Modélisation de séries chronologiques multiniveaux de la couverture des soins prénataux au Bangladesh à des niveaux administratifs désagrégés
Section 5. Modèles sélectionnés et prédiction des modèles

Le prédicteur linéaire du modèle sélectionné peut être écrit, selon les éléments pour le district $i$ et l’année $t,$ comme suit :

$${\eta }_{it}={\beta }^{\prime }{x}_{it}+{\nu }_i+z_t{\nu }_i^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}yr\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+u_{it}+u_{j\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}t}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}div\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+s_i\mathrm{,}(5.2)$$

où $\beta$ est le vecteur des effets fixes correspondant aux covariables $x_{it}$ conformément à la spécification dans (5.1), ${\nu }_i$ désigne des ordonnées à l’origine aléatoires variant selon le district, $z_t$ désigne la $yr\mathrm{.}c$ variable pour l’année $t,$ et ${\nu }_i^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}yr\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ les pentes aléatoires correspondantes variant selon le district. Ces ordonnées à l’origine et pentes aléatoires sont distribuées conjointement comme suit : 

$$\left(\begin{array}{c}{\nu }_i\\ {\nu }_i^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}yr\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\end{array}\right)\stackrel{\text{iid}}{{\displaystyle ~}}N\left(\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{cc}{\sigma }_I^2& \rho {\sigma }_I{\sigma }_S\\ \rho {\sigma }_I{\sigma }_S& {\sigma }_S^2\end{array}\right)\right).(5.3)$$

Les effets de marche aléatoire de second ordre au niveau du district et de la division sont distribués ainsi : 

$$\begin{array}{ll}{u}_{it}-2u_{i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\mathrm{1\; <mo\; stretchy="false">)</mo>}}+u_{i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\mathrm{2\; <mo\; stretchy="false">)</mo>}}\hfill & \stackrel{\text{iid}}{{\displaystyle ~}}N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>\; 0,}{\sigma }_{R2}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill \\ u_{j\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}t}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}div\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-2u_{j\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\mathrm{1\; <mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}div\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+u_{j\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\mathrm{2\; <mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}div\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\hfill & \stackrel{\text{iid}}{{\displaystyle ~}}N\left(\mathrm{0,}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\sigma }_{R2}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}div\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mtext>\hspace{0.17em}</mtext>\; <mtext>\hspace{0.17em}</mtext>\; <mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\right)\mathrm{,}\hfill \end{array}(5.4)$$

où $j\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ doit être lu comme la division $j$ à laquelle le district $i$ appartient. Enfin, les effets spatiaux $s_i$ sont distribués comme suit : 

$$s_i|s_{i^{\prime }\ne i}\stackrel{\text{ind}}{{\displaystyle ~}}N\left(\frac{1}{a_i}{\displaystyle \sum _{i^{\prime }\in nb\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{s}_{i^{\prime }}\mathrm{,}\frac{1}{a_i}{\sigma }_{Sp}^2\right)\mathrm{,}(5.5)$$

où $a_i$ est la taille de l’ensemble $nb\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ des districts voisins du district $i.$ Les distributions a priori pour la matrice de covariance de (5.3) et les autres paramètres de variance sont choisis de la façon décrite à la section 4.1. Pour que les composantes du modèle soient identifiables, les contraintes suivantes sont imposées : 

$$\begin{array}{llll}{\displaystyle \sum _{t\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^T}{u}_{it}\mathrm{<mo>=</mo>}0\hfill & \text{et}\hfill & {\displaystyle \sum _{t\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^T}t{u}_{it}\mathrm{<mo>=</mo>}0\hfill & \text{pour tous les districts}i\mathrm{,}\hfill \\ {\displaystyle \sum _{t\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^T}{u}_{j\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}t}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}div\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}0\hfill & \text{et}\hfill & {\displaystyle \sum _{t\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^T}t{u}_{j\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}t}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}div\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}0\hfill & \text{pour toutes les divisions }j\mathrm{,}\hfill \\ {\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{M_d}}{s}_i\mathrm{<mo>=</mo>}0.\hfill & \hfill & \hfill & \hfill \end{array}(5.6)$$

Notons que les tendances de RW2 sont précisées au niveau des divisions et des districts, chaque fois avec une structure de variance scalaire. Toute tendance au niveau de la division est partagée par tous les districts sous-jacents. Les écarts de chaque district par rapport à cette tendance au niveau de la division sont modélisés avec les tendances de la RW2 au niveau du district. Il s’agit d’une solution de rechange parcimonieuse permettant d’emprunter de l’information dans le temps et l’espace, comparativement à ce qu’apporterait la modélisation des tendances de RW2 au niveau du district seulement avec une matrice de covariance complète (Boonstra et van den Brakel, 2019).

5.2   Modèle de séries chronologiques pour ANC4

La transformation par la racine carrée est appliquée aux séries de données d’entrée des estimations directes et de F-H de ANC4 pour les modèles MTS-I, MTS-II et MTS-III. Pour MTS-I, on applique la FGV (3.3) aux erreurs-types transformées afin d’obtenir la matrice de la variance $\Sigma ,$ comme cela est expliqué à la fin de la sous-section 3.5. Pour la composante à effet fixe, une variable de facteur appelée « Région » a été créée en fonction du degré d’urbanisation d’après Rahman, Mohiuddin, Kafy, Sheel et Di (2019). La variable comporte quatre niveaux : 1) pour trois grandes villes, Dhaka, Chittagong et Gazipur; 2) pour neuf autres grandes villes régionales (Barisal, Bogra, Comilla, Khulna, Mymensing, Narayanganj, Rajshahi, Rangpur, Sylhet); 3) pour trois districts vallonnés (Bandarban, Khagrachhari et Rangamati); 4) pour les districts restants. Cette variable a surtout aidé dans l’ajustement des estimations pour les trois districts vallonnés sur lesquels les sept enquêtes examinées comportent très peu (voire pas) d’information. Le modèle final comprend les composantes à effets fixes suivantes : 

$$1+\text{Division}+yr\mathrm{.}c+\text{Région}\text{.}(5.7)$$

On constate que l’interaction entre « Division » et « yr.c » (comme dans le modèle ANC0) est négligeable dans le modèle ANC4. Les composantes à effet aléatoire du modèle ANC4 présentées au tableau 5.2 sont très semblables à celles utilisées pour le modèle ANC0 (voir le tableau 5.1). On a considéré une tendance au niveau local plutôt qu’une tendance lisse au niveau de la division (RW1_Division dans le tableau 5.2) puisque la composante de tendance lisse (RW2_Division, comme dans le tableau 5.1) produisait un certain biais dans les tendances à l’échelle du pays et de la division. De plus, le modèle avec la composante RW1_Division donne de meilleurs résultats pour les critères d’information que le modèle avec la composante RW2_Division. Les composantes de bruit blanc sont considérées, mais ne sont pas incluses dans le modèle final, car elles n’amélioraient pas l’ajustement du modèle.