Modèles spatiaux bayésiens pour l’estimation des moyennes pour petites régions échantillonnées et non échantillonnées
Section 6. Conclusions

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Dans le présent article, nous avons suivi une approche bayésienne pour étudier quatre modèles spatiaux à effets aléatoires comme solutions de rechange au modèle indépendant de Fay-Herriot pour estimer les moyennes de petites régions. En particulier, nous avons examiné quatre modèles spatiaux avec différentes structures d’autocorrélation. Nous avons élargi les modèles spatiaux afin de permettre la présence de multiples petites régions sans estimations directes pour prédire les moyennes de petites régions pour toutes les régions. Pour une classe de distributions a priori non informatives, nous avons établi la pertinence des densités a posteriori des modèles proposés pour les deux configurations.

Une étude de simulation à la section 4 montre que l’exactitude des prévisions peut être grandement améliorée si l’on tient compte des modèles spatiaux lorsque des covariables efficaces ne sont pas disponibles. Datta, Hall et Mandal (2011) ont souligné que l’exactitude des prévisions des modèles d’estimation sur petites régions dépend en grande partie de la disponibilité de bonnes covariables. Autrement dit, lorsque des covariables appropriées ne sont pas disponibles, le modèle indépendant de Fay-Herriot pourrait ne pas offrir un avantage important par rapport aux estimations directes. Les résultats de la simulation ont indiqué que, dans de tels cas, les modèles spatiaux permettent d’augmenter considérablement la précision des prédictions en exploitant l’information provenant de régions adjacentes.

Nous avons appliqué les modèles spatiaux à effets aléatoires proposés pour estimer le revenu médian familial de quatre personnes. Même en présence d’une bonne covariable, les modèles spatiaux ont montré des améliorations notables quant à l’écart quadratique moyen et aux écarts-types moyens a posteriori. Lorsqu’une bonne covariable n’est pas disponible, les modèles spatiaux fournissent des prédictions du revenu médian beaucoup plus précises ayant une variabilité beaucoup plus faible, ce qui concorde avec les résultats de la simulation. De plus, les modèles SAR et LCAR fournissent des estimations plus précises sur petites régions lorsque les estimations directes de certains États sont exclues dans l’ajustement du modèle.

En résumé, les modèles spatiaux examinés dans le présent article donnent de meilleurs résultats que le modèle indépendant de Fay-Herriot. On peut s’attendre à une amélioration importante lorsque des covariables efficaces ne sont pas disponibles. Comme les covariables utiles ne sont pas toujours disponibles, l’utilité des modèles proposés pour l’estimation sur petites régions peut être substantielle. Notre étude de simulation et notre analyse de données réelles ne montrent aucun gagnant clair parmi les modèles proposés. Néanmoins, les modèles SAR et LCAR montrent une meilleure performance que d’autres modèles spatiaux. De plus, le modèle LCAR fonctionne très bien avec des données simulées issues du modèle SAR et des données réelles dont la dépendance spatiale est inconnue. Par conséquent, dans le contexte d’applications réelles où la véritable dépendance est inconnue, nous recommandons le modèle LCAR.

Les travaux de la présente étude supposent que toutes les régions comptent au moins un quartier. Dans les applications réelles, cependant, il y a de nombreuses situations où les données contiennent de petites régions sans quartiers (régions autonomes). Bien que les modèles proposés puissent prendre en compte des régions autonomes en ajustant les entrées diagonales des matrices de précision comme dans Brown, Datta et Lazar (2017), nous constatons que cette approche donne lieu à une distribution a priori contre-intuitive, quand les régions autonomes ont des variances a priori des effets aléatoires plus petites que les régions comptant des quartiers. De plus, nous constatons que cette distribution a priori peut considérablement altérer les prédictions des régions autonomes. C’est un problème important dans la pratique, car de nombreux pays ont des îles; il s’agira peut-être de notre prochain filon de recherche.

Avis de non-responsabilité et remerciements

Le présent rapport vise à informer les parties intéressées des travaux de recherche en cours et à favoriser la discussion. Les opinions exprimées sur les questions statistiques, méthodologiques, techniques ou opérationnelles sont celles des auteurs et non celles du U.S. Census Bureau ou de l’université de Géorgie. Les auteurs tiennent à remercier William R. Bell pour ses commentaires judicieux au sujet d’une version antérieure de ces travaux qui ont mené à l’amélioration du manuscrit.

