Amélioration de l’estimateur Horvitz-Thompson dans l’échantillonnage d’enquête

Section 2. L’estimateur HT est son inconvénient

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Supposons une population finie $U\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{U_1\mathrm{,}\dots ,U_N\right\}$ de taille $N,$ où $U_k$ désigne l’unité $k^{\text{e}}.$ Par souci de simplicité, nous écrivons $U\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}k\mathrm{,}\dots \mathrm{,}N\right\}.$ Pour chaque unité $k,$ supposons que la valeur $y_k$ de la caractéristique cible $Y$ est mesurée. Notre but est d’estimer le total, $t_y={\displaystyle {\sum }_U{y}_k},$ en utilisant un échantillon $s$ de taille $n$ tiré au hasard de la population $U.$ Nous appliquons un échantillonnage avec probabilités inégales sans remise. Supposons que ${\left\{{\pi }_k\right\}}_{k\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N$ désigne les probabilités d’inclusion du premier degré et que ${\left\{{\pi }_{kl}\right\}}_{k\ne l}$ correspond aux probabilités d’inclusion du deuxième degré.

Horvitz et Thompson (1952) ont proposé l’estimateur HT comme suit

$${\widehat{t}}_{\text{HT}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\in s}}\frac{y_k}{{\pi }_k}\mathrm{.}$$

L’estimateur HT ${\widehat{t}}_{\text{HT}}$ est un estimateur de $t_y$ et sa variance est

$$V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\widehat{t}}_{\text{HT}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>\; <mo>=</mo>}{{\displaystyle \sum }}_U\frac{{\Delta }_{kk}}{{\pi }_k^2}{y}_k^2+\underset{k\ne l}{{\displaystyle \sum }{{\displaystyle \sum }}_U}\frac{{\Delta }_{kl}}{{\pi }_k{\pi }_l}{y}_l{y}_k\mathrm{,}(2.1)$$

où ${\Delta }_{kk}\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_k-{\pi }_k^2$ pour la totalité de $k$ et ${\Delta }_{kl}\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_{kl}-{\pi }_k{\pi }_l$ pour la totalité de $k\ne l.$ Lorsque les probabilités d’inclusion sont fortement déséquilibrées, c’est-à-dire que certaines valeurs ${\pi }_k$ sont très petites, la variance de l’estimateur HT peut être très grande.

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