Amélioration de l’estimateur Horvitz-Thompson dans l’échantillonnage d’enquête

Section 6. Conclusion

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Dans le présent document, nous avons proposé une méthode nouvelle et simple pour améliorer l’estimateur Horvitz-Thompson dans l’échantillonnage d’enquête. Comparativement à l’estimateur HT, l’estimateur HTA proposé améliore la précision de l’estimation au détriment de l’introduction d’un petit biais. Des études empiriques montrent que l’amélioration est considérable. Cette nouvelle idée a également été utilisée pour construire un estimateur de ratio amélioré. Naturellement, son application à d’autres estimateurs, comme l’estimateur de régression et l’estimateur de l’effet de traitement, est également intéressante, ce qui justifie une étude plus poussée.

Le choix du seuil $K$ est important dans notre méthode. Bien que nous ayons suggéré un algorithme facile  pour ce choix et que nous ayons montré numériquement que notre choix est très proche du meilleur pour ce qui est de l’EQM, il n’est peut-être pas optimal en ce qui concerne l’EQM. La façon de choisir un seuil optimal est un sujet important pour les recherches futures.

Remerciements

Les auteurs sont reconnaissants envers les lecteurs critiques, le rédacteur en chef adjoint et le rédacteur en chef pour leur lecture méticulfeuse du manuscrit et leurs précieux commentaires. Les travaux de Zhu ont été soutenus par la National Natural Science Foundation of China (subventions n^os 11871459, 71532013 et 71771208). Les travaux de Zou ont été partiellement soutenus par le ministère chinois de la Science et de la Technologie (subvention n^o 2016YFB0502301) et la National Natural Science Foundation of China (subventions n^os 11529101 et 11331011).

Annexe

A.1  Démonstration du théorème 1

Pour obtenir l’EQM de l’estimateur HTA nous définissons d’abord $I_k\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}$ ou 0, $k\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}N,$ si l’unité $k^{\text{e}}$ est tirée ou non, alors

$$E\left(I_k\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_k\mathrm{,}\text{Var}\left(I_k\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\Delta }_{kk},\text{Cov}\left(I_k\mathrm{,}{I}_l\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\Delta }_{kl}\text{pour}k\ne l,$$

où ${\Delta }_{kk}\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_k\left(1-{\pi }_k\right)\mathrm{,}{\Delta }_{kl}\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_{kl}-{\pi }_k{\pi }_l\mathrm{.}$ Donc, le biais de l’estimateur HTA est

$$\text{Biais}\left({\widehat{t}}_{\text{HTA}}\right)=E\left({{\displaystyle \sum }}_U\frac{y_k}{{\pi }_k^{*}}{I}_k\right)-{{\displaystyle \sum }}_U{y}_k\mathrm{<mo>=</mo>}{{\displaystyle \sum }}_{U_2}\left(\frac{{\pi }_k}{{\pi }_{\left(K\right)}}-1\right)y_k\mathrm{.}(\mathrm{A}.1)$$

La variance de l’estimateur HTA est donnée par

$$\begin{array}{ll}\text{Var}\left({\widehat{t}}_{\text{HTA}}\right)\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\text{Var}\left({\displaystyle {\sum }_s\frac{y_k}{{\pi }_k^{*}}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\text{Var}\left({{\displaystyle \sum }}_U\frac{y_k}{{\pi }_k^{*}}{I}_k\right)\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{{\displaystyle \sum }}_U\left[{\left(\frac{y_k}{{\pi }_k^{*}}\right)}^2\text{Var}\left(I_k\right)\right]+\underset{k\ne l}{{\displaystyle \sum }{{\displaystyle \sum }}_U}\left(\frac{y_k}{{\pi }_k^{*}}\frac{y_l}{{\pi }_l^{*}}\text{Cov}\left(I_k\mathrm{,}{I}_l\right)\right)\hfill \\ \hfill & ={{\displaystyle \sum }}_{U_1}\frac{{\Delta }_{kk}}{{\pi }_k^2}{y}_k^2+{{\displaystyle \sum }}_{U_2}\frac{{\Delta }_{kk}}{{\pi }_{\left(K\right)}^2}{y}_k^2+\underset{k\ne l}{{\displaystyle \sum }{{\displaystyle \sum }}_U}\frac{{\Delta }_{kl}}{{\pi }_k^{*}{\pi }_l^{*}}{y}_k{y}_l\mathrm{.}(\text{A}\text{.2})\hfill \end{array}$$