Annexe

A.   Preuve de la fonction de densité de probabilité a posteriori

Preuve du théorème 1. Pour des raisons de commodité, nous désignons ${\Omega }_k\left(\rho \right)$ par ${\Omega }_k$ et, pour une matrice quadratique donnée $A,$ le déterminant de $A$ est indiqué par $\left|A\right|.$ Nous utilisons $K$ pour désigner une constante positive générique, indépendante des variables que nous intégrons.

Supposons que $m_1\ge 0$ est le nombre de petites régions sans estimation directe et supposons que $m_2=m-m_1.$ De plus, supposons que $Y_{\left(2\right)}$ est le vecteur $m_2\times 1$ comptant des estimations directes des petites régions échantillonnées. Sans perte de généralité, nous supposons que ${\theta }_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\theta }_m$ sont disposés de sorte que $\theta ={\left({\theta }_{\left(1\right)}^T\mathrm{,}{\theta }_{\left(2\right)}^T\right)}^T.$ Supposons que $D_{\left(2\right)}={\left\{D_i\right\}}_{i\mathrm{<mo>=</mo>}{m}_1+1}^m$ est la matrice diagonale avec variances d’échantillonnage correspondant aux composantes de $Y_{\left(2\right)}$ et $\delta ={{\displaystyle \max }}_{m_1<i\le m}{D}_i<\infty .$

La fonction de densité de probablité (fdp) mixte de $Y_{\left(2\right)}\mathrm{,}\theta \mathrm{,}\beta \mathrm{,}{\sigma }_v^2$ et $\rho$ est donnée par :

$$f\left(y_{\left(2\right)}\mathrm{,}\theta \mathrm{,}\beta \mathrm{,}{\sigma }_v^2\mathrm{,}\rho \right)=N_{m_2}\left(y_{\left(2\right)}|{\theta }_{\left(2\right)}\mathrm{,}{D}_{\left(2\right)}\right)N_m\left(\theta |X\beta \mathrm{,}{\sigma }_v^2{\Omega }^{-1}\right)g\left({\sigma }_v^2\right)h\left(\rho \right)\mathrm{,}(\text{A}.1)$$

où $N_{m_2}\left(y_{\left(2\right)}|{\theta }_{\left(2\right)}\mathrm{,}{D}_{\left(2\right)}\right)$ est la fdp normale comportant une moyenne ${\theta }_{\left(2\right)}$ et une matrice de covariance $D_{\left(2\right)}.$ La fdp a posteriori $\pi \left(\theta \mathrm{,}\beta \mathrm{,}{\sigma }_v^2\mathrm{,}\rho |y_{\left(2\right)}\right)$ sera adéquate si et seulement si la fonction $f\left(y_{\left(2\right)}\mathrm{,}\theta \mathrm{,}\beta \mathrm{,}{\sigma }_v^2\mathrm{,}\rho \right)$ est intégrable relativement à $\theta \mathrm{,}\beta \mathrm{,}{\sigma }_v^2$ et $\rho .$ Puisque :

$$N_{m_2}\left(y_{\left(2\right)}|{\theta }_{\left(2\right)}\mathrm{,}{D}_{\left(2\right)}\right)\le K\exp \left\{-\frac{1}{2\delta }{\left(y_{\left(2\right)}-{\theta }_{\left(2\right)}\right)}^T\left(y_{\left(2\right)}-{\theta }_{\left(2\right)}\right)\right\}\mathrm{,}$$

nous avons, selon (A.1) :

