Modèles spatiaux bayésiens pour l’estimation des moyennes pour petites régions échantillonnées et non échantillonnées
Section 2. Certaines options spatiales en remplacement du modèle Fay-Herriot à effets aléatoires indépendants

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2.1   Intégration des effets spatiaux aléatoires

Soit $Y={\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Y}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{Y}_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^T$ le vecteur à $m$ composantes avec les estimations directes de $m$ petites régions, et soit $D=\text{diag}{\mathrm{<mo>\{</mo>}{D}_i\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{i=1}^m$ la matrice diagonale $m\times m$ avec les variances d’échantillonnage des estimations directes. Nous désignons par $\theta ={\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\theta }_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\theta }_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^T$ le vecteur à $m$ composantes des moyennes de petites régions. De plus, supposons que $x_i\in {ℝ}^p$ est le vecteur à $p$ composantes des variables auxiliaires (y compris le terme d’ordonnée à l’origine) pour la $i^{\text{e}}$ petite région, et que $X={\left[x_1\mathrm{,}\dots ,x_m\right]}^T.$  Un cas particulier du modèle HB donné en (1.2) à (1.4) peut s’exprimer comme suit :

$$Y|\theta \mathrm{,}\beta \mathrm{,}{\sigma }_v^2~N_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{,}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}(2.1)$$

$$\theta |\beta \mathrm{,}{\sigma }_v^2~N_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\beta \mathrm{,}{\sigma }_v^2{I}_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}(2.2)$$

$$\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\beta \mathrm{,}{\sigma }_v^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\propto \mathrm{1,}(2.3)$$

où $\beta$ est le vecteur du coefficient de régression à $p$ composantes, ${\sigma }_v^2$ est la variance de l’erreur du modèle et $I_m$ est la matrice d’identité d’ordre $m.$ La distribution a priori uniforme (2.3) sur les paramètres du modèle est un précédent non informatif largement utilisé, et la fdp a posteriori qui en résulte est adéquate, à condition que $m>p+2.$ Voir Berger (1985) et Datta et Smith (2003) pour obtenir une analyse détaillée.

Le modèle (2.2) suppose que ${\theta }_i,$ $i=\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}m,$ sont répartis indépendamment sur les petites régions avec une variance des effets aléatoires communs de ${\sigma }_v^2.$ Toutefois, dans de nombreux problèmes d’estimation sur petites régions, la caractéristique de la région d’intérêt est étroitement liée à des facteurs géographiques comme la taille de la population, l’ethnicité, le groupe d’âge et le niveau de scolarité. Lorsque les covariables disponibles n’expliquent pas entièrement cette association spatiale, les hypothèses d’indépendance et de variance égale des effets aléatoires échouent, et l’inférence fondée sur le modèle hiérarchique indiqué en (2.1) à (2.3) peut générer des estimations non fiables, ce qui entraîne des décisions erronées. La figure 2.1 illustre les associations spatiales du revenu médian des familles de quatre personnes issues du recensement de 1990 (à l’échelle de 1 000 $) pour $m=49$ États des États-Unis, y compris le District de Columbia. Les données simulées ayant la même valeur I de Moran sont également affichées à des fins de comparaison, où la valeur I de Moran est une mesure d’autocorrélation spatiale. Les données simulées sont générées selon le modèle autorégressif simultané (SAR pour simultaneous autoregressive en anglais) (défini ci-dessous), $\rho =$ 0,8 correspondant à l’emplacement et à l’échelle des données du recensement. Les deux volets montrent l’existence d’une dépendance spatiale dans le revenu médian des familles de quatre personnes du recensement de 1990. En pratique, les covariables capables de rendre compte pleinement de la variation spatiale existante ne sont pas toujours disponibles, et le problème peut être exacerbé s’il existe des variables cachées, car elles introduisent une variabilité supplémentaire qui ne peut être expliquée par les effets aléatoires indépendants et identiquement distribués (i.i.d.).

