Modèles spatiaux bayésiens pour l’estimation des moyennes pour petites régions échantillonnées et non échantillonnées
Section 1. Introduction

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Les enquêtes par sondage fournissent des données utiles pour estimer les diverses caractéristiques d’une population d’intérêt. Les enquêtes sont généralement conçues de sorte que les estimateurs fondés sur le plan de sondage présentent une exactitude adéquate. Toutefois, lorsqu’il s’agit d’estimer une caractéristique d’une sous-population, une estimation directe fondée sur le plan de sondage et uniquement sur les données de cette sous-population est habituellement inexacte, car l’échantillon accessible est petit, voire inexistant. On appelle « petites régions » les sous-populations dont la taille d’échantillon n’est pas suffisante pour produire des estimations directes fiables. De plus, des ressources limitées empêchent souvent la sélection de nombreuses sous-populations dans l’échantillon, ce qui crée de petites régions non échantillonnées. Par exemple, l’American Community Survey (ACS) vise à produire des statistiques fiables pour les comtés des États-Unis. Cependant, l’ACS échantillonne habituellement environ le tiers des comtés, ce qui donne de nombreuses petites régions non échantillonnées.

Afin d’accroître l’exactitude des estimations directes pour petites régions, une approche fondée sur un modèle a été largement utilisée pour faciliter l’emprunt d’information à partir des estimations directes d’autres domaines et d’autres données auxiliaires. Dans de nombreuses applications, des renseignements supplémentaires provenant d’autres enquêtes et de données administratives fournissent des covariables utiles. Une estimation d’une région, fondée sur un modèle, est produite en réduisant de façon appropriée son estimation directe (si elle est disponible) à une estimation par régression synthétique fondée sur des variables auxiliaires. L’amélioration de la prévision dépend grandement de la mesure dans laquelle les moyennes de sous-population pour la caractéristique sont liées aux variables auxiliaires. Si une petite région n’a pas d’estimation directe, le modèle traditionnel indépendant à effets aléatoires de Fay et Herriot (1979) permet d’estimer la moyenne par une estimation par régression synthétique seulement.

Fay et Herriot (1979) ont proposé un modèle utile permettant d’élaborer des estimations de moyennes pour petites régions, fondé sur des estimations directes d’enquête (si disponibles) et des estimations par régression synthétique calculées à partir de variables auxiliaires. Ce modèle, qui est essentiellement un modèle linéaire mixte, est communément appelé le modèle Fay-Herriot (FH) dans l’estimation pour petites régions. Pour $i=\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}m,$ supposons que $Y_i$ est l’estimation directe de la caractéristique sur petites régions ${\theta }_i$ obtenue à partir d’une enquête. Supposons aussi que $x_i$ et $\beta$ sont les vecteurs à $p$ composantes des covariables et les coefficients de régression correspondants, respectivement. En indiquant l’erreur d’échantillonnage de $Y_i$ comme étant $e_i,$ le modèle FH à effets aléatoires indépendants peut être formulé comme suit :

$$Y_i={\theta }_i+e_i\mathrm{,}{\theta }_i=x_i^T\beta +v_i\mathrm{,}i=\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}m\mathrm{,}(1.1)$$

où les $e_i$ et les effets aléatoires $v_i$ $i=\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}m,$ sont tous répartis indépendamment avec $e_i~N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}{D}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>},$ et $v_i\stackrel{\text{i}\text{.i}\text{.d}\text{.}}{{\displaystyle ~}}N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}{\sigma }_v^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Les variances d’échantillonnage $D_i,$ $i=\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}m$ sont considérées comme connues, tandis que le paramètre de régression $\beta$ et la variance d’erreur du modèle ${\sigma }_v^2,$ appelés paramètres de modèle, sont des quantités inconnues. Pour les régions non échantillonnées comportant des variables auxiliaires, seule la deuxième partie de (1.1) est vérifiée pour ${\theta }_i.$

De nombreuses études ont été menées sur le modèle FH à effets aléatoires indépendants et ses nombreuses variantes. Alors que Fay et Herriot (1979) ont utilisé l’approche empirique de Bayes (EB), par la suite, Prasad et Rao (1990), Datta et Lahiri (2000) et Datta, Rao et Smith (2005) ont utilisé l’approche fréquentiste et ont dérivé l’erreur quadratique moyenne (EQM) de deuxième ordre du meilleur prédicteur linéaire sans biais empirique (MPLSBE) de ${\theta }_i$ et divers estimateurs approximatifs sans biais de deuxième ordre de l’EQM (voir Datta et Lahiri, 2000). Cependant, Ghosh (1992) a proposé une approche hiérarchique bayésienne (HB) pour le modèle Fay-Herriot (voir aussi Datta et coll. [2005]). Dans le cadre bayésien, le modèle FH dans (1.1) peut être exprimé comme le modèle HB suivant :

$$Y_i|{\theta }_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\theta }_m\mathrm{,}\beta \mathrm{,}{\sigma }_v^2\stackrel{\text{ind}}{{\displaystyle ~}}N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\theta }_i\mathrm{,}{D}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}i=\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}m\mathrm{,}(1.2)$$

$${\theta }_i|\beta \mathrm{,}{\sigma }_v^2\stackrel{\text{ind}}{{\displaystyle ~}}N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i^T\beta \mathrm{,}{\sigma }_v^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}i=\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}m\mathrm{,}(1.3)$$

$$\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\beta \mathrm{,}{\sigma }_v^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\propto g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\beta \mathrm{,}{\sigma }_v^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}(1.4)$$

où $g(\cdot )$  est une fonction correctement choisie de $\beta$ et ${\sigma }_v^2,$ qui exprime une fonction de densité de probabilité (fdp) a priori pour ces paramètres. Fay et Herriot (1979) ont élaboré à l’origine un prédicteur EB pour ${\theta }_i,$ qui ne nécessite pas de fdp a priori, comme dans (1.4). Bien qu’une approche EB standard sous-estime habituellement la mesure de l’incertitude de l’estimateur EB de ${\theta }_i,$ l’approche HB facilite la quantification de l’incertitude en raison de l’estimation des paramètres de modèle inconnus, $\beta$ et ${\sigma }_v^2.$ L’incertitude est entièrement représentée par la distribution a posteriori des paramètres du modèle.