$$\begin{array}{ll}f\left(y_{\left(2\right)}\mathrm{,}\theta \mathrm{,}\beta \mathrm{,}{\sigma }_v^2\mathrm{,}\rho \right)\hfill & \le K\exp \left\{-\frac{1}{2\delta }{\left(y_{\left(2\right)}-{\theta }_{\left(2\right)}\right)}^T\left(y_{\left(2\right)}-{\theta }_{\left(2\right)}\right)\right\}{N}_m\left(\theta |X\beta \mathrm{,}{\sigma }_v^2{\Omega }^{-1}\right)g\left({\sigma }_v^2\right)h\left(\rho \right)\hfill \\ \hfill & =K{\displaystyle \int }\exp \left\{-\frac{1}{2\delta }{\left(y-\theta \right)}^T\left(y-\theta \right)\right\}d{y}_{\left(1\right)}{N}_m\left(\theta |X\beta \mathrm{,}{\sigma }_v^2{\Omega }^{-1}\right)g\left({\sigma }_v^2\right)h\left(\rho \right)\mathrm{,}(\text{A}.2)\hfill \end{array}$$

où $y={\left(y_{\left(1\right)}^T\mathrm{,}{y}_{\left(2\right)}^T\right)}^T.$ En intégrant les deux côtés de (A.2) relativement à $\theta ,$ nous obtenons :

$${\displaystyle \int }f\left(y_{\left(2\right)}\mathrm{,}\theta \mathrm{,}\beta \mathrm{,}{\sigma }_v^2\mathrm{,}\rho \right)d\theta \le Kg\left({\sigma }_v^2\right)h\left(\rho \right){\displaystyle \int }{N}_m\left(y|X\beta \mathrm{,}\delta I_m+{\sigma }_v^2{\Omega }^{-1}\right)d{y}_{\left(1\right)}\mathrm{.}(\text{A}.3)$$

Subdivisons $X$ en tant que $X={\left[X_1\mathrm{,}{X}_2\right]}^T,$ où $X_1^T$ est $m_1\times p$ et $X_2^T$ est $m_2\times p.$ Nous supposons que la ligne $\left(X_2\right)=p.$ Supposons que $d={\left(0_{m_1}^T\mathrm{,}{y}_{\left(2\right)}^T\right)}^T,$ $\varphi ={\left(y_{\left(1\right)}^T\mathrm{,}{\beta }^T\right)}^T$ et

$$G=\left[\begin{array}{ll}-I_{m_1}\hfill & X_1^T\hfill \\ 0_{m_2\mathrm{,}{m}_1}\hfill & X_2^T\hfill \end{array}\right]\mathrm{.}$$

Alors nous pouvons utiliser la notation :

$$y-X\beta =d-G\varphi \mathrm{,}$$

où $G$ est $m\times \left(m_1+p\right),$ $\varphi$ est $\left(m_1+p\right)\times 1.$ Donc, l’équation (A.3) peut être formulée comme suit :

$${\displaystyle \int }f\left(y_{\left(2\right)}\mathrm{,}\theta \mathrm{,}\beta \mathrm{,}{\sigma }_v^2\mathrm{,}\rho \right)d\theta \le Kg\left({\sigma }_v^2\right)h\left(\rho \right){\displaystyle \int }{N}_m\left(d|G\varphi \mathrm{,}\delta I_m+{\sigma }_v^2{\Omega }^{-1}\right)d{y}_{\left(1\right)}\mathrm{.}(\text{A}.4)$$

En intégrant les deux côtés de (A.4) relativement à $\beta ,$ nous obtenons :

$${\displaystyle \int }f\left(y_{\left(2\right)}\mathrm{,}\theta \mathrm{,}\beta \mathrm{,}{\sigma }_v^2\mathrm{,}\rho \right)d\theta d\beta \le Kg\left({\sigma }_v^2\right)h\left(\rho \right){\displaystyle \int }{N}_m\left(d|G\varphi \mathrm{,}\delta I_m+{\sigma }_v^2{\Omega }^{-1}\right)d\varphi \mathrm{.}(\text{A}.5)$$

Puisque la ligne $\left(X_2\right)=p,$ il s’ensuit immédiatement que la ligne $\left(G\right)=m_1+p.$ Par conséquent, $G$ est dite « de plein rang$–$colonne ». Nous indiquons $m_1+p$ par $q.$ Pour $k=\mathrm{2,}\dots \mathrm{,}5,$ nous établissons maintenant les limites supérieures pour :

$${\left|\delta I_m+{\sigma }_v^2{\Omega }_k^{-1}\right|}^{-1/2}{\displaystyle \int }\exp \left\{-\frac{1}{2}{\left(d-G\varphi \right)}^T{\left(\delta I_m+{\sigma }_v^2{\Omega }_k^{-1}\right)}^{-1}\left(d-G\varphi \right)\right\}d\varphi$$

qui pourront être intégrables relativement à ${\sigma }_v^2$ et $\rho$ comme suit.

