Modélisation de séries chronologiques multiniveaux de la couverture des soins prénataux au Bangladesh à des niveaux administratifs désagrégés
Section 3. Sources des données et estimations des entrées

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3.1   Sources des données

Depuis 1993-1994, la BDHS est réalisée sous l’autorité de l’Institut national de recherche et de formation en démographie (NIPORT) du ministère de la Santé et de la Protection de la famille (MOHFW). L’enquête évalue les programmes sociaux et sanitaires en place afin d’élaborer de nouvelles stratégies d’amélioration de l’état de santé des femmes et des enfants du pays. En 2018, huit enquêtes BDHS avaient été menées : en 1993-1994, 1996-1997, 2000, 2004, 2007, 2011, 2014 et 2017-2018. La présente étude s’appuie sur les données d’enquête relatives à la période de 1994 à 2014 puisque l’emplacement au niveau du district des grappes sondées n’est pas divulgué dans la BDHS la plus récente de 2017-2018. De 1994 à 2014, trois recensements de la population et du logement ont été réalisés, en 1991, 2001 et 2011. Les données complètes du recensement ne sont pas disponibles : seulement 10 % des données du Recensement de 1991, 10 % des données du Recensement de 2001 et 5 % des données du Recensement de 2011 sont accessibles au public par l’intermédiaire d’IPUMS-International (https://international.ipums.org). Un certain nombre de variables contextuelles au niveau des districts ont été générées et utilisées dans l’élaboration de modèles transversaux de F-H afin de produire des estimations d’entrées pour les modèles de séries chronologiques multiniveaux.

3.2   Estimations directes

Les variables analysées dans le présent article sont ANC0 et ANC4. Le Bangladesh est divisé en sept régions infranationales appelées divisions. Ces divisions sont ensuite divisées en 64 districts, soit l’échelle régionale la plus détaillée examinée dans la présente étude. Dans un premier temps, les estimations et les estimations de la variance des deux variables cibles au niveau des districts sont obtenues à partir des données au niveau de l’unité de chaque année d’enquête au moyen d’un estimateur d’enquête direct classique fondé sur le plan (désigné par DIR ci-après), dans lequel les poids d’enquête servent à prendre en compte le plan de sondage et la non-réponse.

Dans la présente étude, les femmes en âge de procréer qui ont été mariées et qui ont accouché au cours des trois années précédant une année d’enquête sont considérées comme la population cible. Étant donné qu’on ne dispose pas de ces renseignements sur la grossesse dans la population du recensement, la taille de la population par domaine est estimée par le nombre de femmes en âge de procréer ayant déjà été mariées qui se trouve dans les trois recensements. Cela signifie que même si les tailles d’échantillon d’un domaine reposent sur un recensement, il y a une certaine incertitude à leur sujet, qui est ignorée dans les modèles d’estimation sur petits domaines (EPD). Pour une analyse plus détaillée sur la taille des populations propres aux divisions et aux districts, voir Das, van den Brakel, Boonstra et Haslett (2021).

La BDHS utilise un échantillon stratifié des ménages à deux degrés. Les strates sont formées à partir des divisions et sous-divisions selon leur caractérisation urbaine-rurale. Les unités primaires d’échantillonnage (UPE) sont les secteurs de dénombrement du recensement de la population et du logement créés pour comporter en moyenne environ 120 ménages (légère variation par rapport au recensement). À la première étape, les UPE sont sélectionnées avec des probabilités proportionnelles à la taille de l’UPE, c’est-à-dire au nombre de ménages. À la deuxième étape, le listage complet des ménages est effectué dans toutes les UPE sélectionnées, puis une trentaine de ménages sont sélectionnés dans chaque UPE au moyen d’un échantillonnage systématique. Le taux de réponse chez les femmes admissibles a dépassé 95 % toutes les années de la BDHS. Bien que la taille de l’échantillon des femmes qui ont été mariées soit supérieure à 10 000 dans toutes les enquêtes, la taille de l’échantillon de la présente étude est plus petite, car seules les femmes déjà mariées qui ont eu un enfant au cours des trois années précédant l’année d’enquête sont prises en compte. Au niveau des districts, la taille moyenne des échantillons varie entre 60 et 114, et certains districts comptent moins de 10 femmes observées, voire aucune.