Pour régler ce problème, nous proposons d’utiliser des effets aléatoires spatialement corrélés. Supposons que $W={\mathrm{<mo>\{</mo>}{w}_{ij}\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{ij},$ $1\le i\mathrm{,}j\le m,$ soit la matrice de contiguïté qui joue un rôle important dans la prise en compte de la dépendance spatiale. En particulier, $w_{ij}=1$ si les petites régions $i^{\text{e}}$ et $j^{\text{e}}$ sont connectées par des limites géographiques ou par d’autres mécanismes (par exemple le trafic aérien), et sinon $w_{ij}=0.$ Également, $w_{ii}=0$ pour $i=\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}m.$ Les entrées extradiagonales, $w_{ij},$ ne doivent pas nécessairement être binaires; elles peuvent prendre d’autres valeurs positives, comme la « longueur » de la frontière géographique ou les volumes de trafic aérien entre les deux régions. La matrice de contiguïté $W$ étant symétrique, ses valeurs propres sont réelles. Nous désignons la $i^{\text{e}}$ plus grande valeur propre de $W$ par ${\lambda }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}W\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>},$ de sorte que ${\lambda }_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}W\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le \dots \le {\lambda }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}W\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Puisque $W$ n’est pas nulle et que ${\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^m}{w}_{ii}=0,$ nous obtenons donc le résultat ${\lambda }_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}W\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}<0<{\lambda }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}W\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Supposons que $w_{i\mathrm{.}}={\displaystyle {\sum }_{j\mathrm{<mo>=</mo>}1}^m}{w}_{ij}$ est la somme de la $i^{\text{e}}$ ligne de $W$ et $L=\text{diag}{\mathrm{<mo>\{</mo>}{w}_{i\mathrm{.}}\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{i\mathrm{<mo>=</mo>}1}^m.$ En supposant que les éléments diagonaux de $L$ sont positifs, c’est-à-dire que toutes les petites régions ont au moins une région voisine, nous définissons $\tilde{W}=L^{-1}W.$ Puisque $\tilde{W}$ est une matrice stochastique à lignes, toutes ses valeurs propres sont comprises entre -1 et 1, dont au moins une est 1. Par conséquent, ${\lambda }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{W}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}=1.$ De plus, $\tilde{W}$ et $\text{diag}{\mathrm{<mo>\{</mo>}{w}_{i\mathrm{.}}^{-1/2}\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{i\mathrm{<mo>=</mo>}1}^{m}W\text{diag}{\mathrm{<mo>\{</mo>}{w}_{i\mathrm{.}}^{-1/2}\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{i\mathrm{<mo>=</mo>}1}^m$ ont le même ensemble de valeurs propres, et cette dernière matrice est symétrique. Donc, toutes les valeurs propres de $\tilde{W}$ sont réelles et la valeur ${\lambda }_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{W}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ sera négative. Nous considérons quatre dépendances spatiales de rechange associées à des effets aléatoires, qui sont représentées par les matrices de précision définies positives (à l’exclusion du paramètre d’échelle ${\sigma }_v^2):$

$$\begin{array}{llll}\text{SAR}\mathrm{<mo>:</mo>}\hfill & {\Omega }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}={\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{I}_m-\rho \tilde{W}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{I}_m-\rho \tilde{W}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>},\hfill & \rho \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1,}\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>},\hfill & (2.4)\hfill \\ \text{SCAR}\mathrm{<mo>:</mo>}\hfill & {\Omega }_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}=I_m-\rho W\mathrm{,}\hfill & \rho \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_m{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}W\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-1}\mathrm{,}{\lambda }_1{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}W\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & (2.5)\hfill \\ \text{CAR}\mathrm{<mo>:</mo>}\hfill & {\Omega }_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}=L-\rho W\mathrm{,}\hfill & \rho \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_m{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{W}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-1}\mathrm{,}{\lambda }_1{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{W}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & (2.6)\hfill \\ \text{LCAR}\mathrm{<mo>:</mo>}\hfill & {\Omega }_5\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}=\rho R+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{I}_m\mathrm{,}\hfill & \rho \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & (2.7)\hfill \end{array}$$

où $\rho$ est le paramètre de dépendance spatiale qui représente la force de la dépendance spatiale (Hodges, 2019, chapitre 5.2) et $R$ est défini comme $R={\Omega }_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}=L-W.$ Étant donné que les valeurs propres de $I_m-\tilde{W}$ sont comprises entre 0 (la plus petite valeur propre) et $1-{\lambda }_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{W}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (la plus grande valeur propre, $>1),$ la matrice $R$ est définie non négative. Chaque matrice de précision est garantie positive et définie tant que $\rho$ se situe dans l’intervalle précisé dans la définition respective.

