Amélioration de l’estimateur Horvitz-Thompson dans l’échantillonnage d’enquête

Section 3. L’estimateur HT amélioré

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Dans cette section, nous améliorons l’estimateur HT en réduisant son erreur quadratique moyenne (EQM). L’estimateur ainsi obtenu est appelé estimateur HTA. Pour ce faire, nous proposons d’abord les probabilités d’inclusion du premier degré modifiées, où la méthode du seuil ferme est utilisée pour réduire l’effet de ces probabilités d’inclusion avec des valeurs relativement minuscules.

Définition 1. Supposons que ${\pi }_{\left(1\right)}\le {\pi }_{\left(2\right)}\le \dots \le {\pi }_{\left(N\right)}$  correspondent aux valeurs ordonnées des probabilités d’inclusion du premier degré $\left\{{\pi }_1\mathrm{,}{\pi }_2\mathrm{,}\dots ,{\pi }_N\right\}.$  Supposons en outre qu’il existe un nombre entier $K\ge 2$  de sorte que ${\pi }_{\left(K\right)}\le {\left(K+1\right)}^{-1}\mathrm{.}$  Nous définissons les probabilités d’inclusion du premier degré modifiées comme suit

$${\pi }_k^{*}=(\begin{array}{cc}{\pi }_k& {\pi }_k>{\pi }_{\left(K\right)}\mathrm{,}\\ {\pi }_{\left(K\right)}& {\pi }_k\le {\pi }_{\left(K\right)}\mathrm{,}\end{array}1\le k\le N\mathrm{.}$$

À partir de la définition, nous divisons la population finie en deux parties : $U_1=\left\{k:{\pi }_k>{\pi }_{\left(K\right)}\right\}$ avec la taille $N-K,$ et $U_2\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{k\mathrm{<mo>:</mo>}{\pi }_k\le {\pi }_{\left(K\right)}\right\}$ avec la taille $K.$ Pour $U_1,$ les probabilités d’inclusion du premier degré demeurent inchangées, tandis que toutes les probabilités d’inclusion du premier degré pour $U_2$ sont remplacées par ${\pi }_{\left(K\right)}.$ À partir de ce seuil ferme, nous obtenons nos probabilités d’inclusion du premier degré modifiées ${\left\{{\pi }_k^{*}\right\}}_{k\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N.$ De toute évidence, le choix de $K$ est très important. À la section 3.2, nous fournirons une façon simple de choisir $K.$

Remarque sur l’existence de $K.$ L’hypothèse dans la définition 1 est assez faible. Si ${\pi }_{\left(2\right)}\mathrm{<mo>></mo>}1/\left(2+1\right),$ la fraction d’échantillonnage $f\mathrm{<mo>></mo>}\frac{1}{3}-\frac{1}{3N}.$ Toutefois, cette situation où $f\mathrm{<mo>></mo>}\frac{1}{3}$ se produit rarement dans les enquêtes pratiques. Ainsi, l’inégalité voulant que ${\pi }_{\left(2\right)}\le 1/\left(2+1\right)$ prévaut généralement.

Au lieu des probabilités d’inclusion du premier degré originales ${\left\{{\pi }_k\right\}}_{k\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N,$ nous utilisons nos probabilités d’inclusion du premier degré modifiées définies ${\left\{{\pi }_k^{*}\right\}}_{k\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N$ pour construire un estimateur de Horvitz-Thompson amélioré (HTA) par pondération de probabilité inverse.

Définition 2. L’estimateur HTA se définit comme suit

$${\widehat{t}}_{HTA}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\in s}}\frac{y_k}{{\pi }_k^{*}}\mathrm{.}$$

Contrairement à l’estimateur HT sans biais, l’estimateur HTA est biaisé. Toutefois, cette modification entraîne une EQM beaucoup plus petite en raison de la réduction de la variance. Il convient de souligner que, bien que nous nous concentrions sur l’échantillonnage sans remise dans le présent document, notre idée de modification s’applique également à l’estimateur Hansen-Hurwitz (Hansen et Hurwitz, 1943) pour l’échantillonnage avec remise.

3.1  Propriétés de l’estimateur HTA

Dans cette section, nous calculons les propriétés de l’estimateur HTA. Nous fournissons d’abord les expressions de son biais, de sa variance, de son EQM et d’un estimateur sans biais de l’EQM dans le théorème 1. Ensuite, nous comparons l’estimateur HTA avec l’estimateur HT dans les théories 2 et 3.