En combinant (A.1) et (A.2), nous obtenons

$$\begin{array}{ll}\text{EQM}\left({\widehat{t}}_{\text{HTA}}\right)\hfill & ={\text{Bias}}^2\left({\widehat{t}}_{\text{HTA}}\right)+\text{Var}\left({\widehat{t}}_{\text{HTA}}\right)\hfill \\ \hfill & ={\left[{{\displaystyle \sum }}_{U_2}\left(\frac{{\pi }_k}{{\pi }_{\left(K\right)}}-1\right)y_k\right]}^2+{{\displaystyle \sum }}_U\frac{{\Delta }_{kk}}{{\pi }_k^{*2}}{y}_k^2+\underset{k\ne l}{{\displaystyle \sum }{{\displaystyle \sum }}_U}\frac{{\Delta }_{kl}}{{\pi }_k^{*}{\pi }_l^{*}}{y}_k{y}_l\hfill \\ \hfill & =\left\{{{\displaystyle \sum }}_U\frac{{\Delta }_{kk}}{{\pi }_k^{*2}}{y}_k^2+{\left[{{\displaystyle \sum }}_{U_2}\left(\frac{{\pi }_k}{{\pi }_{\left(K\right)}}-1\right)y_k\right]}^2\right\}+\underset{k\ne l}{{\displaystyle \sum }{{\displaystyle \sum }}_U}\frac{{\Delta }_{kl}}{{\pi }_k^{*}{\pi }_l^{*}}{y}_k{y}_l\hfill \\ \hfill & \triangleq F_1+F_2\mathrm{.}(\text{A}\text{.3})\hfill \end{array}$$

On confirme directement que $E\left(\widehat{\text{EQM}}\left({\widehat{t}}_{\text{HTA}}\right)\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\text{EQM}\left({\widehat{t}}_{\text{HTA}}\right).$ Par conséquent, le théorème 1 est prouvé.

A.2  Démonstration du théorème 2

En utilisant les conditions C.1 et C.2, nous voyons que $\lambda \le {\pi }_k\le {\pi }_{\left(K\right)}\le 1$ pour chaque $k\in U_2,$ et ${{\displaystyle \max }}_{k\ne l\in U_2}\left|{\pi }_{kl}-{\pi }_k{\pi }_l\right|\mathrm{<mo>=</mo>}O\left(n^{-1}\right).$ Puis, à partir de l’équation (2.1), nous avons

$$\begin{array}{ll}\left|E{\left({\widehat{\overline{t}}}_{\text{HT}}-\overline{t}\right)}^2\right|\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\left|\frac{1}{N^2}{\displaystyle \sum _U}\frac{{\Delta }_{kk}}{{\pi }_k^2}{y}_k^2+\frac{1}{N^2}\underset{k\ne l}{{\displaystyle \sum }{{\displaystyle \sum }}_U}\frac{{\Delta }_{kl}}{{\pi }_k{\pi }_l}{y}_l{y}_k\right|\hfill \\ \hfill & \le \frac{1}{N^2}{\displaystyle \sum _U}\frac{1-{\pi }_k}{{\pi }_k}{y}_k^2+\frac{1}{N^2}\underset{k\ne l}{{\displaystyle \sum }{{\displaystyle \sum }}_U}\left|\frac{{\pi }_{kl}-{\pi }_k{\pi }_l}{{\pi }_k{\pi }_l}\right|\left|y_l{y}_k\right|\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}O\left(n^{-1}\right)\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

De même, par l’EQM de l’estimateur HTA donné en (3.1), nous observons

$$\begin{array}{ll}\left|E{\left({\widehat{\overline{t}}}_{\text{HTA}}-\overline{t}\right)}^2\right|\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\left|{\left[\frac{1}{N}{{\displaystyle \sum }}_{U_2}\left(\frac{{\pi }_k}{{\pi }_{\left(K\right)}}-1\right)y_k\right]}^2+\frac{1}{N^2}{{\displaystyle \sum }}_U\frac{{\Delta }_{kk}}{{\pi }_k^{*2}}{y}_k^2+\frac{1}{N^2}\underset{k\ne l}{{\displaystyle \sum }{{\displaystyle \sum }}_U}\frac{{\Delta }_{kl}}{{\pi }_k^{*}{\pi }_l^{*}}{y}_k{y}_l\right|\hfill \\ \hfill & \le {\left[\frac{K}{N}\frac{1}{K}{{\displaystyle \sum }}_{U_2}\left(\frac{{\pi }_k}{{\pi }_{\left(K\right)}}-1\right)y_k\right]}^2+\frac{1}{N^2}{{\displaystyle \sum }}_U\left|\frac{{\pi }_k\left(1-{\pi }_k\right)}{{\pi }_k^{*2}}\right|y_k^2\hfill \\ \hfill & +\frac{1}{N^2}\underset{k\ne l}{{\displaystyle \sum }{{\displaystyle \sum }}_U}\left|\frac{{\pi }_{kl}-{\pi }_k{\pi }_l}{{\pi }_k^{*}{\pi }_l^{*}}\right|\left|y_k{y}_l\right|\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}O\left(n^{-1}\right).\hfill \end{array}$$

D’après les conditions C.1 et C.2, il est facile de constater que

$$\text{Biais}\left({\widehat{\overline{t}}}_{\text{HTA}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left|\frac{1}{N}{{\displaystyle \sum }}_{U_2}\left(\frac{{\pi }_k}{{\pi }_{\left(K\right)}}-1\right)y_k\right|\le \frac{K}{N}\frac{1}{K}{{\displaystyle \sum }}_{U_2}\left|\frac{{\pi }_k}{{\pi }_{\left(K\right)}}-1\right|\left|y_k\right|\le \frac{1}{N}{{\displaystyle \sum }}_{U_2}\left|y_k\right|\mathrm{<mo>=</mo>}O\left(n^{-1}\right)\mathrm{,}$$

où les troisième et quatrième étapes sont valides en raison de $\lambda \le {\pi }_k\le {\pi }_{\left(K\right)}\le 1$ pour chaque $k\in U_2$ et $K/N\mathrm{<mo>=</mo>}O\left(n^{-1}\right),$ respectivement.