A.1   Renseignements sur le modèle autorégressif conditionnel simple (SCAR)

Prenons d’abord le modèle CAR où $k=2.$ Supposons que $P_W$ est une matrice orthogonale, de sorte que $P_W^{T}W{P}_W=\text{diag}{\left\{{\lambda }_i\right\}}_{i\mathrm{<mo>=</mo>}1}^m=\Lambda .$ Alors ${\Omega }_2{\left(\rho \right)}^{-1}=P_W{\left\{I-\rho \Lambda \right\}}^{-1}{P}_W^T,$ et donc,

$$\begin{array}{ll}{\left(d-G\varphi \right)}^T{\left(\delta I_m+{\sigma }_v^2{\Omega }_2^{-1}\right)}^{-1}\left(d-G\varphi \right)\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\left(P_W^{T}d-P_W^{T}G\varphi \right)}^T{\left(\delta I_m+{\sigma }_v^2{\mathrm{<mo>\{</mo>}I-\rho \Lambda \mathrm{<mo>\}</mo>}}^{-1}\right)}^{-1}\left(P_W^{T}d-P_W^{T}G\varphi \right)\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\left(d_{*}-G_{*}\varphi \right)}^T{\left(\delta I_m+{\sigma }_v^2{\left\{I-\rho \Lambda \right\}}^{-1}\right)}^{-1}\left(d_{*}-G_{*}\varphi \right)\mathrm{,}\hfill \end{array}$$

où $d_{*}=P_W^{T}d$ et $G_{*}=P_W^{T}G.$ Supposons que les lignes de $G_{*}$ correspondant à des indices $q$ distincts $\left\{i_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{i}_q\right\}\subseteq \left\{\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}m\right\}$ sont linéairement indépendantes. Nous désignons ces lignes par $g_{i_k^{*}}^T,$ $k=\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}q.$ Supposons que $A$ est $q\times q$ la matrice non singulaire ${\left[g_{i_1^{*}}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{g}_{i_q^{*}}\right]}^T$ et que $\eta ={\left({\eta }_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\eta }_q\right)}^T=A\varphi .$ Il convient de souligner que

$${\left(d-G\varphi \right)}^T{\left(\delta I_m+{\sigma }_v^2{\Omega }_2^{-1}\right)}^{-1}\left(d-G\varphi \right)\ge {\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>}1}^q}\frac{{\left(d_{i_k^{*}}-{\eta }_{i_k}\right)}^2}{\delta +{\sigma }_v^2{\left(1-\rho {\lambda }_{i_k}\right)}^{-1}}\mathrm{<mi>\; </mi>.}$$

Ainsi, nous obtenons :

$$\begin{array}{ll}{\displaystyle \int }\exp \left\{-\frac{1}{2}{\left(d-G\varphi \right)}^T{\left(\delta I_m+{\sigma }_v^2{\Omega }_2^{-1}\right)}^{-1}\left(d-G\varphi \right)\right\}d\varphi \hfill & \le {\displaystyle \int }\exp \left\{-\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>}1}^q}\frac{{\left(d_{i_k^{*}}-{\eta }_{i_k}\right)}^2}{\delta +{\sigma }_v^2{\left(1-\rho {\lambda }_{i_k}\right)}^{-1}}\right\}d\varphi \hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \int }\exp \left\{-\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^q}\frac{{\left(d_{i_k^{*}}-{\eta }_{i_k}\right)}^2}{\delta +{\sigma }_v^2{\left(1-\rho {\lambda }_{i_k}\right)}^{-1}}\right\}d\eta {\left|A^T\text{}A\right|}^{-1/2}\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}K{\displaystyle \prod _{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^q}{\left\{\delta +{\sigma }_v^2{\left(1-\rho {\lambda }_{i_k}\right)}^{-1}\right\}}^{1/2}\mathrm{,}(\text{A}.6)\hfill \end{array}$$ où $K>0$ est une constante adéquatement finie. De plus, nous savons que

$${\left|\delta I_m+{\sigma }_v^2{\Omega }_2^{-1}\right|}^{-1/2}={\displaystyle \prod _{i\mathrm{<mo>=</mo>}1}^m}{\left\{\delta +{\sigma }_v^2{\left(1-\rho {\lambda }_i\right)}^{-1}\right\}}^{-1/2}\mathrm{.}(\text{A}.7)$$

