Échantillonnage d’ensembles ordonnés avec probabilité proportionnelle à la taille dans des populations stratifiées
Section 6. Exemple

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Dans cette section, nous appliquons le plan d’échantillonnage d’ensembles ordonnés PPT stratifié aux données relatives à la production de pommes. Nous considérons que les données sur la production de pommes fournies par l’Institut turc de la statistique sont une population finie. Les exploitations de pomiculture de cette population sont divisées en sept régions géographiques différentes $\left(L\mathrm{<mo>=</mo>\; 7}\right).$ Les exploitations de chaque région sont considérées comme une population de strate. Le tableau 6.1 montre que les tailles de population $\left(N_l\right),$ les moyennes $\left({\mu }_{N_l}\right)$ et les écarts-types $\left({\sigma }_{N_l}\right)$ varient significativement. Il est par conséquent naturel d’utiliser un échantillonnage stratifié pour réduire la variation due à l’échantillonnage. Étant donné que le nombre de pommiers $\left(X\right)$ de chaque canton est disponible et que les coefficients de corrélation $\left({\rho }_l\right)$ entre les variables $X$ et $Y$ sont relativement élevés dans les populations de strate, l’échantillon d’ensembles ordonnés PPT dans chaque population de strate serait un choix raisonnable.

Nous avons traité les données sur la production de pommes comme une population stratifiée et nous avons simulé des échantillons d’ensembles ordonnés PPT stratifiés (OPS) pour la taille d’échantillon $n\mathrm{<mo>=</mo>}$ 210 et les tailles d’ensemble $H\mathrm{<mo>=</mo>}2;3;5;6.$ Afin de comparer l’échantillonnage OPS avec les plans de sondage concurrents, nous avons aussi produit des échantillons au moyen d’un échantillon aléatoire simple stratifié (EASS) et d’un échantillon PPT stratifié (PS). Les échantillons sont sélectionnés selon des procédures de répartition égale (E), proportionnelle (P) et de Neyman (N) dans les trois plans de sondage.

Pour la répartition de Neyman et la répartition proportionnelle, quand la taille du cycle de strate $d_l$ est inférieure à 2, on modifie les répartitions de Neyman et proportionnelle en changeant toutes les valeurs $d_l\mathrm{<mo><</mo>}2$ en 2 et en réduisant la valeur maximale de $d_l$ afin que la taille totale de l’échantillon reste égale à $n.$ Cette modification nous permet d’obtenir un estimateur sans biais pour la variance de la moyenne de l’échantillon d’ensembles ordonnés PPT stratifié.

Le tableau 6.2 présente les efficacités relatives de la moyenne de l’échantillon d’ensembles ordonnés PPT par rapport aux estimateurs concurrents. Ces entrées sont obtenues à partir d’une simulation comportant 10 000 rééchantillonnages. Il apparaît clairement que la moyenne de l’échantillon OPS est plus efficace que les moyennes de l’échantillon EASS et PS selon toutes les procédures de répartition. En général, les efficacités augmentent avec la taille de l’ensemble $H$ quand les tailles du cycle de strate $\left(d_l\mathrm{<mo>=</mo>}{n}_l/H\mathrm{<mo>></mo>}1\right)$ ne sont pas trop petites $(H$ n’est pas grand). Quand la valeur de $H$ est grande, la répartition de Neyman est modifiée de sorte que $d_l\ge 2.$ Dans ce cas, la répartition de Neyman modifiée perd ses propriétés optimales, mais elle reste plus performante que les autres procédures de répartition.

À la section 4, nous avons observé que si les grandes populations ont de grandes variances, la répartition proportionnelle est préférable à la répartition égale. Le tableau 6.1 montre que certaines des petites populations de strate présentent des variances très importantes. Par exemple, la population de la région méditerranéenne (soit la deuxième plus petite population) compte 94 exploitations, mais son écart-type est le plus grand dans les 7 populations de strate. Par conséquent, les efficacités des répartitions proportionnelle et égale dans les échantillons EASS et PS semblent être identiques par rapport aux échantillons OPS (colonnes 2, 3 pour EASS et colonnes 5, 6 pour PS).

Pour l’échantillon d’ensembles ordonnés PPT stratifié, la répartition de Neyman apporte une amélioration considérable par rapport aux répartitions égale et proportionnelle. L’amélioration de l’efficacité est une fonction décroissante de la taille d’ensemble $H,$ mais cette réduction est due à l’utilisation d’une répartition de Neyman modifiée pour les grandes tailles d’ensemble (c’est-à-dire ayant une petite valeur de $d_l).$

Dans l’échantillon d’ensembles ordonnés PPT stratifié, la répartition égale est plus efficace que la répartition proportionnelle. On le voit dans le ratio des colonnes 8 et 9. Si nous divisons la colonne 8 par la colonne 9, toutes les entrées seraient inférieures à 1, ce qui indique que la répartition égale a une variance moindre que la répartition proportionnelle. Encore une fois, cela concorde avec l’équation (4.5), qui montre qu’une répartition égale est préférable si les grandes populations de strate présentent de petites variances.

Le tableau 6.2 donne aussi les probabilités de couverture d’intervalles de confiance d’environ 95 % pour la moyenne de la population. On constate nettement que les probabilités de couverture selon toutes les procédures de répartition sont très proches de la probabilité de couverture nominale de 0,95.

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