A.3  Démonstration du théorème 3

À partir de l’équation (2.1), puisque l’estimateur HT est sans biais, nous avons

$$\text{EQM}\left({\widehat{Y}}_{\text{HT}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{{{\displaystyle \sum }}_{U_1}\frac{{\Delta }_{kk}}{{\pi }_k^2}{y}_k^2+{{\displaystyle \sum }}_{U_2}\frac{{\Delta }_{kk}}{{\pi }_k^2}{y}_k^2\right\}+\underset{k\ne l}{{\displaystyle \sum }{{\displaystyle \sum }}_U}\frac{{\Delta }_{kl}}{{\pi }_k{\pi }_l}{y}_k{y}_l\triangleq F_3+F_4\mathrm{.}(\text{A}\text{.4})$$

Pour illustrer l’efficacité du nouvel estimateur, nous comparons l’équation (A.3) et l’équation (A.4). Nous prouvons d’abord $F_3\ge F_1$ . Il est clair que

$$\begin{array}{ll}{F}_3-F_1\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{{\displaystyle \sum }}_U\frac{{\Delta }_{kk}}{{\pi }_k^2}{y}_k^2-\left\{{{\displaystyle \sum }}_{U_1}\frac{{\Delta }_{kk}}{{\pi }_k^2}{y}_k^2+{{\displaystyle \sum }}_{U_2}\frac{{\Delta }_{kk}}{{\pi }_{\left(K\right)}^2}{y}_k^2+{\left[{{\displaystyle \sum }}_{U_2}\left(\frac{{\pi }_k}{{\pi }_{\left(K\right)}}-1\right)y_k\right]}^2\right\}\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{{\displaystyle \sum }}_{U_2}\frac{{\Delta }_{kk}}{{\pi }_k^2}{y}_k^2-{{\displaystyle \sum }}_{U_2}\frac{{\Delta }_{kk}}{{\pi }_{\left(K\right)}^2}{y}_k^2-{\left[{{\displaystyle \sum }}_{U_2}\left(\frac{{\pi }_k}{{\pi }_{\left(K\right)}}-1\right)y_k\right]}^2\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{{\displaystyle \sum }}_{U_2}\frac{\left({\pi }_{\left(K\right)}^2-{\pi }_k^2\right)\left(1-{\pi }_k\right)}{{\pi }_{\left(K\right)}^2{\pi }_k}{y}_k^2-{\left[{{\displaystyle \sum }}_{U_2}\left(\frac{{\pi }_k}{{\pi }_{\left(K\right)}}-1\right)y_k\right]}^2\hfill \\ \hfill & \triangleq D-C.\hfill \end{array}$$

En utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, nous avons

$$C\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({{\displaystyle \sum }}_{U_2}\frac{{\pi }_k-{\pi }_{\left(K\right)}}{{\pi }_{\left(K\right)}}{y}_k\right)}^2\le K{{\displaystyle \sum }}_{U_2}\frac{{\left({\pi }_k-{\pi }_{\left(K\right)}\right)}^2}{{\pi }_{\left(K\right)}^2}{y}_k^2\triangleq E\mathrm{,}$$

où la stricte inégalité s’applique si $k\ne l\in U_2,$ de sorte que $\left({\pi }_k-{\pi }_{\left(K\right)}\right)y_k\ne \left({\pi }_l-{\pi }_{\left(K\right)}\right)y_l.$ De plus,

$$\begin{array}{ll}{F}_3-F_1\ge D-E\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{{\displaystyle \sum }}_{U_2}\frac{\left({\pi }_{\left(K\right)}^2-{\pi }_k^2\right)\left(1-{\pi }_k\right)}{{\pi }_{\left(K\right)}^2{\pi }_k}{y}_k^2-K{{\displaystyle \sum }}_{U_2}\frac{{\left({\pi }_k-{\pi }_{\left(K\right)}\right)}^2}{{\pi }_{\left(K\right)}^2}{y}_k^2\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{{\displaystyle \sum }}_{U_2}\frac{\left({\pi }_{\left(K\right)}-{\pi }_k\right)\left[\left(1-{\pi }_k-K{\pi }_k\right){\pi }_{\left(K\right)}+\left({\pi }_k-{\pi }_k^2+K{\pi }_k^2\right)\right]}{{\pi }_{\left(K\right)}^2{\pi }_k}{y}_k^2\mathrm{.}(\text{A}\text{.5})\hfill \end{array}$$

À partir de la définition 1, nous avons ${\pi }_k\le {\pi }_{\left(K\right)}\le {\left(K+1\right)}^{-1}$ pour chaque $k\in U_2,$ donc $D-E\ge 0.$ Par conséquent, $F_3-F_1\mathrm{<mo>=</mo>}D-C\ge D-E\ge 0$ prévaut.

