Amélioration de l’estimateur Horvitz-Thompson dans l’échantillonnage d’enquête

Section 5. Études numériques

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Dans cette section, nous évaluons le rendement empirique de notre estimateur HTA à l’aide de trois exemples synthétiques et d’un exemple réel. Nous examinons les deux cas suivants, soit l’estimation d’un total de population et l’estimation d’un ratio de population, où nos estimateurs HTA sont comparés à l’estimateur HT. Nous mesurons l’amélioration de l’efficience en fonction de $\text{Re}=\frac{\left|{\text{EQM}}^{\text{HT}}-{\text{EQM}}^{\text{HTA}}\right|}{{\text{EQM}}^{\text{HT}}}\times 100\mathrm{<mi>\%</mi>},$ où ${\text{EQM}}^{\text{HT}}$ et ${\text{EQM}}^{\text{HTA}}$ désignent l’EQM des estimateurs HT et des estimateurs HTA, respectivement. Nous comparons en outre l’estimateur HTA avec l’estimateur HT au sens de la performance d’inférence dans l’exemple réel.

5.1  Simulations

Example 1 : Un exemple explicatif

Nous générons une population finie $Y$ de taille $N\mathrm{<mo>=</mo>}\text{3}\text{000},$ où la $k^{\text{e}}$ valeur unitaire $y_k\mathrm{<mo>=</mo>}\left|y_{0k}\right|$ et $y_{0k}\sim N\left(\mathrm{0,}1\right).$ Notre objectif est d’estimer la moyenne de population $\overline{Y}=\frac{1}{N}{{\displaystyle \sum }}_U{y}_k.$ Nous effectuons l’échantillonnage de Poisson selon les probabilités d’inclusion établies comme suit

$${\pi }_1\mathrm{<mo>=</mo>}\dots \mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_{\text{1}\text{000}}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{0,2}\mathrm{,}{\pi }_{\text{1}\text{001}}\mathrm{<mo>=</mo>}\dots \mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_{\text{2}\text{000}}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{0,001}\mathrm{,}\text{et}{\pi }_{\text{2}\text{001}}\mathrm{<mo>=</mo>}\dots \mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_{\text{3}\text{000}}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{0,08}\mathrm{.}$$

Dans cet exemple, l’estimateur HT n’est pas efficace puisque le tiers des probabilités d’inclusion est de 0,001, minuscule par rapport à 0,08 ou 0,2. À partir de notre stratégie de seuil ferme, nous remplaçons ces minuscules probabilités par 0,08, de sorte que les probabilités d’inclusion modifiées sont données par

$${\pi }_1^{*}\mathrm{<mo>=</mo>}\dots \mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_{\text{1}\text{000}}^{*}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{0,2}\mathrm{,}{\pi }_{\text{1}\text{001}}^{*}\mathrm{<mo>=</mo>}\dots \mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_{\text{2}\text{000}}^{*}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{0,08}\mathrm{,}\text{et}{\pi }_{\text{2}\text{001}}^{*}\mathrm{<mo>=</mo>}\dots \mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_{\text{3}\text{000}}^{*}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{0,08}\mathrm{.}$$

Soulignons que les probabilités modifiées ne sont pas obtenues selon l’algorithme 1. C’est un exemple qui montre que notre seuil ferme peut améliorer l’efficacité. En établissant le temps d’itération $M\mathrm{<mo>=</mo>}\text{2}\text{000,}$ nous obtenons les biais, les variances et les EQM simulés de notre estimateur HTA et de l’estimateur HT. Les résultats sont présentés au tableau 5.1.

À partir du tableau, la variance de l’estimateur HT est beaucoup plus grande que celle de l’estimateur HTA, de sorte qu’il perd son efficacité pour ce qui est de l’EQM comparativement à l’estimateur HTA, bien que l’estimateur HT soit sans biais. De plus, pour montrer les variations des deux estimateurs, nous avons tracé leurs valeurs parmi 2 000 itérations à la figure 5.1. On voit clairement que, bien qu’il y ait un petit biais pour l’estimateur HTA, sa variation est bien inférieure à celle de l’estimateur HT. Ces observations confirment empiriquement nos résultats théoriques.