La matrice de contiguïté $\tilde{W}$ du modèle autorégressif simultané (SAR) (Whittle, 1954) est normalisée par ligne, de sorte que $\rho$ peut varier de -1 à 1 tout en préservant la définition positive (Banerjee, Carlin et Gelfand, 2003, chapitre 4.4). Le modèle (2.5) est une version simple du modèle autorégressif conditionnel (CAR pour conditional autoregressive en anglais) (Rao et Molina, 2015, chapitre 9.6.2), où les entrées diagonales de la matrice de précision sont toutes égales à 1. Même si les éléments diagonaux d’une matrice de précision sont tous égaux, les éléments diagonaux de l’inverse peuvent ne pas tous être égaux, ce qui entraîne l’hétéroscédasticité des effets aléatoires. Nous appelons ce modèle le modèle autorégressif conditionnel simple (SCAR pour simple conditional autoregressive en anglais). Le modèle (2.6) est un modèle autorégressif conditionnel largement utilisé (CAR; Banerjee et coll., 2003; Besag et Kooperberg, 1995; You et Zhou, 2011), où les entrées diagonales de la matrice de précision sont le nombre de quartiers de la région correspondante. La limite supérieure de $\rho$ est ${\lambda }_1{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{W}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-1}=1,$ et dans le cas de $\rho =1,$ le modèle avec ${\Omega }_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ est appelé le modèle autorégressif intrinsèque (IAR pour intrinsic autoregressive en anglais) (Banerjee et coll., 2003, chapitre 4.3). Le modèle (2.7) est un modèle autorégressif conditionnel, appelé autorégressif conditionnel de Leroux (LCAR pour Leroux’s conditional autoregressive en anglais), dont la matrice de précision est donnée par la combinaison convexe de $R={\Omega }_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ et $I_m.$ Ce modèle a été examiné par Leroux, Lei et Breslow (2000); MacNab (2003); You et Zhou (2011), où le $i^{\text{e}}$ élément diagonal de $R$ est le nombre de quartiers de la $i^{\text{e}}$ petite région et le ${\left(i\mathrm{,}j\right)}^{\text{e}}$  élément extradiagonal est de $-1$ si les $i^{\text{e}}$ et $j^{\text{e}}$ petites régions sont connectées, sinon il est de 0.

Les modèles autorégressifs conditionnels, le modèle SCAR, le modèle CAR et le modèle LCAR, supposent que ${\theta }_i$ dépend uniquement des moyennes de petites régions voisines. En d’autres termes, ${\theta }_i$ est corrélé avec les ${\theta }_j,$ $j\ne i,$ uniquement par les moyennes des régions environnantes. Au contraire, le modèle SAR suppose que ${\theta }_i$ dépend de tous les autres ${\theta }_j$ en même temps, $j\ne i,$ mais a des corrélations plus fortes (plus faibles) pour les régions avoisinantes (éloignées). Le modèle FH à effets aléatoires indépendants peut être considéré comme un cas spécial du modèle SAR, SCAR ou LCAR où $\rho =0.$ Pour des raisons de commodité, nous incluons le modèle FH à effets aléatoires indépendants dans notre modèle en adoptant sa matrice de précision ${\Omega }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}=I_m,$ bien qu’elle soit exempte de $\rho .$

Nous considérons les modèles spatiaux HB suivants en intégrant les cinq dépendances spatiales définies en (2.4) à (2.7) :

$$Y|\theta \mathrm{,}\beta \mathrm{,}{\sigma }_v^2\mathrm{,}\rho ~N_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{,}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}(2.8)$$

$$\theta |\beta \mathrm{,}{\sigma }_v^2\mathrm{,}\rho ~N_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\beta \mathrm{,}{\sigma }_v^2{\left\{{\Omega }_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right\}}^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}k=\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}\mathrm{5,}(2.9)$$

$$\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\beta \mathrm{,}{\sigma }_v^2\mathrm{,}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\propto g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\sigma }_v^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\beta \in {ℝ}^p,{\sigma }_v^2>\mathrm{0,}\mathrm{<mi>\; </mi>}{l}_k<\rho <u_k\mathrm{,}(2.10)$$

où ${\sigma }_v^2$ est le paramètre de l’échelle du modèle, $g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\sigma }_v^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ et $h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ sont des fonctions appropriées de ${\sigma }_v^2$ et $\rho ,$ $l_k$ et $u_k$ sont les limites inférieure et supérieure de $\rho$ sous le $k^{\text{e}}$ modèle. Nous évitons le terme « variance d’erreur du modèle » pour ${\sigma }_v^2,$ car les entrées diagonales de ${\Omega }_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ varient d’une petite région à l’autre et n’égalent pas nécessairement toutes 1.

2.2   Estimation des moyennes de population pour les petites régions non échantillonnées

Dans la présente section, nous examinons le cas où, dans l’enquête, plusieurs petites régions non échantillonnées n’ont pas d’estimations directes. Dans de nombreuses applications, les ressources limitées empêchent souvent l’inclusion de nombreuses sous-populations dans l’échantillon; il en résulte de petites régions non échantillonnées. Les petites régions non échantillonnées sont parfois appelées « régions non harmonisées » (Trevisani et Gelfand, 2013) lorsqu’elles découlent d’un manque de concordance des domaines entre l’estimation directe et les variables auxiliaires. Pour n’importe laquelle de ces régions non échantillonnées, la prédiction de sa moyenne à partir de n’importe quel modèle non spatial est fondée uniquement sur son estimateur synthétique. Nous proposons d’exploiter les dépendances spatiales dans la prédiction des moyennes de petites régions non échantillonnées. Les prédictions des modèles proposés sont obtenues en modifiant l’estimateur synthétique, à l’aide du vecteur des résidus de régression, en mettant davantage l’accent sur les résidus de régression des régions avoisinantes.