Pour les termes $F_2$ et $F_4,$ nous observons ce qui suit

$$\begin{array}{ll}{F}_2-F_4\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\underset{k\ne l}{{\displaystyle \sum }{{\displaystyle \sum }}_U}\frac{{\Delta }_{kl}}{{\pi }_k^{*}{\pi }_l^{*}}{y}_k{y}_l-\underset{k\ne l}{{\displaystyle \sum }{{\displaystyle \sum }}_U}\frac{{\Delta }_{kl}}{{\pi }_k{\pi }_l}{y}_k{y}_l\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\underset{k\ne l}{{\displaystyle \sum }{{\displaystyle \sum }}_{U_2}}\left(\frac{{\Delta }_{kl}}{{\pi }_{\left(K\right)}^2}-\frac{{\Delta }_{kl}}{{\pi }_k{\pi }_l}\right)y_k{y}_l+{\displaystyle \sum _{k\in U_1}}{\displaystyle \sum _{l\in U_2}}\left(\frac{{\Delta }_{kl}}{{\pi }_{\left(K\right)}{\pi }_k}-\frac{{\Delta }_{kl}}{{\pi }_k{\pi }_l}\right)y_k{y}_l\hfill \\ \hfill & +{\displaystyle \sum _{k\in U_2}}{\displaystyle \sum _{l\in U_1}}\left(\frac{{\Delta }_{kl}}{{\pi }_{\left(K\right)}{\pi }_l}-\frac{{\Delta }_{kl}}{{\pi }_k{\pi }_l}\right)y_k{y}_l\hfill \\ \hfill & \triangleq {\Delta }_1+{\Delta }_2+{\Delta }_3\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

En utilisant les conditions C.1 et C.2, on constate que

$$\begin{array}{ll}\frac{\left|{\Delta }_1\right|}{N^2}\hfill & =\frac{1}{N^2}\left|\underset{k\ne l}{{\displaystyle \sum }{{\displaystyle \sum }}_{U_2}}\frac{{\pi }_{kl}-{\pi }_k{\pi }_l}{{\pi }_k{\pi }_l}\left(\frac{{\pi }_k{\pi }_l}{{\pi }_{\left(K\right)}^2}-1\right)y_k{y}_l\right|\hfill \\ \hfill & \le \frac{1}{N^2}\underset{k\ne l}{{\displaystyle \sum }{{\displaystyle \sum }}_{U_2}}\left|\frac{{\pi }_{kl}-{\pi }_k{\pi }_l}{{\pi }_k{\pi }_l}\right|\left|\frac{{\pi }_k{\pi }_l}{{\pi }_{\left(K\right)}^2}-1\right|\left|y_k{y}_l\right|\hfill \\ \hfill & \le \frac{K^2}{N^2}\frac{1}{K^2}\underset{k\ne l}{{\displaystyle \sum }{{\displaystyle \sum }}_{U_2}}\left|\frac{{\pi }_{kl}-{\pi }_k{\pi }_l}{{\pi }_k{\pi }_l}\right|\left|y_k{y}_l\right|\mathrm{<mo>=</mo>}O\left(n^{-3}\right)\mathrm{,}\hfill \end{array}$$

où les troisième et quatrième étapes sont valides parce que $\lambda \le {\pi }_k\le {\pi }_{\left(K\right)}\le 1$ pour chaque $k\in U_2,$ $K/N\mathrm{<mo>=</mo>}O\left(n^{-1}\right),$ et ${{\displaystyle \max }}_{k\ne l\in U_2}\left|{\pi }_{kl}-{\pi }_k{\pi }_l\right|\mathrm{<mo>=</mo>}O\left(n^{-1}\right).$ De même, nous obtenons

$$\begin{array}{ll}\frac{\left|{\Delta }_2\right|}{N^2}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{N^2}\left|{\displaystyle \sum _{k\in U_1}}{\displaystyle \sum _{l\in U_2}}\frac{{\pi }_{kl}-{\pi }_k{\pi }_l}{{\pi }_k{\pi }_l}\left(\frac{{\pi }_l}{{\pi }_{\left(K\right)}}-1\right)y_k{y}_l\right|\hfill \\ \hfill & \le \frac{1}{N^2}{\displaystyle \sum _{k\in U_1}}{\displaystyle \sum _{l\in U_2}}\left|\frac{{\pi }_{kl}-{\pi }_k{\pi }_l}{{\pi }_k{\pi }_l}\right|\left|\frac{{\pi }_l}{{\pi }_{\left(K\right)}}-1\right|\left|y_k{y}_l\right|\hfill \\ \hfill & \le \frac{1}{N^2}{\displaystyle \sum _{k\in U_1}}{\displaystyle \sum _{l\in U_2}}\left|\frac{{\pi }_{kl}-{\pi }_k{\pi }_l}{{\pi }_k{\pi }_l}\right|\left|y_k{y}_l\right|\mathrm{<mo>=</mo>}O\left(n^{-2}\right)\mathrm{,}\hfill \end{array}$$

et $\frac{\left|{\Delta }_3\right|}{N^2}\mathrm{<mo>=</mo>}O\left(n^{-2}\right).$