Suivant (A.6) et (A.7) nous obtenons :

$$\begin{array}{l}{\left|\delta I_m+{\sigma }_v^2{\Omega }_2^{-1}\right|}^{-1/2}{\displaystyle \int }\exp \left\{-\frac{1}{2}{\left(d-G\varphi \right)}^T{\left(\delta I_m+{\sigma }_v^2{\Omega }_2^{-1}\right)}^{-1}\left(d-G\varphi \right)\right\}d\varphi \hfill \\ \le K{\displaystyle \prod _{i\notin \mathrm{<mo>\{</mo>}{i}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{i}_q\mathrm{<mo>\}</mo>}}}{\left\{\delta +{\sigma }_v^2{\left(1-\rho {\lambda }_i\right)}^{-1}\right\}}^{-1/2}\hfill \\ \le K\left\{I\left({\sigma }_v^2<N\right)+{\left({\sigma }_v^2\right)}^{-\left(m-q\right)/2}{\displaystyle \prod _{i\notin \left\{i_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{i}_q\right\}}}{\left(1-\rho {\lambda }_i\right)}^{1/2}I\left({\sigma }_v^2>N\right)\right\}(\text{A}.8)\hfill \end{array}$$

pour tout nombre positif $N.$ Il ne faut pas oublier que ${\lambda }_m^{-1}<\rho \mathrm{<mo><</mo>}{\lambda }_1^{-1}.$ Nous savons que $1-\rho {\lambda }_i$ est une valeur propre de ${\Omega }_2.$ Donc, pour ${\lambda }_m^{-1}<\rho <{\lambda }_1^{-1},$ pour $i=\mathrm{1,}\dots ,m,$ $1-\rho {\lambda }_i>0.$ De plus, ${\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>}1}^m}\left(1-\rho {\lambda }_i\right)=m.$ Cela suppose que $0<1-\rho {\lambda }_i<m.$ En suite, suivant (A.8), nous obtenons :

$$\begin{array}{l}{\left|\delta I_m+{\sigma }_v^2{\Omega }_2^{-1}\right|}^{-1/2}{\displaystyle \int }\exp \left\{-\frac{1}{2}{\left(d-G\varphi \right)}^T{\left(\delta I_m+{\sigma }_v^2{\Omega }_2^{-1}\right)}^{-1}\left(d-G\varphi \right)\right\}d\varphi \hfill \\ \le K\left\{I\left({\sigma }_v^2<N\right)+{\left({\sigma }_v^2\right)}^{-\left(m-q\right)/2}I\left({\sigma }_v^2>N\right)\right\}\mathrm{.}(\text{A}.9)\hfill \end{array}$$

Suivant (A.5) et (A.9), il s’ensuit que, dans les conditions établies par le théorème, l’intégrale ${\displaystyle \int }f\left(y_{\left(2\right)}\mathrm{,}\theta \mathrm{,}\beta \mathrm{,}{\sigma }_v^2\mathrm{,}\rho \right)d\theta d\beta d{\sigma }_v^{2}d\rho$ désirée est finie.