Les poids de sondage sont calculés en fonction des probabilités de sélection. On a ensuite ajusté ces poids pour tenir compte de la non-réponse des ménages et des personnes. L’estimation directe de la proportion de la population dans un domaine $i$ pour l’année d’enquête $t$ est calculée comme étant la moyenne de l’échantillon. 

$${\widehat{Y}}_{it}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\displaystyle {\sum }_{j\in s_{it}}{w}_{ijt}{y}_{ijt}}}{{\displaystyle {\sum }_{j\in s_{it}}{w}_{ijt}}}\mathrm{,}(3.1)$$

où $y$ est la variable de réponse d’intérêt, $s_{it}$ est l’ensemble des femmes déjà mariées dans le domaine $i$ pour lequel $y$ est observé l’année $t,$ et $w_{ijt}$ est le poids de sondage pour la personne $j$ vivant dans le domaine $i$ l’année $t.$ Notons que les poids $w_{ijt}$ sont mis à l’échelle de façon à ce que la somme sur les poids dans l’échantillon soit égale à la taille nette de l’échantillon. Les estimations de la variance correspondantes sont obtenues par approximation comme suit : 

$$\text{var}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\widehat{Y}}_{it}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{n_{it}\left(n_{it}-1\right)}{\displaystyle \sum _{j\in s_{it}}}{w}_{ijt}{\left(y_{ijt}-{\widehat{Y}}_{it}\right)}^2,(3.2)$$

où $n_{it}$ est le nombre de femmes qui ont été mariées observé dans le domaine $i$ au cours de l’année de l’enquête $t.$ Au départ, on estimait la variance en calculant la variance parmi les totaux estimés d’UPE comme si la sélection avait été réalisée au moyen d’un échantillonnage stratifié avec remise, appelé approximation de la variance de l’unité d’échantillonnage finale. Cela a donné des estimations de variance nulle pour quelques domaines. L’approximation de la variance (3.2) évite ces estimations de variance nulle, et donne des estimations de la variance comparables à l’approximation initiale où l’on supposait que les UPE étaient sélectionnées avec remise. Dans le premier modèle de séries chronologiques multiniveaux, représenté par MTS-I, ces estimations directes servent de séries de données d’entrée.

3.3   Estimations transversales de Fay-Herriot

Un des problèmes que pose le modèle MTS-I est qu’il utilise des données du recensement comme variables auxiliaires dans le modèle de séries chronologiques multiniveau. Étant donné que l’intervalle entre deux recensements est de 10 ans, alors que la BDHS est réalisée tous les trois ou quatre ans, les covariables du recensement restent identiques jusqu’à ce que de nouvelles données du recensement soient disponibles. L’inclusion de ces données de recensement comme covariables dans les modèles MTS-I faussera les estimations des tendances et des changements d’une période à l’autre. L’une des façons de tirer parti des données du recensement consiste à modéliser les estimations directes au niveau des districts dans des modèles transversaux de F-H distincts en utilisant des variables contextuelles pertinentes extraites des données de recensement. On s’attend aussi à ce que l’utilisation de variables auxiliaires de recensement disponibles à temps dans des modèles transversaux de F-H répétitifs puisse avoir une incidence sur les coefficients de régression et l’exactitude des prédictions de modèle de la variable dépendante, mais non sur les prédictions de la variable dépendante elle-même. Comparativement aux estimations directes utilisées dans MTS-I, ces modèles transversaux de F-H fournissent aussi de meilleures estimations parce qu’ils empruntent certaines informations dans les districts.

Les estimations transversales de F-H et leurs erreurs-types sont utilisées comme données d’entrée pour un deuxième modèle, désigné MTS-II. Les estimations transversales de F-H sont corrélées en raison de leurs composantes communes à effet fixe, qui sont ignorées dans MTS-II. Par conséquent, un troisième modèle de séries chronologiques multiniveaux, désigné MTS-III, est élaboré au moyen des estimations transversales de F-H et de leur matrice de covariance complète comme données d’entrée.

Les composantes à effet fixe et aléatoire pour les modèles transversaux de F-H spécifiques à l’enquête sont présentées dans les tableaux A.2 et A.3 de l’annexe. Pour tous les modèles, on suppose que les effets aléatoires suivent une loi normale. On a examiné des modèles non normaux pour les effets aléatoires (Laplace et horseshoe) et l’erreur d’échantillonnage (distribution t) comme solutions de rechange à la loi normale. Cela n’a toutefois pas amélioré l’ajustement du modèle.

3.4   Fonctions généralisées de variance

Dans les modèles de F-H et de séries chronologiques multiniveaux, les estimations de la variance des estimations directes sont en grande partie traitées comme des quantités fixes. Comme ces estimations de la variance peuvent présenter un bruit important, elles sont lissées au moyen d’une fonction généralisée de variance (FGV) avant d’être utilisées dans les modèles de F-H et de séries chronologiques multiniveaux. Il est entendu qu’un district sans données d’échantillon est considéré comme manquant et qu’il n’est donc pas pris en compte dans la méthode d’élaboration du modèle. Le modèle de F-H transversal peut produire des estimations et des erreurs-types pour ces domaines hors échantillon. On n’utilise toutefois pas ces estimations synthétiques dans l’élaboration des modèles MTS-II et MTS-III pour obtenir une meilleure comparaison avec le modèle MTS-I.