Ainsi, avec $F_3\ge F_1,$ nous avons

$$\text{EQM}\left(N^{-1}{\widehat{t}}_{\text{HTA}}\right)\le \text{EQM}\left(N^{-1}{\widehat{t}}_{\text{HT}}\right)+o\left(n^{-1}\right)\mathrm{.}$$

Pour le cas d’échantillonnage de Poisson, nous avons $F_4\mathrm{<mo>=</mo>}{F}_2\mathrm{<mo>=</mo>\; 0.}$ Par conséquent, pour l’échantillonnage de Poisson, nous obtenons

$$\text{EQM}\left(N^{-1}{\widehat{t}}_{\text{HTA}}\right)\le \text{EQM}\left(N^{-1}{\widehat{t}}_{\text{HT}}\right)\mathrm{.}$$

A.4  Démonstration du théorème 4

Soulignons d’abord que

$${\left(\widehat{R}-R\right)}^2\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(\frac{{\widehat{t}}_{y\pi }-R{\widehat{t}}_{z\pi }}{{\widehat{t}}_{z\pi }}\right)}^2\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\left({\widehat{t}}_{y\pi }-R{\widehat{t}}_{z\pi }\right)}^2}{t_z^2}-\frac{\left({\widehat{t}}_{z\pi }^2-t_z^2\right){\left({\widehat{t}}_{y\pi }-R{\widehat{t}}_{z\pi }\right)}^2}{t_z^2{\widehat{t}}_{z\pi }^2}\triangleq \text{I}+\text{III},$$

et

$${\left({\widehat{R}}^{*}-R\right)}^2\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(\frac{{\widehat{t}}_{y\pi }^{*}-R{\widehat{t}}_{z\pi }}{{\widehat{t}}_{z\pi }^{*}}\right)}^2\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\left({\widehat{t}}_{y\pi }^{*}-R{\widehat{t}}_{z\pi }^{*}\right)}^2}{t_z^2}-\frac{\left({\widehat{t}}_{z\pi }^{*2}-t_z^2\right){\left({\widehat{t}}_{y\pi }^{*}-R{\widehat{t}}_{z\pi }^{*}\right)}^2}{t_z^2{\widehat{t}}_{z\pi }^{*2}}\triangleq \text{II}+\text{IV}\text{.}$$

Supposons que $u_k\mathrm{<mo>=</mo>}{y}_k-R{z}_k\mathrm{.}$ D’après le théorème 3, nous avons

$$N^{-2}E{\left({\widehat{t}}_u^{*}-t_u\right)}^2\le N^{-2}E{\left({\widehat{t}}_u-t_u\right)}^2+o\left(n^{-1}\right)\mathrm{.}$$

Ainsi, pour les termes I et II, nous obtenons

$$E\left(\text{I}\right)\le E\left(\text{II}\right)+o\left(n^{-1}\right)\mathrm{.}(\text{A}\text{.6})$$

Maintenant, nous devons prouver que les attentes de III et IV sont négligeables. Observez que,

$$\begin{array}{ll}\left|E\left(\text{III}\right)\right|\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\left|E\frac{\left({\widehat{t}}_{z\pi }+t_z\right)\left({\widehat{t}}_{z\pi }-t_z\right){\left({\widehat{t}}_{y\pi }-R{\widehat{t}}_{z\pi }\right)}^2}{t_z^2{\widehat{t}}_{z\pi }^2}\right|\hfill \\ \hfill & \le E\frac{\left|{\widehat{t}}_{z\pi }+t_z\right|\left|{\widehat{t}}_{z\pi }-t_z\right|{\left({\widehat{t}}_{y\pi }-R{\widehat{t}}_{z\pi }\right)}^2}{t_z^2{\widehat{t}}_{z\pi }^2}\hfill \\ \hfill & \le \frac{Z^{*}+\left|t_z\right|}{t_z^2{Z}_{*}^2}E\left(\left|{\widehat{t}}_{z\pi }-t_z\right|{\left({\widehat{t}}_{y\pi }-R{\widehat{t}}_{z\pi }\right)}^2\right)\hfill \\ \hfill & \le \frac{Z^{*}+\left|t_z\right|}{t_z^2{Z}_{*}^2}\sqrt{E{\left({\widehat{t}}_{z\pi }-t_z\right)}^{2}E{\left({\widehat{t}}_{y\pi }-R{\widehat{t}}_{z\pi }\right)}^4}\mathrm{,}\hfill \end{array}$$

