Échantillonnage d’ensembles ordonnés avec probabilité proportionnelle à la taille dans des populations stratifiées
Section 1. Introduction

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Dans les études par échantillonnage, le choix du plan de sondage dépend de la structure de la population. Dans cet article, nous considérons une structure de population présentant deux caractéristiques principales. Elle doit contenir une variable de taille $X$ et une variable d’intérêt $Y.$ Les valeurs de la variable de taille doivent être approximativement proportionnelles aux valeurs de la variable $Y,$ et les valeurs de la variable $X$ doivent être disponibles pour toutes les unités de population avant l’échantillonnage. La deuxième caractéristique de la structure de la population est qu’un petit pourcentage d’unités de population doit produire des valeurs extrêmes dans les variables $Y$ et $X$ avec des constantes de proportionnalité différentes. Ces unités produisent habituellement des moyennes et des variances plus grandes que les autres unités de la population dans les variables $Y$ et $X$ . Cette structure de population est très courante en pratique. Dans l’échantillonnage de données agricoles, la population agricole d’un État ou d’un pays peut contenir deux variables, les cultures agricoles $Y$ et la taille des exploitations agricoles $X$ en acres. Les exploitations agricoles peuvent être divisées en deux groupes, celles de tailles petites ou normales et les mégafermes qui ont des valeurs extrêmement grandes pour les variables $X$ et $Y.$ Le pourcentage de mégafermes serait petit, mais elles pourraient avoir des moyennes et des variances plus grandes pour les variables $Y$ et $X,$ et la constante de proportionnalité entre les valeurs $Y$ et $X$ peut être plus grande.

La structure de la population dans l’Enquête mensuelle sur le commerce de détail réalisée par le Census Bureau des États-Unis en serait un exemple. Dans ce cas, la population est définie comme étant les établissements commerciaux ayant un numéro d’identification d’employeur (NIE). Le Census Bureau utilise un plan très complexe dans lequel les revenus annuels des années précédentes servent à construire une variable de taille. La structure de la population convient à la configuration examinée dans l’article. Les revenus des années précédentes seraient approximativement proportionnels aux revenus actuels. Les revenus de la plupart des entreprises seraient des valeurs typiques, tandis que les revenus d’un certain pourcentage d’entreprises seraient extrêmement élevés, ce qui donnerait une moyenne et une variance plus grandes et une constante de proportionnalité différente. La constante de proportionnalité différente peut être causée par le fait que les grandes entreprises soient plus productives ou moins productives que les autres entreprises.

Nous donnons un troisième exemple à partir des données de la production de pommes en Turquie en 2002. L’ensemble de données a été recueilli par l’Institut turc de la statistique et rapporté dans Kadilar et Cingi (2003) ainsi qu’Ozturk et Bayramoglu-Kavlak (2018). Il contient deux variables : la production de pommes $(Y)$ (en milliers de kg) et le nombre de pommiers $(X)$ dans les cantons (ou localités). Les unités d’échantillonnage sont les 851 localités de l’ensemble de données. Les valeurs de $X$ de tous les cantons sont disponibles dans la base de sondage avant l’échantillonnage. La figure 1.1 fournit le diagramme de dispersion des valeurs de $Y$ et de $X,$ où nous voyons que la valeur de la variable $Y$ est une fonction croissante de la valeur de $X.$ Nous constatons également que les points rouges indiqués par $«X»$ dans le graphique ont de grandes valeurs pour les deux variables $X$ et $Y$ et que leur constante de proportionnalité est différente de celle des autres points. Par conséquent, cette population convient à notre structure de population.

Les données sur la production de pommes ont des structures supplémentaires. L’ensemble de la population est stratifiée en sept régions géographiques différentes : Marmara, Égée, Méditerranée, Anatolie centrale, Mer Noire, Anatolie orientale et Anatolie du Sud-Est. Ces régions ont des régimes climatiques différents et la production de pommes varie significativement d’une région à l’autre. Les observations extrêmes indiquées par $«X»$ dans la figure 1.1 proviennent des régions Marmara, Égée, Méditerranée et Anatolie centrale. Il s’agit d’une configuration naturelle pour la construction d’un échantillon d’ensembles ordonnés avec probabilité proportionnelle à la taille (PPT) à partir de chaque sous-population.