Dans les estimations fondées sur un modèle, les effets aléatoires sont d’une grande importance pour bien  rendre compte de la variabilité restante des ${\theta }_i$ qui n’est pas expliquée par le modèle de régression. Dans des applications réelles, les petites régions comportent généralement des caractéristiques comme la taille de la population, l’origine ethnique, le groupe d’âge et le niveau de scolarité, lesquelles peuvent avoir une incidence sur la variabilité des effets sur les petites régions. De plus, lorsque les taux de prévalence de la maladie sont intéressants, il est raisonnable de supposer que les effets aléatoires de petites régions adjacentes sont corrélés d’une certaine façon. Dans de tels cas, le modèle FH présenté en (1.1), que nous appelons le modèle FH à effets aléatoires indépendants, est une simplification excessive et une erreur de spécification de la distribution des effets aléatoires en supposant une distribution commune et indépendante. Opsomer, Claeskens, Ranalli, Kauermann et Breidt (2008) et Rao, Sinha et Dumitrescu (2014) ont proposé des modèles non paramétriques d’estimation pour petites régions, qui permettent de cerner l’effet de proximité spatiale à l’aide de la fonction p-spline (spline pénalisée). Toutefois, ces approches exigent des coûts informatiques supplémentaires pour l’inférence du modèle et la quantification de l’incertitude.

Dans le cadre de la présente étude, nous proposons des modèles FH spatiaux qui tiennent effectivement compte de l’hétéroscédasticité et de la dépendance spatiale des effets sur de petites régions. Nous adoptons une approche entièrement bayésienne en spécifiant une classe de distributions a priori non informatives sur les paramètres du modèle et incompatibles avec ceux-ci, et nous modélisons la dépendance spatiale des effets aléatoires sur petites régions par quatre structures d’autocorrélation largement utilisées. Il s’agit notamment de modèles autorégressifs simultanés et de trois types de modèles autorégressifs conditionnels. Il existe une abondante littérature sur les modèles spatiaux dans le cadre bayésien. Sun, Tsutakawa et Speckman (1999) ont étudié un modèle HB avec les modèles autorégressifs conditionnels et intrinsèques sur les effets aléatoires. Speckman et Sun (2003) ont examiné les mêmes modèles dans le contexte du lissage bayésien de la spline. Pour l’estimation sur petites régions, You et Zhou (2011) ont modélisé les effets sur petites régions à l’aide d’un modèle autorégressif conditionnel. Dans le prolongement du modèle de séries chronologiques FH (Datta, Lahiri, Maiti et Lu, 1999), Torabi (2012) a proposé un modèle spatio-temporel ayant des effets aléatoires autorégressifs intrinsèques. Porter, Holan, Wikle et Cressie (2014) ont proposé une extension du modèle FH ayant des covariables fonctionnelles et des effets aléatoires autorégressifs intrinsèques. Porter, Wikle et Holan (2015) ont intégré les effets aléatoires conditionnels autorégressifs au modèle FH multivarié.

Les modèles bayésiens actuels d’estimation spatiale sur petites régions considèrent une distribution a priori adéquate sur ${\sigma }_v^2,$ même si la spécification d’une telle distribution a priori nécessitera des connaissances spécialisées. De plus, tous les modèles actuels supposent une structure autorégressive conditionnelle sur les effets aléatoires. Les principales contributions du présent article sont les suivantes. Premièrement, à notre connaissance, les modèles proposés à la section 2 (section 2.1) comprennent la plupart des structures spatiales couramment utilisées. Deuxièmement, à la section 2.2, nous élargissons davantage les modèles spatiaux pour estimer les moyennes de plusieurs petites régions non échantillonnées sans estimations directes. La moyenne ${\theta }_i$ de la zone non échantillonnée est estimée par l’emprunt d’information des variables auxiliaires de la région et, pour les modèles spatiaux, des résidus de régression des régions avoisinantes. Troisièmement, pour tous les modèles proposés, nous fournissons, à la section 2.3, des conditions suffisantes pour la propriété a posteriori pour une classe de distributions a priori non informatives sur les paramètres du modèle et incompatibles avec ceux-ci. Il est intéressant de mentionner que les conditions suffisantes ne dépendent pas du modèle spatial présumé, à condition que le modèle produise une matrice de covariance définie positive pour les effets aléatoires. Nous fournissons des étapes d’échantillonnage de rejet pour la simulation à partir de la distribution a posteriori des modèles proposés à la section 3. L’efficacité des modèles spatiaux proposés est démontrée aux sections 4 et 5. Nous appliquons les modèles spatiaux à des ensembles de données simulées et à des données d’enquête réelles issues de la Current Population Survey (CPS). Nous comparons divers modèles spatiaux à la section 5 pour estimer le revenu médian des familles de quatre personnes pour les 49 États contigus des États-Unis, d’après les données de la CPS, les covariables appropriées du recensement précédent et des données administratives. Nos analyses de données et nos études de simulation révèlent que les modèles spatiaux proposés améliorent considérablement l’exactitude des prévisions et réduisent la mesure de l’incertitude, l’écart-type a posteriori. Nous formulons des observations finales à la section 6. Toutes les précisions techniques sont fournies à l’annexe.

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