A.2   Renseignements sur le modèle autorégressif simultané (SAR)

Prenons maintenant $k=3$ pour le modèle SAR. Suivant $W_{*}=L^{-1/2}W{L}^{-1/2},$ nous avons :

$$\begin{array}{ll}{\Omega }_3\hfill & ={\left(I_m-\rho \tilde{W}\right)}^T\left(I_m-\rho \tilde{W}\right)\hfill \\ \hfill & ={\left(L-\rho W\right)}^T{L}^{-2}\left(L-\rho W\right)\hfill \\ \hfill & =L^{1/2}\left(I_m-\rho W_{*}\right)L^{-1}\left(I_m-\rho W_{*}\right)L^{1/2}\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

D’abord, $\text{tr}{\Omega }_3=m+{\rho }^2{\displaystyle {\sum }_i}{\displaystyle {\sum }_j}{\tilde{w}}_{ij}^2\le m+{\rho }^2{\displaystyle {\sum }_i}{\displaystyle {\sum }_j}{\tilde{w}}_{ij}=m+{\rho }^{2}m<2m$ puisque $0\le {\tilde{w}}_{ij}\le 1,$ ${\displaystyle {\sum }_j}{\tilde{w}}_{ij}=1,$ et $-1<\rho <1.$

Il convient de souligner que les valeurs propres ${\nu }_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\nu }_m$ de $W_{*}$ sont toutes réelles (car $W_{*}$ est symétrique). De plus, $W_{*}$ et $\tilde{W}$ ont des valeurs propres identiques. Étant une matrice stochastique, $\tilde{W}$ a au moins une valeur propre qui est 1 et les valeurs propres restantes ont une borne supérieure égale à 1, c’est-à-dire que $\left|{\nu }_i\right|\le 1$ et ${{\displaystyle \max }}_i{\nu }_i=1.$ Comme $-1<\rho <1$ et $1-\rho {\nu }_i>0,$ $\left|{\Omega }_3\right|\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\prod }_{i\mathrm{<mo>=</mo>}1}^m}{\left(1-\rho {\nu }_i\right)}^2>0.$ Ainsi, les valeurs propres de ${\Omega }_3$ sont positives, et elles ont une borne supérieure égale à $2m.$ Supposons que $l_{\left(1\right)}=\min l_i$ et $l_{\left(m\right)}=\max l_i,$ où $L=\text{diag}{\left\{l_i\right\}}_{i\mathrm{<mo>=</mo>}1}^m.$ Alors $l_{\left(1\right)}>0$ et $l_{\left(m\right)}$ ont une borne supérieure. Si l’on écrit :

$${\Sigma }_3\mathrm{<mo>=</mo>}\delta I_m+{\sigma }_v^2{\Omega }_3^{-1}=L^{-1/2}\left\{\delta L+{\sigma }_v^2{\left(I_m-\rho W_{*}\right)}^{-1}L{\left(I-\rho W_{*}\right)}^{-1}\right\}{L}^{-1/2}\mathrm{,}$$

nous avons :

$$\begin{array}{ll}\left|{\Sigma }_3\right|={\left|L\right|}^{-1}\left|\delta L+{\sigma }_v^2{\left(I_m-\rho W_{*}\right)}^{-1}L{\left(I_m-\rho W_{*}\right)}^{-1}\right|\hfill & \ge {\left|L\right|}^{-1}{l}_{\left(1\right)}^m\left|\delta I_m+{\sigma }_v^2{\left(I_m-\rho W_{*}\right)}^{-2}\right|\mathrm{<mi>\; </mi>}\hfill \\ \hfill & ={\left|L\right|}^{-1}{l}_{\left(1\right)}^m\mathrm{<mi>\; </mi>}{\displaystyle \prod _{i\mathrm{<mo>=</mo>}1}^m}\left\{\delta +{\sigma }_v^2{\left(1-\rho {\nu }_i\right)}^{-2}\right\}\mathrm{,}(\text{A}.10)\hfill \end{array}$$

Supposons que $P_{W_{*}}$ est la matrice des vecteurs propres de $W_{*},$ de sorte que $P_{W_{*}}^T{W}_{*}{P}_{W_{*}}=\text{diag}{\left\{{\nu }_i\right\}}_{i\mathrm{<mo>=</mo>}1}^m=N_{*},$ nous avons aussi :

