Modèles spatiaux bayésiens pour l’estimation des moyennes pour petites régions échantillonnées et non échantillonnées
Section 5. Application aux données de la Current Population Survey

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Dans la présente section, nous évaluons l’exactitude des prédictions des modèles spatiaux pour certains revenus médians de la population au niveau de l’État. Le Department of Health and Human Service (le département de la Santé et des Services sociaux des États-Unis) avait besoin chaque année de données exactes sur les revenus médians pour que les États mettent en œuvre un programme d’aide sociale. Bien que des données exactes sur le revenu médian national soient disponibles à partir de la Current Population Survey (CPS), celles-ci ne fournissent pas de renseignements exacts sur le revenu médian au niveau de l’État. Pour fournir des statistiques exactes au Department of Health and Human Service, le U.S. Census Bureau a envisagé des méthodes d’estimation sur petites régions fondées sur des modèles, au moyen des données auxiliaires provenant d’autres programmes fédéraux. Nous appliquons les modèles spatiaux proposés pour estimer le revenu médian familial de quatre personnes en 1989 pour les 49 États américains contigus, y compris le District de Columbia. Nous utilisons les estimations directes de la CPS de 1990 et comparons nos prédictions avec les statistiques plus fiables issues du questionnaire complet du recensement de 1990, c’est-à-dire que nous considérons les statistiques du questionnaire complet du recensement de 1990 comme constituant des valeurs réelles. Les performances de prédiction sont mesurées à l’aide de toutes les petites régions et d’un sous-ensemble de régions après avoir exclu de multiples estimations directes.

5.1   Estimation du revenu médian familial de quatre personnes

Supposons que ${\theta }_i$ est le véritable revenu médian familial de quatre personnes du $i^{\text{e}}$ État pour l’année 1989, où $i=\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}49.$ Les États de l’Alaska et d’Hawaï sont exclus parce qu’ils ne sont pas géographiquement rattachés au continent. Supposons que $Y_i$ est l’estimation directe de ${\theta }_i$ selon la CPS de 1990. Les covariables d’intérêt sont le revenu médian du recensement de 1980 $x_{i1}$ et le revenu médian rajusté du recensement de 1980 $x_{i2}.$ Le revenu médian rajusté du recensement $x_{i2}$ est défini comme $\left({\text{PCI}}_{i\mathrm{,}1989}/{\text{PCI}}_{i\mathrm{,}1979}\right)x_{i1},$ $i=\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}m,$ où ${\text{PCI}}_{i\mathrm{,}1979}$ et ${\text{PCI}}_{i\mathrm{,}1989}$ sont les revenus par habitant de 1979 et 1989 du $i^{\text{e}}$ État fournis par le Bureau of Economic Analysis du département du Commerce des États-Unis. On sait que le revenu médian rajusté du recensement est une bonne covariable qui tient très efficacement compte de la variabilité du revenu médian des petites régions.

Dans la distribution a priori non informative (2.14) où $\alpha =0,$ nous intégrons les cinq modèles décrits en (2.8) à (2.10) avec $X=\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{1}_m\mathrm{,}{x}_1\mathrm{,}{x}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ et $X=\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{1}_m\mathrm{,}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>},$ où pour le deuxième paramètre de covariable, nous excluons du modèle ajusté le revenu médian rajusté du recensement. Pour chaque modèle considéré, nous exécutons 4 chaînes Monte Carlo hamiltoniennes parallèles pour 2 500 itérations après 5 000 itérations de rodage à l’aide du progiciel rstan (Stan Development Team, 2018). Nous conservons chaque ${10}^{\text{e}}$ itération et concaténons les quatre chaînes pour obtenir un échantillon a posteriori de 10 000. Pour l’ensemble des modèles et des paramètres, les facteurs potentiels de réduction d’échelle $(\widehat{R};$ Gelman et Rubin, 1992) sont tous des facteurs qui indiquent qu’il n’y a pas de manque de convergence. Les facteurs potentiels de réduction d’échelle sont présentés à la figure 5.1 et au tableau 5.1.