La variable $X$ dans notre configuration de population fournit de l’information sur la taille relative des unités dans toute la population. Comme la variable $Y$ est approximativement proportionnelle à la variable $X,$ la taille de l’unité indique l’importance de sa contribution à la variable d’intérêt $Y.$ Par conséquent, les unités importantes doivent avoir une plus grande probabilité d’être incluses dans l’échantillon. L’échantillonnage avec probabilité proportionnelle à la taille (PPT) impose délibérément des probabilités de sélection plus élevées pour les unités importantes afin de produire des estimateurs sans biais et très efficaces pour la moyenne ou le total de la population. La principale contribution de l’article est d’introduire un nouveau plan de sondage qui combine l’information de classement dans un échantillon d’ensembles ordonnés (EEO) avec l’avantage des probabilités de sélection inégales utilisées dans un échantillon PPT.

Un échantillon PPT type contient les triplets $\left(Y_i\mathrm{,}{\pi }_i\mathrm{,}{u}_i\right),$ $i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}n,$ où $Y_i$ et ${\pi }_i$ sont la valeur de $Y$ et la probabilité de sélection de l’unité $u_i$ pour chaque tirage selon un échantillonnage par sélection avec remise. Bien que l’échantillonnage PPT puisse être effectué sans remise, ici toutes les références à un échantillonnage PPT renvoient à un échantillonnage avec remise. Les lecteurs trouveront dans Thompson (2002, page 53) une présentation plus détaillée des échantillonnages PPT. Dans un échantillon PPT, la variable de taille n’est pas nécessairement utilisée directement dans la construction des estimateurs. Par ailleurs, les valeurs de la variable $X$ sont disponibles pour toutes les unités de population, y compris pour les unités non incluses dans l’échantillon PPT. Par conséquent, la variable $X$ pourrait nous aider à emprunter de l’information supplémentaire à partir d’un ensemble de comparaison d’unités non mesurées  $H.$

Aux fins de la construction d’un point de données type $\left(Y_i\mathrm{,}{\pi }_i\mathrm{,}{u}_i\right)$ dans un échantillon d’ensembles ordonnés PPT, nous sélectionnons des unités $H$ dans la population au moyen d’un échantillonnage PPT avec remise pour former l’ensemble de comparaison $\left\{u_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{u}_H\right\}.$ Nous classons ces unités sans mesure en fonction de la variable $X$ sans coût supplémentaire. Nous mesurons ensuite la valeur de la variable $Y$ pour une seule unité, l’unité ayant le rang $R_i,$ et nous obtenons $\left(Y_{\left[R_i\right]}\mathrm{,}{\pi }_{\left[R_i\right]}\mathrm{,}{u}_{\left[R_i\right]}\right)$ où et $Y_{\left[R_i\right]}$ et ${\pi }_{\left[R_i\right]}$ sont la valeur de la variable $Y$ et la probabilité de sélection de l’unité $u_{\left[R_i\right]}$ à chaque tirage. Un point de données dans l’ensemble de comparaison, $\left(Y_{\left[R_i\right]}\mathrm{,}{\pi }_{\left[R_i\right]}\mathrm{,}{u}_{\left[i\right]}\right),$ fournit plus d’information qu’un point de données dans un échantillon PPT, $\left(Y_i\mathrm{,}{\pi }_i\mathrm{,}{u}_i\right),$ puisque le rang $R_i$ emprunte des renseignements supplémentaires aux autres unités non mesurées $H-1$ dans l’ensemble de comparaison. Dans l’article, nous nous appuyons sur cette idée pour construire un échantillon d’ensembles ordonnés PPT plus informatif qu’un échantillon PPT. Les détails de la procédure d’échantillonnage seront donnés dans la section 2.