$$\begin{array}{ll}{\left(d-G\varphi \right)}^T{\Sigma }_3^{-1}\left(d-G\varphi \right)\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\left(L^{1/2}d-L^{1/2}G\varphi \right)}^T{\left\{\delta L+{\sigma }_v^2{\left(I_m-\rho W_{*}\right)}^{-1}L{\left(I_m-\rho W_{*}\right)}^{-1}\right\}}^{-1}\left(L^{1/2}d-L^{1/2}G\varphi \right)\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\left(r-S\varphi \right)}^T{\left\{\delta L+{\sigma }_v^2{\left(I_m-\rho W_{*}\right)}^{-1}L{\left(I_m-\rho W_{*}\right)}^{-1}\right\}}^{-1}\left(r-S\varphi \right)\hfill \\ \hfill & \ge {\left(l_{\left(m\right)}^{-1/2}r-l_{\left(m\right)}^{-1/2}S\varphi \right)}^T{\left\{\delta I_m+{\sigma }_v^2{\left(I_m-\rho W_{*}\right)}^{-2}\right\}}^{-1}\left(l_{\left(m\right)}^{-1/2}r-l_{\left(m\right)}^{-1/2}S\varphi \right)\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\left(\tilde{r}-\tilde{S}\varphi \right)}^T{\left\{\delta I_m+{\sigma }_v^2{\left(I_m-\rho N_{*}\right)}^{-2}\right\}}^{-1}\left(\tilde{r}-\tilde{S}\varphi \right)\hfill \\ \hfill & \ge {\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^q}\frac{{\left({\tilde{r}}_{i_k}-{\tilde{s}}_{i_k}^T\varphi \right)}^2}{\delta +{\sigma }_v^2{\left(1-\rho {\nu }_{i_k}\right)}^{-2}}\mathrm{,}(\text{A}.11)\hfill \end{array}$$

où $r=L^{1/2}d,$ $S=L^{1/2}G,$ $\tilde{r}=l_{\left(m\right)}^{-1/2}{P}_{W_{*}}r,$ $\tilde{S}=l_{\left(m\right)}^{-1/2}{P}_{W_{*}}S,$ et $\left\{i_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{i}_q\right\}$ forment un sous-ensemble de $\left\{\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}m\right\}$ de telle sorte que la matrice $q\times q$ ${\left[{\tilde{s}}_{i_1}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\tilde{s}}_{i_q}\right]}^T={\tilde{S}}_1,$ une sous-matrice de $\tilde{S},$ est non singulaire. Il convient de mentionner que ${\tilde{S}}_1$ est déterminé par $W.$ En utilisant (A.11), nous obtenons :

$${\displaystyle \int }\exp \left\{-\frac{1}{2}{\left(d-G\varphi \right)}^T{\Sigma }_3^{-1}\left(d-G\varphi \right)\right\}d\varphi \le {\left(2\pi \right)}^{q/2}{\left|{\tilde{S}}_1^T{\tilde{S}}_1\right|}^{-1/2}{\displaystyle \prod _{k\mathrm{<mo>=</mo>}1}^q}{\left\{\delta +{\sigma }_v^2{\left(1-\rho {\nu }_{i_k}\right)}^{-2}\right\}}^{1/2}\mathrm{.}(\text{A}.12)$$

Suivant (A.10) et (A.12), nous obtenons :

$$\begin{array}{l}{\displaystyle \int }{\left|{\Sigma }_3\right|}^{-1/2}\exp \left\{-\frac{1}{2}{\left(d-G\varphi \right)}^T{\Sigma }_3^{-1}\left(d-G\varphi \right)\right\}d\varphi \le K{\displaystyle \prod _{i\notin \left\{i_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{i}_q\right\}}}{\left\{\delta +{\sigma }_v^2{\left(1-\rho {\nu }_i\right)}^{-2}\right\}}^{-1/2}\\ \le K\left\{I\left({\sigma }_v^2<N\right)+{\left({\sigma }_v^2\right)}^{-\left(m-q\right)/2}I\left({\sigma }_v^2>N\right){\displaystyle \prod _{i\notin \left\{i_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{i}_q\right\}}}\left(1-\rho {\nu }_i\right)\right\}\\ \le K\left\{I\left({\sigma }_v^2<N\right)+{\left({\sigma }_v^2\right)}^{-\left(m-q\right)/2}I\left({\sigma }_v^2>N\right)\right\}\mathrm{,}(\text{A}.13)\end{array}$$

où nous nous appuyons sur le fait que $-1<\rho <1$ et que $-1\le {\nu }_i\le 1$ pour faire valoir que $0<1-\rho {\nu }_i<2.$ Suivant (A.5) et (A.13), nous procédons donc comme nous l’avons fait pour le modèle CAR, c’est-à-dire que l’intégrale ${\displaystyle \int }f\left(y_{\left(2\right)}\mathrm{,}\theta \mathrm{,}\beta \mathrm{,}{\sigma }_v^2\mathrm{,}\rho \right)d\theta d\beta d{\sigma }_v^{2}d\rho$ désirée est finie dans les conditions du théorème.