Théorème 1. Le biais et la variance de l’estimateur HTA ${\widehat{t}}_{HTA}$  sont exprimés comme suit

$$Biais\left({\widehat{t}}_{HTA}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{{\displaystyle \sum }}_{U_2}\left(\frac{{\pi }_k}{{\pi }_{\left(K\right)}}-1\right)y_k\mathrm{,}$$

et

$$Var\left({\widehat{t}}_{HTA}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{{\displaystyle \sum }}_U\frac{{\Delta }_{kk}}{{\pi }_k^{*2}}{y}_k^2+\underset{k\ne l}{{\displaystyle \sum }{{\displaystyle \sum }}_U}\frac{{\Delta }_{kl}}{{\pi }_k^{*}{\pi }_l^{*}}{y}_k{y}_l\mathrm{,}$$

respectivement, où ${\Delta }_{kk}\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_k\left(1-{\pi }_k\right)\mathrm{,}{\Delta }_{kl}\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_{kl}-{\pi }_k{\pi }_l$   $\left(k\ne l\right)$  comme défini précédemment. Par conséquent, son EQM est donnée par

$$EQM\left({\widehat{t}}_{HTA}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\left[{{\displaystyle \sum }}_{U_2}\left(\frac{{\pi }_k}{{\pi }_{\left(K\right)}}-1\right)y_k\right]}^2+{{\displaystyle \sum }}_U\frac{{\Delta }_{kk}}{{\pi }_k^{*2}}{y}_k^2+\underset{k\ne l}{{\displaystyle \sum }{{\displaystyle \sum }}_U}\frac{{\Delta }_{kl}}{{\pi }_k^{*}{\pi }_l^{*}}{y}_k{y}_l\mathrm{.}(3.1)$$

Un estimateur sans biais de l’EQM est

$$\begin{array}{ll}\widehat{EQM}\left({\widehat{t}}_{HTA}\right)\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{{\displaystyle \sum }}_{s_2}\frac{{\left({\pi }_k-{\pi }_{\left(K\right)}\right)}^2}{{\pi }_{\left(K\right)}^2{\pi }_k}{y}_k^2+\underset{k\ne l}{{\displaystyle \sum }{{\displaystyle \sum }}_{s_2}}\frac{\left({\pi }_k-{\pi }_{\left(K\right)}\right)\left({\pi }_l-{\pi }_{\left(K\right)}\right)}{{\pi }_{\left(K\right)}^2{\pi }_{kl}}{y}_k{y}_l\hfill \\ \hfill & +{{\displaystyle \sum }}_s\frac{{\stackrel{⌣}{\Delta }}_{kk}}{{\pi }_k^{*2}}{y}_k^2+\underset{k\ne l}{{\displaystyle \sum }{{\displaystyle \sum }}_s}\frac{{\stackrel{⌣}{\Delta }}_{kl}}{{\pi }_k^{*}{\pi }_l^{*}}{y}_k{y}_l\mathrm{,}\hfill \end{array}$$

où ${\stackrel{⌣}{\Delta }}_{kk}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\Delta }_{kk}}{{\pi }_k}\mathrm{,}{\stackrel{⌣}{\Delta }}_{kl}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\Delta }_{kl}}{{\pi }_{kl}},$   $s$  est l’ensemble d’échantillons et $s_2\mathrm{<mo>=</mo>}s\cap U_2.$

Preuve. Voir l’annexe A.1.

Pour obtenir les propriétés de l’estimateur HTA, nous avons besoin des conditions de régularité suivantes :

Condition C.1. ${{\displaystyle \min }}_{i\in U}{\pi }_i\ge \lambda \mathrm{<mo>></mo>\; 0,}{{\displaystyle \min }}_{i\mathrm{,}j\in U}{\pi }_{ij}\ge {\lambda }^{*}\mathrm{<mo>></mo>\; 0},$ et

$$\underset{Narrow\infty }{{\displaystyle \lim sup}}n\underset{i\ne j\in U}{{\displaystyle \max }}\left|{\pi }_{ij}-{\pi }_i{\pi }_j\right|\mathrm{<mo><</mo>}\infty \mathrm{.}$$

Condition C.2. ${{\displaystyle \max }}_{i\in U}\left|y_i\right|\le C,$ $C$  étant une constante positive qui ne dépend pas de $N.$

La condition C.1 est une condition courante imposée aux probabilités d’inclusion du premier degré et du deuxième degré. Les mêmes conditions sont utilisées dans Breidt et Opsomer (2000), où d’autres commentaires sur C.1 sont fournis. La condition C.2 est également une condition courante.