Sans perte de généralité, supposons qu’il y ait $m_1$ petites régions non échantillonnées et que $Y_{m_1+1}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{Y}_m$ sont les estimations directes de $m_2=m-m_1$ petites régions échantillonnées. En nous fondant sur les estimations directes de $m_2$ régions échantillonnées, nous considérons les modèles HB suivants :

$$Y_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}|\theta \mathrm{,}\beta \mathrm{,}{\sigma }_v^2\mathrm{,}\rho ~N_{m_2}({\theta }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}{D}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}})\mathrm{,}(2.11)$$

$$\theta |\beta \mathrm{,}{\sigma }_v^2\mathrm{,}\rho ~N_m\left(X\beta \mathrm{,}{\sigma }_v^2{\left\{{\Omega }_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right\}}^{-1}\right)\mathrm{,}k=\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}\mathrm{5,}(2.12)$$

$$\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\beta \mathrm{,}{\sigma }_v^2\mathrm{,}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\propto g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\sigma }_v^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\beta \in {ℝ}^p,{\sigma }_v^2>\mathrm{0,}\mathrm{<mi>\; </mi>}{l}_k<\rho <u_k\mathrm{,}(2.13)$$

où $Y_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}={\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Y}_{m_1+1}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{Y}_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^T,$ $D_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}=\text{diag}{\mathrm{<mo>\{</mo>}{D}_i\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{i\mathrm{<mo>=</mo>}{m}_1+1}^m$ et ${\theta }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}={\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\theta }_{m_1+1}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\theta }_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^T,$ qui est le sous-vecteur de $\theta$ correspondant aux régions échantillonnées.

2.3   Propriété des distributions a posteriori

Dans la présente section, nous établissons la pertinence des distributions a posteriori des modèles spatiaux de petites régions données en (2.8) à (2.10) et (2.11) à (2.13). Supposons que $I(\cdot )$  est la fonction indicatrice prenant la valeur 1 lorsque son argument est vrai, sinon 0. Nous fournissons d’abord les conditions générales de la pertinence a posteriori des modèles proposés.

Théorème 1. Pour tous les modèles spatiaux HB donnés en (2.8) à (2.10) et (2.11) à (2.13), les fonctions de densité de probabilité a posteriori sont appropriées si les conditions suivantes se maintiennent pour une certaine constante positive $c>0:$

1. (a)   ${\displaystyle {\int }_0^{\infty }}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\sigma }_v^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\sigma }_v^2\le c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{\sigma }_v^2<\infty .$
2. (b)  ${\displaystyle {\int }_0^{\infty }}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\sigma }_v^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{m}^{*}-p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}/2}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\sigma }_v^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\sigma }_v^2>c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{\sigma }_v^2<\infty .$
3. (c)   ${\displaystyle {\int }_{l_k}^{u_k}}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\rho <\infty ,$

où $m^{*}=m$ pour (2.8) à (2.10), et $m^{*}=m-m_1$ pour (2.11) à (2.13).

Si $g(\cdot )$  est une fdp appropriée, alors (a) est vrai automatiquement et (b) est satisfait si $m^{*}\ge p.$ La condition $m^{*}\ge p$ est évidente, car au moins $p$ observations sont nécessaires pour estimer $p$ composantes de $\beta$ lorsque aucune information de fond à son sujet n’est disponible. De plus, toute fonction bornée de $\rho$ satisfait à $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ dans le théorème 1, étant donné que leurs supports sont toutes bornées. En particulier, dans la famille populaire des distributions a priori non informatives, les fdp a posteriori sont adéquates dans les conditions suivantes.

$$\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\beta \mathrm{,}{\sigma }_v^2\mathrm{,}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\propto {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\sigma }_v^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-\alpha }I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_k<\rho <u_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\beta \in {ℝ}^p,{\sigma }_v^2>\mathrm{0,}(2.14)$$

Corollaire 1. Pour n’importe lequel des modèles spatiaux HB donnés en (2.8) et (2.9) et (2.11) et (2.12) avec la distribution a priori mentionnée en (2.14), la fdp a posteriori est adéquate, tant que $\alpha <1$ et $m^{*}>p+2-2\alpha .$

Pour ce qui est de la distribution a priori uniforme comportant $\alpha =0$ (qui sera utilisée dans le présent article), la pertinence a posteriori des distributions pour les modèles (2.8) et (2.9) est garantie tant que le nombre de petites régions est supérieur à $p+2.$ Pour les modèles incorporant des régions non échantillonnées indiquées en (2.11) et (2.12), la deuxième condition du corollaire 1.1 devient $m-m_1>p+2,$ et par conséquent, les fdp a posteriori sont adéquates tant que le nombre de régions non échantillonnées est inférieur à $m-p-2,$ ou qu’au moins $p+3$ régions ont un échantillon.

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