A.3   Renseignements sur le modèle autorégressif conditionnel (CAR)

Prenons maintenant $k=4$ pour le modèle autorégressif intrinsèque (IAR), où :

$${\Omega }_4=L-\rho W=L^{1/2}\left(I_m-\rho W_{*}\right)L^{1/2}\mathrm{.}$$

Soit ${\Sigma }_4=\delta I_m+{\sigma }_v^2{\Omega }_4^{-1}=L^{-1/2}\left\{\delta L+{\sigma }_v^2{\left(I_m-\rho W_{*}\right)}^{-1}\right\}{L}^{-1/2}.$ Alors :

$$\left|{\Sigma }_4\right|\ge {\left|L\right|}^{-1}{k}_{*}^m{\displaystyle \prod _{i=1}^m}\left\{\delta +{\sigma }_v^2{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-\rho {\nu }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-1}\right\}\mathrm{,}(\text{A}.14)$$

où $k_{*}^m=\min \left\{l_{\left(1\right)}\mathrm{,}1\right\}.$ En procédant de la même façon que dans (A.11), nous obtenons ceci :

$${\left(d-G\varphi \right)}^T{\Sigma }_4^{-1}\left(d-G\varphi \right)\ge {\displaystyle \sum _{k=1}^q}\frac{{\left({\tilde{r}}_{i_k}-{\tilde{s}}_{i_k}^T\varphi \right)}^2}{\delta +{\sigma }_v^2{\left(1-\rho {\nu }_{i_k}\right)}^{-1}}\mathrm{.}(\text{A}.15)$$

Encore une fois, comme nous l’avons fait pour les deux cas précédents, nous pouvons utiliser (A.14) et (A.15) pour établir que l’intégrale désirée est finie dans les conditions énoncées dans le théorème.

A.4   Renseignements sur le modèle autorégressif conditionnel de Leroux (LCAR)

Enfin, nous considérons $k=5,$ où pour le cas LCAR nous avons :

$${\Omega }_5=\rho R+\left(1-\rho \right)I_m\mathrm{.}$$

Supposons que $r_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{r}_m$ sont les valeurs propres de $R$ et que $P_R$ est une matrice orthogonale de sorte que $P_R^{T}R{P}_R=\text{diag}{\left\{r_i\right\}}_{i=1}^m.$ Étant donné que $R$ est une matrice définie non négative, $r_i\ge 0,$ $i=\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}m$ et ${\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^m}{r}_i=\text{tr}R={\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>}1}^m}{l}_i,$ ce qui suppose que $r_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{r}_m$ sont tous compris entre 0 et $l={\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>}1}^m}{l}_i.$ Alors on peut écrire :

$${\Omega }_5=P_R\left\{\text{diag}{\left\{\rho r_i+1-\rho \right\}}_{i\mathrm{<mo>=</mo>}1}^m\right\}{P}_R^T\mathrm{,}$$

et prétendre que pour $0<\rho <1,$ les valeurs propres de ${\Omega }_5$ sont toutes positives et possèdent une borne supérieure égale à ${\displaystyle {\sum }_{i=1}^m}{r}_i+1=l+1.$ Ensuite, étant donné $\tilde{r}=P_R^{T}d$ et $\tilde{S}=P_R^{T}G,$ nous pouvons établir une inégalité similaire à (A.11). Il convient de mentionner que la matrice non singulière ${\tilde{S}}_1$ est une sous-matrice de $\tilde{S}$ et est exempte de $\rho .$ Le caractère limitatif des valeurs propres de ${\Omega }_5$ entraînera une inégalité semblable à (A.14). Enfin, nous obtenons l’intégrale désirée qui est finie dans les conditions du théorème.

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