Modèles spatiaux bayésiens pour l’estimation des moyennes pour petites régions échantillonnées et non échantillonnées
Section 3. Simulation de distributions a posteriori

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Dans la présente section, nous illustrons les étapes d’échantillonnage de rejet pour obtenir des échantillons indépendants a posteriori à partir des distributions a posteriori des modèles proposés. Nous supposons que les composantes du vecteur de la moyenne de petites régions $\theta$ sont disposées de façon que $\theta ={({\theta }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^T\mathrm{,}{\theta }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^T,$ où ${\theta }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\in {ℝ}^{m_1}$ et ${\theta }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\in {ℝ}^{m_2}$ sont les vecteurs de la moyenne de petites régions correspondant aux régions non échantillonnées et échantillonnées, respectivement. Pour des raisons de commodité, nous désignons la matrice de précision du $k^{\text{e}}$ modèle spatial par $\Omega ={\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\sigma }_v^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-1}{\Omega }_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ et l’intervalle admissible de $\rho$ par $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ en supprimant l’indice du modèle $k.$

Nous calculons d’abord la densité a posteriori marginale de $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\sigma }_v^2\mathrm{,}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ et nous fournissons les procédures d’échantillonnage subséquentes. Supposons que $0_{m_2\times m_1}$ est la matrice nulle $m_2\times m_1$ et que $M=\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{0}_{m_2\times m_1}\mathrm{,}{I}_{m_2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>},$ de sorte que ${\theta }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}=M\theta .$ Supposons également que $X_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}=MX.$ Si l’on n’intègre pas $\theta$ dans le modèle (2.11) et (2.12), nous avons $Y_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}|\beta \mathrm{,}{\sigma }_v^2\mathrm{,}\rho ~N_{m_2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{X}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\beta \mathrm{,}\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>},$ où $\Delta =D_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+M{\Omega }^{-1}{M}^T.$ La marginalisation subséquente de $\beta$ donne la densité a posteriori marginale $p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\sigma }_v^2\mathrm{,}\rho |y_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ comme suit :

$$p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\sigma }_v^2\mathrm{,}\rho |y_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\propto \frac{\exp \left[-\frac{1}{2}{y}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^T{\Delta }^{-1}\left\{\Delta -X_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{X}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^T{\Delta }^{-1}{X}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-1}{X}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^T\right\}{\Delta }^{-1}{y}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right]}{{\left|\Delta \right|}^{1/2}{\left|X_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^T{\Delta }^{-1}{X}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right|}^{1/2}}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l<\rho <u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}(3.1)$$

De plus, nous avons des distributions a posteriori conditionnelles de $\beta$ et $\theta$ qui sont :

$$\beta |{\sigma }_v^2\mathrm{,}\rho \mathrm{,}y~N_p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{,}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}(3.2)$$

$$\theta |\beta \mathrm{,}{\sigma }_v^2\mathrm{,}\rho \mathrm{,}y~N_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu \mathrm{,}\Psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}(3.3)$$

où $\Gamma ={\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{X}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^T{\Delta }^{-1}{X}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-1},$ $\gamma =\Gamma X_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^T{\Delta }^{-1}{y}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}},$ $\mu \mathrm{<mo>=</mo>}{y}_{*}-\Psi \Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_{*}-X\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>},$ $y_{*}={\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{0}_{m_1}^T\mathrm{,}{y}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^T,$ et ${\Psi }^{-1}=M^T{D}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-1}M+\Omega .$ Par conséquent, nous pouvons obtenir un échantillon indépendant a posteriori par échantillonnage de rejet à partir de (3.1) et d’échantillonnages subséquents à partir de (3.2) et de (3.3). Pour les données sans région non échantillonnée, nous obtenons des procédures d’échantillonnage souhaitées en établissant que $M=I_m$ et $y_{*}=y.$

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