Amélioration de l’estimateur Horvitz-Thompson dans l’échantillonnage d’enquête

Section 4. Extension à l’estimateur par le ratio

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Lorsqu’une variable auxiliaire est disponible, l’estimateur par le ratio est habituellement utilisé pour estimer le total de la population. Dans cette section, nous appliquons l’estimateur HTA au cas de l’estimation par le ratio.

4.1  Estimateur par le ratio amélioré

Indique le ratio entre les totaux de population de $Y$ et $Z$ comme suit

$$R\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_y/t_z\mathrm{,}$$

où $t_y$ et $t_z$ sont les totaux des populations finies $Y$ et $Z,$ respectivement. Supposons que ${\widehat{t}}_{y\pi }={\displaystyle {\sum }_s}\frac{y_k}{{\pi }_k},$ ${\widehat{t}}_{z\pi }\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_s}\frac{z_k}{{\pi }_k},$ ${\widehat{t}}_{y\pi }^{*}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_s}\frac{y_k}{{\pi }_k^{*}},$ et que ${\widehat{t}}_{z\pi }^{*}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_s}\frac{z_k}{{\pi }_k^{*}}.$ L’estimateur classique et notre estimateur modifié de $R$ sont obtenus par

$$\widehat{R}\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{t}}_{y\pi }/{\widehat{t}}_{z\pi }\mathrm{,}\text{et}{\widehat{R}}^{*}\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{t}}_{y\pi }^{*}/{\widehat{t}}_{z\pi }^{*}.$$

Nous supposons que le total de la population $t_z$ est connu. Pour estimer le total de la population $t_y$ de $Y,$ l’estimateur par le ratio classique est obtenu comme suit

$${\widehat{Y}}_R\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_z\cdot {\widehat{t}}_{y\pi }/{\widehat{t}}_{z\pi }\mathrm{.}$$

Par ailleurs, notre estimateur par le ratio amélioré de $t_y$ fondé sur les probabilités d’inclusion modifiées est exprimé comme suit

$${\widehat{Y}}_R^{*}\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_z\cdot {\widehat{t}}_{y\pi }^{*}/{\widehat{t}}_{z\pi }^{*}\mathrm{.}$$

4.2  Propriétés de l’estimateur par le ratio amélioré

Pour montrer théoriquement que l’estimateur par le ratio amélioré ${\widehat{Y}}_R^{*}$ est plus efficace que l’estimateur par le ratio classique ${\widehat{Y}}_R,$ nous avons besoin des conditions de régularité suivantes :

Condition C.3. ${{\displaystyle \lim }}_{N\to \infty }\frac{n}{N}\mathrm{<mo>=</mo>}c\mathrm{,}$  où $c\in \left(\mathrm{0,}1\right)$  est une constante.

Condition C.4. ${{\displaystyle \max }}_{i\ne j\ne k\in U}\left({\pi }_{ijk}-{\pi }_{ij}{\pi }_k\right)\mathrm{<mo>=</mo>}O\left(n^{-1}\right)\mathrm{,}$  et

$$\underset{i\ne j\ne k\ne l\in U}{{\displaystyle \max }}\left({\pi }_{ijkl}-4{\pi }_{ijk}{\pi }_l+6{\pi }_{ij}{\pi }_k{\pi }_l-3{\pi }_i{\pi }_j{\pi }_k{\pi }_l\right)\mathrm{<mo>=</mo>}O\left(n^{-2}\right)\mathrm{.}$$

Condition C.3 est une condition courante. La même condition est utilisée dans Breidt et Opsomer (2000). La condition C.4 est une hypothèse souple selon les probabilités d’inclusion du troisième et du quatrième degrés. À l’annexe A.5, nous présentons des exemples fréquents qui satisfont à la condition C.4.

En comparant nos estimateurs améliorés avec les estimateurs classiques, nous obtenons le résultat suivant.

Théorème 4. Si les conditions C.1 à C.4 sont satisfaites, et que $c_1\le z_k\le c_2$  pour la totalité de $k\in U$  avec $c_1$  et $c_2$  et certaines constantes positives, alors

$$EQM\left({\widehat{R}}^{*}\right)\le EQM\left(\widehat{R}\right)+o\left(n^{-1}\right)\mathrm{.}$$

De plus,

$$EQM\left(N^{-1}{\widehat{Y}}_R^{*}\right)\le EQM\left(N^{-1}{\widehat{Y}}_R\right)+o\left(n^{-1}\right)\mathrm{.}$$

Preuve. Voir l’annexe A.4.

Comme le théorème 3, le théorème 4 montre que la méthode proposée améliore les estimateurs par le ratio classiques avec une tolérance de degré $o\left(n^{-1}\right).$

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