où $Z^{*}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{n}{N}{{\displaystyle \max }}_{k\in U}\left(\frac{z_k}{{\pi }_k}\right)\mathrm{,}{Z}_{*}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{n}{N}{{\displaystyle \min }}_{k\in U}\left(\frac{z_k}{{\pi }_k}\right).$ De même,

$$\left|E\left(\text{IV}\right)\right|\le \frac{{\tilde{Z}}^{*}+\left|t_z\right|}{t_z^2{\tilde{Z}}_{*}^2}\sqrt{E{\left({\widehat{t}}_{z\pi }^{*}-t_z\right)}^{2}E{\left({\widehat{t}}_{y\pi }^{*}-R{\widehat{t}}_{z\pi }^{*}\right)}^4}\mathrm{,}$$

où ${\tilde{Z}}^{*}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{n}{N}{{\displaystyle \max }}_{k\in U}\left(\frac{z_k}{{\pi }_k^{*}}\right)\mathrm{,}{\tilde{Z}}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{n}{N}{{\displaystyle \min }}_{k\in U}\left(\frac{z_k}{{\pi }_k^{*}}\right).$

En utilisant le théorème 2 et le lemme 1, nous voyons que $\left|E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{III}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|\mathrm{<mo>=</mo>}O\left(n^{-3/2}\right)$ et $\left|E\left(\text{IV}\right)\right|\mathrm{<mo>=</mo>}O\left(n^{-3/2}\right)\mathrm{.}$ en combinant ces deux instruments à l’équation (A.6), nous obtenons

$$\text{EQM}\left({\widehat{R}}^{*}\right)\le \text{EQM}\left(\widehat{R}\right)+o\left(n^{-1}\right)\mathrm{.}$$

Cela suppose que $\text{EQM}\left(N^{-1}{\widehat{Y}}_R^{*}\right)\le \text{EQM}\left(N^{-1}{\widehat{Y}}_R\right)+o\left(n^{-1}\right).$

A.5  Discussion sur la condition C.4

Cas 1 : Échantillon aléatoire simple sans remise

Dans le cas de l’échantillonnage aléatoire simple sans remise, nous avons ${\pi }_i\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{n}{N}$ pour $i\in U,$ ${\pi }_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{n\left(n-1\right)}{N\left(N-1\right)}$ pour $i\ne j\in U,$ ${\pi }_{ijk}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{N\left(N-1\right)\left(N-2\right)}$ pour $i\ne j\ne k\in U,$ et ${\pi }_{ijkl}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)}{N\left(N-1\right)\left(N-2\right)\left(N-3\right)}$ pour $i\ne j\ne k\ne l\in U.$ Il s’ensuit que

$${\pi }_{ijk}-{\pi }_{ij}{\pi }_k\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{2n\left(n-1\right)\left(N-n\right)}{N^2\left(N-1\right)\left(N-2\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}O\left(n^{-1}\right)\mathrm{,}$$

où la dernière égalité provient de la condition C.3. Nous obtenons aussi

$$\begin{array}{l}{\pi }_{ijkl}-4{\pi }_{ijk}{\pi }_l+6{\pi }_{ij}{\pi }_k{\pi }_l-3{\pi }_i{\pi }_j{\pi }_k{\pi }_l\\ \begin{array}{ll}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\left({\pi }_{ijkl}-{\pi }_{ijk}{\pi }_l\right)-3\left({\pi }_{ijk}{\pi }_l-{\pi }_{ij}{\pi }_k{\pi }_l\right)+3\left({\pi }_{ij}{\pi }_k{\pi }_l-{\pi }_i{\pi }_j{\pi }_k{\pi }_l\right)\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>\; 3}\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-N\right)}{N^2\left(N-1\right)\left(N-2\right)\left(N-3\right)}-6\frac{n^2\left(n-1\right)\left(n-N\right)}{N^3\left(N-1\right)\left(N-2\right)}+3\frac{n^3\left(n-N\right)}{N^4\left(N-1\right)}\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}O\left(n^{-2}\right)\mathrm{,}\hfill \end{array}\end{array}$$

où la dernière égalité provient de la condition C.3. Ainsi, la condition C.4 s’applique à l’échantillonnage aléatoire simple sans remise.

Cas 2 : Échantillonnage de Poisson

À partir de l’indépendance de l’échantillonnage de Poisson, ${\pi }_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_i{\pi }_j$ pour $i\ne j\in U,$ ${\pi }_{ijk}\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_i{\pi }_j{\pi }_k$ pour $i\ne j\ne k\in U,$ et ${\pi }_{ijkl}\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_i{\pi }_j{\pi }_k{\pi }_l$ pour $i\ne j\ne k\ne l\in U.$ Par conséquent, ${\pi }_{ijk}-{\pi }_{ij}{\pi }_k\mathrm{<mo>=</mo>\; 0,}$ et ${\pi }_{ijkl}-4{\pi }_{ijk}{\pi }_l+6{\pi }_{ij}{\pi }_k{\pi }_l-3{\pi }_i{\pi }_j{\pi }_k{\pi }_l\mathrm{<mo>=</mo>\; 0.}$ Il s’ensuit que l’échantillonnage de Poisson satisfait à la condition C.4.