À l’aide des moyennes a posteriori, ${\widehat{\theta }}_i,$ nous calculons les erreurs quadratiques de prédiction à partir des moyennes respectives ${\theta }_i$ et obtenons l’erreur quadratique moyenne de prédiction (EQMP), définie à la section 4, en faisant la moyenne des $m=49$ écarts quadratiques. Les écarts-types moyens a posteriori (ETMP) associés aux ${\widehat{\theta }}_i$ sont utilisés pour quantifier l’incertitude des prévisions, et le critère d’information largement applicable (WAIC pour widely applicable information criterion; Watanabe et Opper, 2010) est utilisé pour évaluer et comparer les modèles, où une valeur WAIC plus petite indique un meilleur ajustement du modèle.

Le tableau 5.2 résume les diverses mesures d’évaluation que nous avons prises en compte et les améliorations en pourcentage (AP) respectives de l’EQMP et de l’ETMP. Lorsque les deux covariables sont disponibles, le modèle LCAR a une EQMP d’environ 14 % inférieure et un ETMP de 4 % inférieure par rapport au modèle FH à effets aléatoires indépendants. En ce qui concerne l’EQMP, le deuxième modèle le plus performant est le SAR qui présente une EQMP inférieure d’environ 9,5 %. Lorsque seule $x_1$ (covariable de la semaine) est incluse dans le modèle ajusté, le modèle SAR a une erreur quadratique moyenne a posteriori d’environ 40 % inférieure et un écart-type moyen a posteriori de 14 % inférieur par rapport au modèle FH à effets aléatoires indépendants. Les modèles CAR et LCAR montrent des performances concurrentielles avec une EQMP d’environ 36 % inférieure et un ETMP de 13 % inférieur par rapport au modèle FH à effets aléatoires indépendants. En supprimant la covariable forte $x_2$ du modèle complet, l’EQMP des modèles SAR et LCAR augmente respectivement d’environ 66 % et 84 %, respectivement, tandis que l’EQMP du modèle FH à effets aléatoires indépendants augmente de plus de 150 %.

Pour ce qui est de la qualité de l’ajustement, le modèle FH à effets aléatoires indépendants montre le meilleur ajustement (la plus petite valeur WAIC) lorsque les deux covariables sont comprises. À l’inverse, lorsque seule $x_1$ (covariable de la semaine) est comprise dans le modèle ajusté, le modèle FH à effets aléatoires indépendants montre le meilleur ajustement ayant la plus grande valeur WAIC. Toutefois, compte tenu des erreurs-types indiquées entre parenthèses, il n’y a pas de différence significative dans l’ajustement du modèle.

Le tableau 5.3 résume les distributions a posteriori de $\rho$ en ce qui concerne la moyenne a posteriori, le mode et l’écart-type. Lorsque toutes les covariables sont comprises dans le modèle ajusté, les distributions a posteriori de $\rho$ n’indiquent pas une forte dépendance spatiale, les moyennes a posteriori étant centrées autour de zéro avec de grands écarts-types. En revanche, lorsque seule $x_1$ (covariable de la semaine) est comprise dans le modèle ajusté, la valeur $\rho$ devient très significative, illustrant les distributions a posteriori concentrées près de la limite supérieure de sa corroboration.

En résumé, lorsque la faible covariable n’explique pas adéquatement la variation spatiale existante, les modèles spatiaux produisent de bien meilleures prédictions dans lesquelles la variation spatiale est prise en compte. Lorsqu’il ne reste aucune variation spatiale importante dans le résidu, les prédictions sont légèrement meilleures que celles du modèle FH à effets aléatoires indépendants, sans qu’il soit nécessaire de sacrifier l’ajustement du modèle.

5.2   Estimation de certaines moyennes d’États non échantillonnés en excluant leurs valeurs de la Current Population Survey

Dans la présente section, nous évaluons l’exactitude des prévisions des modèles spatiaux pour les petites régions non échantillonnées en utilisant le revenu médian du recensement de 1980 $x_1.$ Plus précisément, nous excluons aléatoirement les estimations de la CPS (estimations directes) de plusieurs États à chaque cas et faisons des prédictions pour les ${\theta }_i$ des États exclus. Comme il y a 49 petites régions (États), nous avons créé 12 ensembles de données qui n’ont pas d’estimations directes pour $m_1=4$ ou 5 régions, où $m_1$ est le nombre de petites régions non échantillonnées, comme à la section 2.2. Les États exclus pour chaque ensemble de données sont énumérés au tableau 5.4.