Théorème 2. Pour l’estimateur HT ${\widehat{t}}_{HT}$  et l’estimateur HTA ${\widehat{t}}_{HTA},$  dans les conditions C.1 à C.2, nous avons

$$Biais\left(N^{-1}{\widehat{t}}_{HT}\right)\mathrm{<mo>=</mo>\; 0,}Biais\left(N^{-1}{\widehat{t}}_{HTA}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}O\left(n^{-1}\right)\mathrm{<mo>;</mo>}$$

et

$$EQM\left(N^{-1}{\widehat{t}}_{HT}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}O\left(n^{-1}\right)\mathrm{,}EQM\left(N^{-1}{\widehat{t}}_{HTA}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}O\left(n^{-1}\right)\mathrm{.}$$

Preuve. Voir l’annexe A.2.

Selon le théorème 2, le biais au carré de notre estimateur HTA est très faible comparativement à son EQM. Bien que notre estimateur HTA apporte un biais pour réduire la variance, le prix à payer est relativement modeste. Le théorème suivant compare théoriquement l’efficacité des deux estimateurs.

Théorème 3. Dans les conditions C.1-C.2, nous avons

$$EQM\left(N^{-1}{\widehat{t}}_{HTA}\right)\le EQM\left(N^{-1}{\widehat{t}}_{HT}\right)+o\left(n^{-1}\right)\mathrm{.}(3.2)$$

En particulier, pour l’échantillonnage de Poisson, nous obtenons

$$EQM\left(N^{-1}{\widehat{t}}_{HTA}\right)\le EQM\left(N^{-1}{\widehat{t}}_{HT}\right)\mathrm{,}$$

où la stricte inégalité est vraie si $k\ne l\in U_2$  de sorte que $\left({\pi }_k-{\pi }_{\left(K\right)}\right)y_k\ne \left({\pi }_l-{\pi }_{\left(K\right)}\right)y_l.$

Preuve. Voir l’annexe A.3.

Le théorème 3 montre que, dans certaines conditions modérées, l’estimateur HTA proposé est asymptotiquement plus efficace que l’estimateur HT. D’après la preuve présentée à l’annexe A.3, le terme $o\left(n^{-1}\right)$ dans l’équation (3.2) est attribuable au terme d’interaction des probabilités d’inclusion du deuxième degré. Nous avons théoriquement lié le terme comme $o\left(n^{-1}\right).$ Pour l’échantillonnage de Poisson, le terme n’existe pas, donc l’EQM de l’estimateur HTA n’est pas uniformément plus grande que celle de l’estimateur HT. Empiriquement, nous comparons l’estimateur HTA à l’estimateur HT à la section 5.

3.2  Le choix de $K$

L’efficacité de l’estimateur HTA dépend du choix de $K,$ qui permet de contrôler le compromis de variance et de biais. Le choix de $K$ doit satisfaire à la condition que ${\pi }_{\left(K\right)}\mathrm{<mo><</mo>}1/\left(K+1\right)$ de la définition 1, étant donné que les probabilités d’inclusion modifiées entraîneraient un biais important lorsque la valeur de $K$ devient importante. Par ailleurs, l’amélioration de l’estimateur HTA ne serait pas significative si la valeur de $K$ est faible. Dans les preuves du théorème 3, l’équation (A.5) indique une limite inférieure du terme principal de $\text{EQM}\left(N^{-1}{\widehat{t}}_{\text{HT}}\right)-\text{EQM}\left(N^{-1}{\widehat{t}}_{\text{HTA}}\right).$ La limite inférieure augmente à mesure que ${\pi }_{\left(K\right)}$ augmente. Par conséquent, en indiquant que la valeur maximale $K^{*}\mathrm{<mo>=</mo>}\max \left\{i\mathrm{<mo>:</mo>}{\pi }_{\left(i\right)}\le 1/\left(i+1\right)\right\},$ nous avons choisi $K^{*}$ comme seuil. En pratique, nous proposons l’algorithme suivant pour trouver la valeur maximale $K^{*}.$

Soulignons que le choix de $K^{*}$ en fonction de l’algorithme 1 n’est pas optimal en ce qui concerne l’EQM. Toutefois, nous simulons un exemple à la section 5 où la performance de l’algorithme 1 est très proche de celle du choix théoriquement idéal.

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