Modèles spatiaux bayésiens pour l’estimation des moyennes pour petites régions échantillonnées et non échantillonnées
Section 4. Étude par simulations

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Dans la présente section, nous comparons les performances de prédiction du modèle FH à effets aléatoires indépendants et des quatre modèles spatiaux en l’absence de covariables informatives ayant de multiples régions non échantillonnées. À l’exclusion d’Hawaï et de l’Alaska, nous prenons en compte les $m=49$ États contigus des États-Unis, y compris le District de Columbia. Pour évaluer la qualité de la prédiction en l’absence d’estimations directes, nous ne simulons pas d’estimations directes de $m_1=⎣\text{0,15}m⎦\mathrm{<mo>=</mo>}7$ États choisis au hasard. Ces régions sont le Delaware, le Massachusetts, le Michigan, le Nebraska, le Rhode Island, le Dakota du Sud et le Texas. Il en résulte $m_2=42$ régions qui ont des estimations directes.

Pour rendre les contextes de simulation réalistes, nous reproduisons les données de 1989 sur le revenu médian familial de quatre personnes (revenu médian) décrites à la section 5. Nous générons des ensembles de données répétés de façon à ce que les valeurs I de Moran pour chaque moyenne de petite région répétée, ${\theta }_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\theta }_m,$ soient approximativement centrées autour de 0,44, soit la valeur I de Moran pour le revenu médian du recensement de 1990. Les estimations directes sont générées à l’aide des variances d’échantillonnage $D_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{D}_{m_2}$ des estimations de la Current Population Survey (CPS) de 1990. Ces variances d’échantillonnage de petites régions échantillonnées vont de 1,95 à 25,03 et la moyenne est de 9,08, lorsque les montants en dollars sont mis à l’échelle de 1 000 $. Pour chaque paramètre, nous considérons $S=100$ ensembles de données répétés.

Génération de données : Supposons que $\overline{D}=m_2^{-1}{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>}1}^{m_2}}{D}_i$ et que $D_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}=\text{diag}{\mathrm{<mo>\{</mo>}{D}_i\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{i\mathrm{<mo>=</mo>}1}^{m_2}.$ Nous établissons que $\rho =$ 0,85 et ${\sigma }_v^2=\overline{D}/2$ et nous considérons deux covariables indépendantes $x_1$ et $x_2$ avec une dépendance spatiale SAR, c’est-à-dire $x_1\mathrm{,}{x}_2~N_m\left(0_m\mathrm{,}{\left\{{\Omega }_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right\}}^{-1}\right).$ Ensuite, nous supposons que ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\beta }_1\mathrm{,}{\beta }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^T={\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2,}\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^T$ et $\mu ={\beta }_1{x}_1+{\beta }_2{x}_2,$ nous générons des moyennes de petites régions et des estimations directes à partir du modèle FH à effets aléatoires indépendants suivant :

$$\theta ~N_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu \mathrm{,}{\sigma }_v^2{I}_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{Y}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}|{\theta }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}~N_{m_2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\theta }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}{D}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>},$$

où les composantes de $Y_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ et ${\theta }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ correspondent aux $m_2$ petites régions échantillonnées, tel que nous l’avons défini dans l’équation (2.13) ci-dessous. La covariable $x_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ introduit un schéma spatial plus fort (plus faible) par rapport aux ${\theta }_i,$ et par conséquent, nous appelons $x_1$ $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ la covariable forte (faible). Les valeurs I de Moran pour 100 petites régions répétées vont de 0,115 à 0,713, et la moyenne est de 0,449.

Nous considérons deux cadres de covariables différents pour examiner la façon dont les modèles spatiaux peuvent saisir la variabilité supplémentaire introduite par la dépendance spatiale à partir d’une covariable manquante, c’est-à-dire $X=\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{1}_m\mathrm{,}{x}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ et $X=\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{1}_m\mathrm{,}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>},$ où $1_m$ représente le vecteur à $m$ composantes des valeurs 1. L’exclusion des covariables du modèle ajusté laissera la variation spatiale de cette covariable au niveau résiduel. Nous ne considérons pas que le modèle complet comprend les deux covariables, puisque ce modèle permettra de cerner pleinement $\mu$ et ne laissera aucune variabilité spatiale inexpliquée; par conséquent, le modèle FH à effets aléatoires indépendants sera suffisant pour bien saisir la variabilité des effets aléatoires i.i.d.