Pour chaque ensemble de données, nous intégrons le modèle FH à effets aléatoires indépendants et les quatre modèles spatiaux indiqués en (2.11) à (2.13) à la distribution a priori non informative (2.13), $\alpha =0$ exécutant des chaînes Monte Carlo hamiltoniennes dans le même contexte qu’à la section 5.1. Les valeurs $\widehat{R}$  ne montrent aucune preuve d’absence de convergence, alors que des valeurs détaillées sont fournies à la figure 5.2 et au tableau 5.5. Pour chaque région non échantillonnée, l’erreur quadratique de prédiction ${\text{EQP}}_i={\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\widehat{\theta }}_i-{\theta }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2$ et l’écart-type a posteriori $\text{é}\text{.-t}\text{.}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\theta }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ sont obtenus pour chaque modèle. Si nous nous appuyons sur ce qui précède, nous constatons que la performance de prédiction est comparée au ratio suivant : pour $i=\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}m$ et $k=\mathrm{2,}\dots \mathrm{,}5,$

$$\text{EQP}-{\text{Ratio}}_{ki}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\text{EQP}}_{ki}}{{\text{EQP}}_{1i}}\mathrm{,}\text{ETP}-{\text{Ratio}}_{ki}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\text{é}\text{.-t}{\text{.}}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\theta }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\text{é}\text{.-t}{\text{.}}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\theta }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}(5.1)$$

où $\text{é}\text{.-t}{\text{.}}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\theta }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ est l’écart-type a posteriori (ETP) de ${\theta }_i$ selon le $k^{\text{e}}$ modèle. Une valeur de $\text{SEQP}-{\text{Ratio}}_{ki}(\text{ETP}-{\text{Ratio}}_{ki})$ inférieure à 1 indique que le $k^{\text{e}}$  modèle spatial présente une erreur quadratique de prédiction plus petite (écart-type a posteriori) que le modèle FH à effets aléatoires indépendants. Dans les figures 5.3 et 5.4, nous affichons les ratios en utilisant un schéma de couleurs rouge et bleu pour indiquer les ratios supérieurs et inférieurs à 1, respectivement, où une couleur plus foncée représente une valeur plus élevée.

Dans l’ensemble, les modèles SAR, SCAR, CAR et LCAR présentent des erreur quadratique de prédiction (EQP) plus petites dans 35, 41, 36 et 36 États, respectivement. Le modèle SCAR présente le plus grand nombre d’États dans lesquels les prédictions donnent de meilleurs résultats que celles du modèle FH à effets aléatoires indépendants, mais les améliorations globales sont les moins importantes. Dans plus de 35 États, les modèles SAR, CAR et LCAR produisent des prédictions plus précises que le modèle FH à effets aléatoires indépendants, et dans trois États (Nouveau-Mexique, Oregon et Wisconsin), les EQP sont plus de 100 fois plus petites. Pour la Californie, le Minnesota et la Caroline du Sud, tous les modèles spatiaux livrent des prédictions pires que le modèle FH à effets aléatoires indépendants. La Californie et le Minnesota ont des revenus médians beaucoup plus élevés que les États voisins, tandis que la Caroline du Sud a un revenu médian beaucoup plus bas. Parmi les 49 États, ces trois États ont la deuxième, la septième et la dix-neuvième valeur I de Moran locale la plus petite. Cela montre que si la moyenne de petites régions non échantillonnées est très différente de la moyenne de régions environnantes, les modèles spatiaux peuvent produire des prédictions inférieures. Le modèle qui démontre la meilleure correspondance en ce qui concerne le WAIC est le modèle SCAR, CAR ou LCAR; les chiffres exacts sont fournis au tableau 5.4.

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