où ${\overline{\sigma }}_{\mathrm{.}}^2\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^L}{\overline{\sigma }}_l^2/L.$ Comme prévu, la répartition de Neyman produit toujours une variance inférieure à celle des répartitions égale et proportionnelle, mais elle nécessite de connaître la variance des statistiques d’ordre induit avant la construction de l’échantillon. Dans un contexte où les tailles d’ensemble $H_l\equiv H$ pour tous les échantillons de strate et les variances de population de strate sont connues (ou peuvent être estimées) à partir d’études antérieures, on peut obtenir la répartition de Neyman comme suit :

$$n_l=\frac{n{\overline{\sigma }}_l}{{\displaystyle {\sum }_{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^L{\overline{\sigma }}_l}}\approx \frac{n{\widehat{\sigma }}_{N_l}}{{\displaystyle {\sum }_{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^L{\widehat{\sigma }}_{N_l}}}\mathrm{,}l\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}L\mathrm{,}$$

où ${\widehat{\sigma }}_{N_l}^2$ est l’estimation de la variance, ${\sigma }_{N_l}^2,$ de la population de strate $l.$

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