A.6  Un lemme pour prouver le théorème 4

Lemme 1. Pour l’estimateur HT ${\widehat{\overline{t}}}_{HT}$  et l’estimateur HTA ${\widehat{\overline{t}}}_{HTA},$  dans les conditions C.1 à C.4, nous avons

$$E{\left({\widehat{\overline{t}}}_{HT}-\overline{t}\right)}^4\mathrm{<mo>=</mo>}O\left(n^{-2}\right)\mathrm{,}etE{\left({\widehat{\overline{t}}}_{HTA}-\overline{t}\right)}^4\mathrm{<mo>=</mo>}O\left(n^{-2}\right)\mathrm{.}$$

Preuve. Soulignons que

$${\widehat{\overline{t}}}_{\text{HT}}-\overline{t}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{N}{{\displaystyle \sum }}_U\frac{I_k-{\pi }_k}{{\pi }_k}{y}_k\triangleq \frac{1}{N}{{\displaystyle \sum }}_U{J}_k{y}_k\mathrm{,}$$

nous avons

$$\begin{array}{ll}{\left({\widehat{\overline{t}}}_{\text{HT}}-\overline{t}\right)}^4\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{N^4}{\displaystyle \sum _k}{\displaystyle \sum _l}{\displaystyle \sum _i}{\displaystyle \sum _j}\left(J_k{y}_k\right)\left(J_l{y}_l\right)\left(J_i{y}_i\right)\left(J_j{y}_j\right)\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{N^4}{\displaystyle \sum _U}{\left(J_k{y}_k\right)}^4+\frac{4}{N^4}{\displaystyle \sum _{k\ne l}}{\left(J_k{y}_k\right)}^3\left(J_l{y}_l\right)+\frac{3}{N^4}{\displaystyle \sum _{k\ne l}}{\left(J_k{y}_k\right)}^2{\left(J_l{y}_l\right)}^2\hfill \\ \hfill & +\frac{6}{N^4}{\displaystyle \sum _{i\ne k\ne l}}{\left(J_i{y}_i\right)}^2\left(J_k{y}_k\right)\left(J_l{y}_l\right)+\frac{1}{N^4}{\displaystyle \sum _{i\ne j\ne k\ne l}}\left(J_i{y}_i\right)\left(J_j{y}_j\right)\left(J_k{y}_k\right)\left(J_l{y}_l\right)\hfill \\ \hfill & \triangleq \text{I}+\text{II}+\text{III}+\text{IV}+\text{V}.\hfill \end{array}$$

Pour le premier terme I, en utilisant $\lambda \le {\pi }_k\le 1$ et $\left|I_k-{\pi }_k\right|\le 1$ pour $k\in U,$ nous obtenons

$$\left|E\left(I\right)\right|\mathrm{<mo>=</mo>}E\left(\frac{1}{N^4}{\displaystyle \sum _U}{\left(J_k{y}_k\right)}^4\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{N^4}{\displaystyle \sum _U}{\left(\frac{y_k}{{\pi }_k}\right)}^{4}E{\left(I_k-{\pi }_k\right)}^4\le \frac{1}{N^4}{\displaystyle \sum _U}{\left(\frac{y_k}{{\pi }_k}\right)}^4\mathrm{<mo>=</mo>}O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{n}^{-2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>\; .}$$

Pour les termes II et III, nous avons

$$\left|E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{J}_k^3{J}_l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|\mathrm{<mo>=</mo>}\left|\frac{1}{{\pi }_k^3{\pi }_l}E\left[{\left(I_k-{\pi }_k\right)}^3\left(I_l-{\pi }_l\right)\right]\right|\le \frac{1}{{\pi }_k^3{\pi }_l}E\left[{\left|I_k-{\pi }_k\right|}^3\left|I_l-{\pi }_l\right|\right]\le \frac{1}{{\pi }_k^3{\pi }_l}\le \frac{1}{{\lambda }^4}\mathrm{,}$$

et

$$E\left(J_k^2{J}_l^2\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{{\pi }_k^2{\pi }_l^2}E\left[{\left(I_k-{\pi }_k\right)}^2{\left(I_l-{\pi }_l\right)}^2\right]\le \frac{1}{{\pi }_k^2{\pi }_l^2}\le \frac{1}{{\lambda }^4}\mathrm{.}$$