On utilise l’information sur la position dans un contexte légèrement différent dans les échantillons d’ensembles ordonnés (EEO) et les plans de sondage poststratifié au jugé (PSJ) pour emprunter de l’information aux unités de population non mesurées. La construction d’un échantillon d’ensembles ordonnés de taille $n$ en nécessite de déterminer les deux nombres entiers $d$ et $H,$ $n\mathrm{<mo>=</mo>}dH,$ où $H$ et $d$ sont respectivement la taille de l’ensemble et celle du cycle. La taille de l’ensemble $H$ contrôle la quantité de renseignements qui peuvent être empruntés aux unités des ensembles de comparaison. La taille du cycle $d$ sert à augmenter la taille totale de l’échantillon dans un EEO. Une fois que $H$ et $d$ sont choisis, on sélectionne $nH$ unités dans la population et on les partitionne en $n$ ensembles de comparaison disjoints, ayant chacun $H$ unités. Les unités de chaque ensemble de comparaison sont classées sans mesure au moyen de la variable $X$ et la valeur de la variable $Y$ $\left(Y_{\left[h\right]j}\mathrm{<mo>;</mo>}j\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}d\right)$ associée avec la valeur de $X$ se trouvant au $h^{\text{e}}$ rang est mesurée dans $d$ ensembles de comparaison différents, $h\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}H.$ Les valeurs mesurées $Y_{\left[h\right]j}\mathrm{,}h\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}H\mathrm{<mo>;</mo>}j\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}d$ sont appelées échantillon d’ensembles ordonnés.

La construction d’un échantillon PSJ de taille $n$ commence par un échantillon aléatoire simple de taille $n$ et mesure tous les $Y_i,$ $i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots ,n.$ Pour chaque unité mesurée dans cet échantillon, on sélectionne ensuite $H-1$ unités supplémentaires dans la population pour former un ensemble de comparaison de taille $H.$ On détermine le rang $R_i$ de l’unité mesurée $Y_i$ dans chaque ensemble de comparaison. Les paires de $\left(Y_i\mathrm{,}{R}_i\right),$ $i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}n,$ constituent un échantillon PSJ.

Les échantillons de type EEO et PSJ créent des statistiques d’ordre induites pour la variable $Y$ avec les rangs de la variable $X$ dans les ensembles de comparaison. Par conséquent, la variable aléatoire $Y_{\left[h\right]i}$ $(Y_i$ étant donné que $R_i\mathrm{<mo>=</mo>}h$ pour l’échantillon PSJ) est stochastiquement plus petite que la variable aléatoire $Y_{\left[h^{\prime }\right]j}$ $(Y_j$ étant donné que $R_j\mathrm{<mo>=</mo>}{h}^{\prime })$ pour $h\le h^{\prime }.$ Cette propriété d’ordre stochastique induit une stratification implicite entre les unités d’échantillon mesurées. On peut anticiper des améliorations de l’efficacité des échantillons EEO et PSJ comparativement à un échantillon aléatoire simple à partir de la partition de la variation totale en variation entre strates et variation à l’intérieur des strates. Pour connaître plus en détail ces plans d’échantillonnage, se reporter à l’article de synthèse de Wolfe (2012) et ses références. Les échantillons EEO et PSJ utilisent tous deux l’information sur la position des unités dans les ensembles de comparaison, mais ils n’utilisent pas complètement l’information donnée par les probabilités de sélection dans un échantillon PPT. Toutes les unités des ensembles de comparaison pour les échantillons EEO et PSJ sont sélectionnées avec des probabilités égales. Par conséquent, elles pourraient ne pas convenir à la structure de population étudiée dans l’article.

MacEachern, Stasny et Wolfe (2004) ont introduit le plan de sondage PSJ dans une configuration de population infinie. Dans le contexte d’une population finie, les constructions des échantillons PSJ et EEO dépendent de si les ensembles de comparaison sont sélectionnés avec ou sans remise. Patil, Sinha et Taillie (1995) ont considéré un plan EEO dans une population finie, où aucune des unités d’un ensemble de comparaison n’est remise dans la population avant la sélection de l’ensemble de comparaison suivant. Deshpande, Frey et Ozturk (2006) ont étendu le plan de sondage EEO en y ajoutant trois scénarios de sélection sans remise différents et ont construit des intervalles de confiance non paramétriques pour les quantiles de population.