Simulations a posteriori : Pour tous les modèles proposés, des échantillons indépendants a posteriori peuvent être obtenus au moyen du plan d’échantillonnage de rejet décrit à la section 3. La procédure d’échantillonnage commence par l’échantillonnage de rejet de la distribution marginale a posteriori de $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\sigma }_v^2\mathrm{,}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ et se poursuit par des échantillonnages successifs du reste des paramètres issus des distributions conditionnelles a posteriori. Cependant, lorsque la densité marginale a posteriori de $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\sigma }_v^2\mathrm{,}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ est concentrée au niveau ou autour des limites de $\rho ,$ une loi instrumentale doit être soigneusement définie pour avoir un taux d’acceptation suffisamment élevé, ce qui peut nécessiter une spécification adaptative d’une loi instrumentale pour chaque ensemble de données répété. Pour éviter de telles difficultés, nous utilisons l’algorithme Monte Carlo hamiltonien avec le progiciel rstan en R (Stan Development Team, 2018). Nous adaptons le modèle HB (2.11) à (2.13) à chaque combinaison de covariables pour $k=\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}5.$ Pour chaque modèle, nous utilisons quatre chaînes Monte Carlo hamiltoniennes parallèles (échantillonneur sans demi-tour) pour 2 500 itérations après 5 000 itérations de rodage. Nous conservons chaque dixième itération et concaténons les quatre chaînes pour obtenir un échantillon a posteriori d’une taille de 10 000. Les codes R qui mettent en œuvre l’étape d’échantillonnage de rejet décrite à la section 3 et les modèles stan sont disponibles à l’adresse https://github.com/heech31/spatial_sae.

Mesures de la performance : Au moyen de l’échantillon a posteriori pour chaque modèle, nous prédisons le vrai vecteur de moyenne sur petites régions, ${\theta }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}={\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\theta }_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\theta }_m^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^T,$ du $s^{\text{e}}$ ensemble de données répété en utilisant la moyenne a posteriori, que nous désignons par ${\widehat{\theta }}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}={\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\widehat{\theta }}_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}},\dots \mathrm{,}{\widehat{\theta }}_m^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^T.$ Supposons que $A$ est un sous-ensemble de $\mathrm{<mo>\{</mo>1,}\dots \mathrm{,}m\mathrm{<mo>\}</mo>},$ qui est déterminé uniquement par les indices de petites régions échantillonnées ou non échantillonnées. Pour un sous-ensemble donné $A,$ nous calculons l’erreur quadratique moyenne de prédiction, ${\text{EQMP}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}={\displaystyle {\sum }_{i\in A}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\widehat{\theta }}_i^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-{\theta }_i^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2/m_A,$ où $m_A=\left|A\right|$ est le nombre de régions dans $A.$ Nous calculons ensuite ${\text{l’EQMP}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ sur $S$ répétitions pour calculer la moyenne empirique de l’erreur quadratique moyenne de prédiction (meEQMP), où :

$$\text{meEQMP}=\frac{1}{S}{\displaystyle \sum _{s\mathrm{<mo>=</mo>1}}^S}{\text{EQMP}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}=\frac{1}{S}{\displaystyle \sum _{s\mathrm{<mo>=</mo>}1}^S}\frac{1}{m_A}{\displaystyle \sum _{i\in A}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\widehat{\theta }}_i^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-{\theta }_i^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\mathrm{.}(4.1)$$

Nous évaluons également l’incertitude des prévisions à l’aide de l’écart-type moyen a posteriori (ETMP) défini comme $S^{-1}{\displaystyle {\sum }_{s\mathrm{<mo>=</mo>1}}^S}{m}_A^{-1}{\displaystyle {\sum }_{i\in A}}\text{é}\text{.-t}\text{.}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\theta }_i^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>},$ où $\text{é}\text{.-t}\text{.}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\theta }_i^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ est l’écart-type a posteriori de ${\theta }_i.$ En établissant le modèle FH à effets aléatoires indépendants comme modèle de référence, nous considérons les ratios suivants :