Les FGV sont des modèles de régression qui relient les estimations de la variance à des prédicteurs comme la taille de l’échantillon, les variables du plan de sondage et les estimations ponctuelles (Wolter (2007), chapitre 7). Pour les variables ANC0 et ANC4, on utilise la FGV suivante : 

$$\log \text{se}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\widehat{Y}}_{it}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{<mo>=</mo>}\alpha +\beta \log {\tilde{Y}}_{it}+\gamma \log \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{m}_{it}+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\delta \text{Division}+{\in }_{it},(3.3)$$

où $\text{se}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\widehat{Y}}_{it}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ est l’erreur-type de ${\widehat{Y}}_{it}$ dans (3.1), $m_{it}$ le nombre d’unités d’échantillonnage contribuant au district $i$ l’année $t$ et Division est une variable catégorique ayant 7 niveaux. Étant donné que nous ne pouvons pas nous fier aux estimations directes pour les valeurs très petites de $m_{it},$ les ${\tilde{Y}}_{it}$ du côté droit de (3.3) sont des estimations lissées simples. 

$$\begin{array}{ll}{\tilde{Y}}_{it}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }_{it}{\widehat{Y}}_{it}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-{\lambda }_{it}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\overline{Y}}_{d[i]t}\mathrm{,}\hfill \\ {\lambda }_{it}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{m_{it}}{m_{it}+1}\mathrm{,}\hfill \end{array}(3.4)$$

où ${\overline{Y}}_{d\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}t}$ désigne la moyenne pour la division $d(d=1$ à 7) à laquelle appartient le district $i,$ pour l’année $t.$ Comme l’a mentionné un réviseur, un estimateur par la régression composite peut être utilisé comme solution de rechange pour (3.4).

Les erreurs de régression ${\in }_{it},$ sont censées être indépendantes et normalement distribuées avec un paramètre de variance commun ${\sigma }^2.$ Les FGV sont ajustées uniquement aux districts pour lesquels les erreurs-types des estimations directes ne sont pas nulles. Les erreurs-types prédites (lissées) qui reposent sur les modèles ajustés sont 

$${\text{se}}_{\text{pred}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\widehat{Y}}_{it}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{<mo>=</mo>}\exp \left(\widehat{\alpha }+\widehat{\beta }\log {\tilde{Y}}_{it}+\widehat{\gamma }\log \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{m}_{it}+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\widehat{\delta }\text{Division}+{\widehat{\sigma }}^2/2\right)\mathrm{,}(3.5)$$

où $\widehat{\sigma }$ est 0,03 pour ANC0 et 0,003 pour ANC4, respectivement. Les valeurs de R au carré pour les deux modèles sont assez élevées : 0,79 pour ANC0 et 0,99 pour ANC4. Notons que la rétro transformation exponentielle dans (3.5) comprend une correction de biais qui, dans ce cas, n’a qu’un petit effet. Cette méthode sert à obtenir des erreurs-types lissées pour les modèles de F-H transversaux et le modèle MTS-I.

3.5   Transformations des séries de données d’entrée

La transformation par la racine carrée, la transformation logarithmique et la transformation log-ratio sont considérées comme une transformation stabilisatrice de la variance, voir Sakia (1992). La transformation par la racine carrée est appliquée aux données de ANC4 (les modèles de séries chronologiques multiniveaux et les modèles de F-H transversaux), car cette transformation réduit la corrélation entre les estimations ponctuelles et leurs erreurs-types des séries de données d’entrée, diminue l’hétérogénéité, améliore la convergence de la simulation par la méthode de Monte Carlo par chaînes de Markov, et réduit l’asymétrie des données de proportion si elles prennent des valeurs proches de la borne inférieure de zéro. Pour ce qui est de ANC0, la transformation par la racine carrée est utilisée uniquement pour les modèles transversaux de F-H spécifiques aux années 2011 et 2014. Aucune transformation n’est appliquée aux autres années. Dans les trois modèles de séries chronologiques multiniveaux, aucune transformation n’est appliquée pour ANC0, car la transformation par la racine carrée des séries de données d’entrée augmente la dépendance entre les estimations directes et les erreurs-types.

Soit ${\widehat{Y}}_{it}\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\widehat{Y}}_{it}+\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ désigne les estimations directes transformées par la racine carrée, où $\epsilon$ est un petit nombre (0,005), ce qui est nécessaire parce que pour certains districts, les estimations directes sont égales à zéro. Au moyen d’une approximation de Taylor du premier degré, on peut montrer que $\text{se}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\widehat{Y}}_{it}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\approx \text{se}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\widehat{Y}}_{it}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}/\left(2\sqrt{{\widehat{Y}}_{it}+\epsilon }\right).$

Si la FGV (3.3) est appliquée aux erreurs-types des estimations directes non transformées, alors les erreurs-types pour les domaines comportant un très petit nombre d’unités d’échantillonnage peuvent devenir excessivement grandes en raison de l’approximation de la linéarisation. On évite ce problème en appliquant la FGV aux erreurs-types des estimations transformées, c’est-à-dire $\text{se}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\widehat{Y}}_{it}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

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