Exemple 2 : ${\pi }_i$  dépendent d’une variable auxiliaire

Nous générons la population finie $Y$ de taille $N\mathrm{<mo>=</mo>}\text{3}\text{000}$ comme suit : $y_k=\sqrt{3}\cdot \rho \cdot x_k+\sqrt{3-3{\rho }^2}\cdot \left|e_k\right|,$ où $x_k$ et $e_k$ sont générés indépendamment de $U\left(\mathrm{0,}2\right)$ et $N\left(\mathrm{0,}1\right)$ respectivement, et $0\le \rho \le 1$ contrôlant la corrélation de $Y$ et $X.$ Nous considérons trois méthodes d’échantillonnage : échantillonnage de Poisson, échantillonnage selon la probabilité proportionnelle à la taille et échantillonnage probabiliste $\pi$ . La fraction d’échantillonnage $f\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{n}{N}\mathrm{<mo>=</mo>}$  0,02; 0,04; 0,06; 0,08; 0,10; 0,15; 0,20; 0,30. Nous présentons les résultats à la figure 5.2, où $\rho \mathrm{<mo>=</mo>}$0,8, et énumérons les valeurs spécifiques de la figure 5.2 dans le tableau 5.4.

À partir de ces résultats, nous obtenons les mêmes observations que l’exemple 1. Tout indique que notre estimateur HTA surpasse l’estimateur HT pour ce qui est de l’EQM et que l’amélioration est généralement importante. En comparant avec les figures 5.2(a), 5.2(b) et 5.2(c), l’échantillonnage probabiliste $\pi$ obtient le plus grand avantage de l’estimateur HTA par rapport à l’estimateur HT, suivi de l’échantillonnage probabilité proportionnelle à la taille et de l’échantillonnage de Poisson. Nous présentons également les résultats pour différentes valeurs $\rho$ dans l’échantillonnage probabiliste $\pi$ au tableau 5.2, où le cas de $f\mathrm{<mo>=</mo>}$0,08 est déclaré et d’autres cas sont ignorés en raison de la similitude. On observe dans le tableau que, peu importe la valeur de $\rho ,$ l’estimateur HTA a uniformément beaucoup moins l’EQM que l’estimateur HT.

Exemple 2 (suite) : Le rendement de l’algorithme 1 et l’effet du coefficient de variation du résultat

Ici, nous étudions de façon empirique le rendement de l’algorithme 1 et l’effet du coefficient de variation du résultat sur notre estimateur HTA. Nous générons une population finie au moyen d’un modèle linéaire avec une interception : $y_k\mathrm{<mo>=</mo>}\alpha +\sqrt{3}\cdot \rho \cdot x_k+\sqrt{3-3{\rho }^2}\cdot \left|e_k\right|,$ où $x_k$ et $e_k$ sont les mêmes que l’exemple 2. Nous établissons que $N\mathrm{<mo>=</mo>}\text{1}\text{000,}$ et contrôlons le coefficient de variation du résultat en variant le terme d’interception $\alpha \mathrm{<mo>=</mo>}\left\{-10;5;0;5;10\right\}.$ D’abord, nous étudions le rendement de l’algorithme 1. Soulignons que le choix optimal $K_{\text{opt}}$ peut être obtenu en réduisant au minimum l’équation (3.1). Nous comparons les valeurs de l’EQM fondées sur $K_{\text{opt}}$ et $K^{*}$ à partir de l’algorithme 1, et nous présentons les résultats de $f\mathrm{<mo>=</mo>}$0,03 au tableau 5.3 et nous ignorons d’autres cas en raison de la similitude. À partir du tableau, les valeurs de l’EQM fondées sur $K^{*}$ sont très proches de celles fondées sur $K_{\text{opt}}.$ Ces résultats indiquent que l’algorithme 1 offre un choix efficace de $K.$ Deuxièmement, nous étudions l’effet du coefficient de variation du résultat. À partir du tableau, l’estimateur HTA donne toujours un bien meilleur rendement que l’estimateur HT lorsque $\alpha$ a des valeurs différentes. Tout indique que notre HTA peut résister au coefficient de variation du résultat.