L’échantillonnage probabiliste a également suscité un très grand intérêt pour l’échantillonnage EEO et PSJ. Al Saleh et Samawi (2007), Ozdemir et Gokpinar (2007 et 2008), Gokpinar et Ozdemir (2010), Ozturk et Jafari Jozani (2013), Frey (2011) et Ozturk (2014) ont calculé les probabilités d’inclusion et ont construit des estimateurs de type Horwitz-Thompson pour la moyenne et le total de la population à partir d’un échantillon d’ensembles ordonnés. Ces documents de recherche montrent qu’un plan EEO permet d’améliorer considérablement l’efficacité par rapport à un plan d’échantillonnage aléatoire simple habituel. Ozturk (2016) a établi des estimateurs pour la moyenne de la population en se fondant sur un échantillon PSJ, et a ainsi montré que l’estimateur a besoin d’un facteur de correction pour population finie semblable à celui utilisé dans un échantillon aléatoire simple.

Un petit nombre de chercheurs ont appliqué la méthodologie EEO aux plans de sondage existants. Muttlak et McDonald (1992) ont incorporé le plan de sondage EEO à une méthode d’échantillonnage linéaire. Sroka (2008) l’a utilisé dans un échantillonnage stratifié en construisant un échantillon EEO à partir de chaque strate. Wang, Lim et Stokes (2016) ont examiné le plan EEO dans un plan randomisé par grappes avec un modèle à effet mixte, où l’effet de grappe est traité comme étant aléatoire. Ils ont montré que l’utilisation d’un plan EEO au niveau des grappes a des effets beaucoup plus importants sur l’efficacité que son utilisation à l’intérieur des grappes. Nematollahi, Salehi et Aliakbari Saba (2008) ont utilisé le plan EEO dans un contexte de population finie seulement au deuxième degré d’un échantillonnage à deux degrés selon un plan de sélection avec remise. Parce qu’ils utilisent le plan EEO seulement au deuxième degré avec remise, l’amélioration de l’efficacité de leur estimateur par rapport à un estimateur pour un échantillon aléatoire simple à deux degrés est minime. Sud et Mishra (2006) ont également utilisé un échantillon par grappes à deux degrés avec plan d’échantillonnage d’ensembles ordonnés dans un contexte de population finie en supposant que les tailles de population des grappes sont toutes égales. Ozturk (2019a) a élaboré une inférence statistique fondée sur le plan pour un échantillon d’ensembles ordonnés groupé à deux degrés dans un contexte de population finie.

Dans le présent article, nous élaborons une inférence statistique pour le plan d’échantillonnage d’ensembles ordonnés PPT dans un contexte d’une population où les valeurs de la variable de taille sont à peu près proportionnelles aux valeurs de la variable d’intérêt et où un petit pourcentage d’unités de population produit de grandes valeurs $X$ et $Y$ avec une constante de proportionnalité différente. Nous motivons le nouveau plan de sondage au moyen de données sur la production de pommes. La section 2 présente l’échantillon d’ensembles ordonnés PPT dans un contexte de population finie. Il permet de construire des estimateurs sans biais pour la moyenne de population, son total et leurs variances. Nous montrons que l’estimateur pour un échantillon d’ensembles ordonnés PPT a une variance plus petite qu’un estimateur pour un échantillon PPT. La section 3 étend l’échantillon d’ensembles ordonnés PPT à une population stratifiée et construit des estimateurs sans biais pour la moyenne de la population, son total et leurs variances. La section 4 examine quatre procédures différentes de répartition de taille d’échantillon pour minimiser la variance de l’estimateur sous un modèle de coût et différentes structures de strates de population. La section 5 présente une comparaison de l’efficacité de l’estimateur calculé pour l’échantillon d’ensembles ordonnés PPT de la moyenne de population par rapport à des estimateurs concurrents. La section 6 illustre l’utilisation de données de l’échantillon d’ensembles ordonnés PPT dans l’estimation de la production de pommes en Turquie. Enfin, à la section 7, nous formulons quelques observations finales. Toutes les démonstrations se trouvent dans l’annexe.

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