$$\text{meEQMP}-{\text{Ratio}}_k=\frac{{\text{meEQMP}}_k}{{\text{meEQMP}}_1}\mathrm{,}\text{ETMP}-{\text{Ratio}}_k=\frac{{\text{ETMP}}_k}{{\text{ETMP}}_1}\mathrm{,}(4.2)$$

où l’indice $k$ indique que la quantité est calculée à partir de l’échantillon a posteriori selon le $k^{\text{e}}$ modèle. Ces ratios mesurent les améliorations de la meEQMP et de l’ETMP obtenues en adaptant un modèle spatial au modèle FH à effets aléatoires indépendants. Un rapport inférieur à 1 indique la supériorité du modèle spatial, sinon le modèle FH à effets aléatoires indépendants est meilleur. Plus le rapport est petit, plus le modèle spatial est supérieur.

Comparaison de modèles : Divers graphiques à la figure 4.1 résument les ratios lorsque la covariable forte $x_1$ est exclue des modèles ajustés. Nous classons en trois groupes les ratios meEQMP et ETMP selon chaque répétition, en fonction des valeurs I de Moran des ${\theta }_i,$ c’est-à-dire les tiers inférieur, intermédiaire et supérieur, respectivement. La première ligne résume les résultats des prévisions pour les sept régions non échantillonnées. Comme prévu, les modèles spatiaux montrent une amélioration remarquable de la meEQMP et de l’ETMP; les améliorations sont plus importantes lorsque les valeurs I de Moran sont plus élevées. En ce qui concerne la meEQMP, les modèles SAR et LCAR produisent au moins 20 %, 30 % et 50 % de prédictions plus précises lorsque les valeurs I de Moran se trouvent dans le premier, le deuxième et le troisième groupe, respectivement. Pour ce qui est de l’incertitude de prédiction, les prédictions des modèles SAR et LCAR ont un ETMP 10 % inférieur pour le premier et le deuxième groupe. Dans le troisième groupe, le modèle SAR montre une réduction de l’ETMP de plus de 25 %.

Pour les régions échantillonnées ayant des estimations directes, les améliorations de la meEQMP sont inférieures à 10 % pour le premier groupe, mais supérieures à 15 % et à 25 % pour les deuxième et troisième groupes (regroupés selon les valeurs I de Moran), respectivement. De plus, les prévisions des modèles spatiaux ont un niveau d’incertitude plus faible, et pour le troisième groupe, les prévisions des modèles SAR ont un ETMP inférieur de plus de 10 %.

De même, divers graphiques de la figure 4.2 résument les ratios lorsque la covariable faible $x_2$ est exclue des modèles ajustés. En général, les modèles spatiaux continuent de générer de meilleures prédictions par rapport au modèle FH à effets aléatoires indépendants. Le modèle LCAR donne la meilleure performance globale pour les sept régions non échantillonnées, ce qui se traduit par une réduction de plus de 10 % de la meEQMP pour le premier et le deuxième groupe, respectivement, et d’environ 25 % pour le troisième groupe. Pour ce qui est de l’incertitude, les modèles spatiaux montrent un ETMP inférieur de plus de 5 %, mais de moins de 10 %. Pour les petites régions échantillonnées, les modèles SAR et LCAR montrent une réduction de la meEQMP d’environ 5 % à 13 %, mais les réductions de l’ETMP sont inférieures à 5 %. Contrairement aux résultats précédents comportant une covariable faible, les améliorations apportées à la meEQMP et à l’ETMP sont comparables dans trois groupes qui sont classés selon les valeurs I de Moran. Ceci est dû au fait que les valeurs I de Moran pour les moyennes de petites régions sont principalement déterminées par la covariable forte, et une fois que celle-ci est présente dans le modèle pour expliquer la variabilité spatiale, la variabilité spatiale des résidus ne varie pas de façon marquée entre les trois groupes. Nous regroupons les ratios en fonction des valeurs I de Moran pour les résidus obtenus par régression de la covariable forte sur les moyennes de petites régions, et nous résumons les ratios à la figure 4.3. Dans le cadre de cette catégorisation, le modèle LCAR présente la meilleure performance, montrant des réductions de 5 %, 10 % et 15 % de la meEQMP pour le premier, le deuxième et le troisième groupe, respectivement. On peut aussi voir que plus la valeur I de Moran est grande, plus les modèles spatiaux permettent des améliorations.

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