Amélioration de l’estimateur Horvitz-Thompson dans l’échantillonnage d’enquête
Section 1. Introduction
L’estimateur Horvitz-Thompson (HT) proposé par Horvitz et Thompson (1952) est largement utilisé dans l’échantillonnage. Il a également été appliqué à d’autres domaines comme l’analyse fonctionnelle des données (Cardot et Josserand, 2011) et l’effet de traitement (Rosenbaum, 2002). L’estimateur HT est un estimateur sans biais construit par pondération de probabilité inverse. Cependant, lorsque les probabilités d’inclusion sont très hétérogènes, c’est-à-dire que les probabilités d’inclusion de certaines unités sont relativement faibles, la variance de l’estimateur HT devient importante en raison de la pondération de probabilité inverse. Dans le présent document, nous proposons un estimateur Horvitz-Thompson amélioré (HTA) pour régler ce problème.
Notre approche consiste à utiliser un seuil ferme pour les probabilités d’inclusion du premier degré. Plus précisément, nous choisissons soigneusement une probabilité d’inclusion comme seuil. Les probabilités d’inclusion inférieures au seuil sont remplacées par le seuil, tandis que les autres demeurent inchangées. De cette façon, nous obtenons les probabilités d’inclusion modifiées et construisons un estimateur fondé sur les probabilités d’inclusion modifiées par la pondération de probabilité inverse. Nous appelons cet estimateur l’estimateur HTA. Cette méthode semble très facile, mais elle est plus efficace que l’estimateur HT. Cette approche du seuil ferme peut s’expliquer par une méthode de rétrécissement. Le rétrécissement est très couramment utilisé dans le domaine des statistiques, comme la régression ridge (Hoerl et Kennard, 1970) et les statistiques à haute dimension (Tibshirani, 1996). Dans le présent document, nous l’utilisons pour réduire l’effet négatif des probabilités d’inclusion très hétérogènes. Comme pour d’autres méthodes de rétrécissement, notre approche introduit un biais, qui s’est avéré très faible, mais réduit la variance dans une plus grande mesure, ce qui améliore l’efficacité de l’estimation. Nous montrerons théoriquement et numériquement l’amélioration par rapport à l’utilisation des probabilités d’inclusion modifiées. En plus de l’estimateur de la population totale, nous appliquons également cette stratégie à l’estimateur du ratio et, par conséquent, nous obtenons un estimateur du ratio amélioré.
Le document est organisé comme suit. La section 2 présente l’estimateur HT et son inconvénient. La section 3 propose nos probabilités d’inclusion modifiées et l’estimateur HTA qui en résulte. Nous fournissons également les propriétés de l’estimateur HTA et, théoriquement, nous le comparons à l’estimateur HT dans cette section. La section 4 élargit notre idée pour obtenir un estimateur de ratio amélioré et montre que cette modification est efficace. La section 5 présente des preuves numériques provenant de simulations et une analyse de données réelles. La section 6 sert de conclusion. Les preuves des résultats théoriques sont fournies en annexe.
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