Par conséquent, $\left|E\left(\text{II}\right)\right|\mathrm{<mo>=</mo>}O\left(n^{-2}\right)$ et $\left|E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{III}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|\mathrm{<mo>=</mo>}O\left(n^{-2}\right).$ Pour le quatrième terme IV, nous avons

$$\begin{array}{ll}\left|E\left(J_i^2{J}_k{J}_l\right)\right|\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{{\pi }_i^2{\pi }_k{\pi }_l}\left|E\left[{\left(I_i-{\pi }_i\right)}^2\left(I_k-{\pi }_k\right)\left(I_l-{\pi }_l\right)\right]\right|\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{{\pi }_i^2{\pi }_k{\pi }_l}\left|\left(1-2{\pi }_i\right)\left[\left({\pi }_{ikl}-{\pi }_{ik}{\pi }_l\right)-{\pi }_k\left({\pi }_{il}-{\pi }_i{\pi }_l\right)\right]+{\pi }_i^2\left({\pi }_{kl}-{\pi }_k{\pi }_l\right)\right|\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}O\left(n^{-1}\right)\mathrm{,}\hfill \end{array}$$

où la dernière étape provient des conditions C.1 et C.4. Cela implique que $\left|E\left(\text{IV}\right)\right|\mathrm{<mo>=</mo>}O\left(n^{-2}\right).$ Pour le dernier semestre V, nous avons

$$\begin{array}{l}\frac{1}{N^4}E\left({\displaystyle \sum _{i\ne j\ne k\ne l}}\left(J_i{y}_i\right)\left(J_j{y}_j\right)\left(J_k{y}_k\right)\left(J_l{y}_l\right)\right)\\ \begin{array}{ll}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{N^4}{\displaystyle \sum _{i\ne j\ne k\ne l}}\frac{{\pi }_{ijkl}-4{\pi }_{ijk}{\pi }_l+6{\pi }_{ij}{\pi }_k{\pi }_l-3{\pi }_i{\pi }_j{\pi }_k{\pi }_l}{{\pi }_i{\pi }_j{\pi }_k{\pi }_l}{y}_i{y}_j{y}_k{y}_l\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}O\left(n^{-2}\right)\mathrm{,}\hfill \end{array}\end{array}$$

où la dernière étape provient des conditions C.1 et C.4. Donc, $E{\left({\widehat{\overline{t}}}_{\text{HT}}-\overline{t}\right)}^4\mathrm{<mo>=</mo>}O\left(n^{-2}\right)$ prévaut.

Ensuite, nous prouverons que $E{\left({\widehat{\overline{t}}}_{\text{HTA}}-\overline{t}\right)}^4\mathrm{<mo>=</mo>}O\left(n^{-2}\right).$ En observant que

$${\widehat{\overline{t}}}_{\text{HTA}}-\overline{t}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{N}{\displaystyle \sum _U}\frac{I_k-{\pi }_k^{*}}{{\pi }_k^{*}}{y}_k\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{N}{\displaystyle \sum _U}\frac{I_k-{\pi }_k}{{\pi }_k^{*}}{y}_k+\frac{1}{N}{\displaystyle \sum _U}\frac{{\pi }_k-{\pi }_k^{*}}{{\pi }_k^{*}}{y}_k\triangleq A+\Delta \mathrm{,}$$

nous avons

$$E{\left({\widehat{\overline{t}}}_{\text{HTA}}-\overline{t}\right)}^4\mathrm{<mo>=</mo>}E{\left(A+\Delta \right)}^4\mathrm{<mo>=</mo>}E\left(A^4\right)+4\Delta E\left(A^3\right)+6{\Delta }^{2}E\left(A^2\right)+4{\Delta }^{3}E\left(A\right)+{\Delta }^4\mathrm{.}(\text{A}\text{.7})$$

À l’instar des preuves du résultat $E{\left({\widehat{\overline{t}}}_{\text{HT}}-\overline{t}\right)}^4\mathrm{<mo>=</mo>}O\left(n^{-2}\right),$ en utilisant $\lambda \le {\pi }_k^{*}\le 1,$ il est facile d’obtenir

$$E\left(A^4\right)\mathrm{<mo>=</mo>}E{\left(\frac{1}{N}{\displaystyle \sum _U}\frac{I_k-{\pi }_k}{{\pi }_k^{*}}{y}_k\right)}^4\mathrm{<mo>=</mo>}O\left(n^{-2}\right)\mathrm{.}(\text{A}\text{.8})$$

À partir de l’équation (A.8), nous constatons que $E\left(A^2\right)\mathrm{<mo>=</mo>}O\left(n^{-1}\right)$ et $E\left(A^3\right)\mathrm{<mo>=</mo>}O\left(n^{-3/2}\right).$ Par ailleurs, $E\left(A\right)\mathrm{<mo>=</mo>\; 0}$ et

$$\Delta \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{N}{\displaystyle \sum _U}\frac{{\pi }_k-{\pi }_k^{*}}{{\pi }_k^{*}}{y}_k\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{K}{N}\left(\frac{1}{K}{\displaystyle \sum _{U_2}}\frac{{\pi }_k-{\pi }_k^{*}}{{\pi }_k^{*}}{y}_k\right)\mathrm{<mo>=</mo>}O\left(n^{-1}\right)\mathrm{.}$$

Par conséquent, à partir de l’équation (A.7), nous prouvons que $E{\left({\widehat{\overline{t}}}_{\text{HTA}}-\overline{t}\right)}^4\mathrm{<mo>=</mo>}O\left(n^{-2}\right).$

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