Modélisation de séries chronologiques multiniveaux de la couverture des soins prénataux au Bangladesh à des niveaux administratifs désagrégés
Section 4. Modélisation multiniveau de séries chronologiques

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Dans la présente étude, les estimations directes et leurs erreurs-types sont disponibles pour les années d’enquête 1994, 1997, 2000, 2004, 2007, 2011 et 2014. Pour tenir compte des intervalles variables de trois ou quatre ans entre les années d’enquête, les modèles de séries chronologiques multiniveaux sont définis à une fréquence annuelle (c’est-à-dire que les valeurs désignent une période de référence d’un an) à l’échelle régionale la plus détaillée des 64 districts. Sur une durée de 21 ans, on a 1 344 combinaisons domaine-année. À partir des 7 années d’enquête disponibles, le modèle est adapté aux 448 observations domaine-année. Les années entre deux enquêtes consécutives sont définies comme étant manquantes dans le modèle. Ainsi, l’évolution de la tendance d’une période à l’autre est précisée correctement et le modèle fournit des prédictions pour les combinaisons domaine-année manquantes.

Pour plus de commodité, nous désignerons par ${\widehat{Y}}_{it}$ la série d’entrées des modèles de séries chronologiques pour ANC0 ou ANC4 pour l’année $t$ et le domaine $i.$ Il peut s’agir des estimations directes non transformées, des estimations directes transformées par la racine carrée ou des prédictions du modèle obtenues au moyen de modèles transversaux de F-H. Dans le cas présent, l’indice de domaine $i$ s’exécute de 1 à $M_d\mathrm{<mo>=</mo>}64$ et l’indice temporel $t$ de 1 à $T\mathrm{<mo>=</mo>}21.$ Nous combinons ensuite ces estimations dans un vecteur $\widehat{Y}=\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\widehat{Y}}_{11}\mathrm{,}\dots {\widehat{Y}}_{M_{d}1}\mathrm{,}\dots {\widehat{Y}}_{1T}\mathrm{,}\dots {\widehat{Y}}_{M_{d}T}{)}^{\prime },$ un vecteur de dimension $M\mathrm{<mo>=</mo>}{M}_{d}T.$

4.1   Structure du modèle

Les modèles multiniveaux examinés prennent une forme additive linéaire générale 

$$\widehat{Y}=X\beta +{\displaystyle \sum _{\alpha }}{Z}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{v}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+e,(4.1)$$

où $X$ est une matrice de plan $M\times p$ pour un vecteur d’effets fixes $\beta$ de dimension $p$ et les $Z^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ sont des matrices de plan $M\times q^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ pour les vecteurs d’effets aléatoires $v^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ de dimension $q^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}.$ Dans le cas présent, la somme sur $\alpha$ s’exécute sur plusieurs termes possibles d’effet aléatoire à différents niveaux, comme le niveau local et des tendances lisses au niveau du district et de la division, le bruit blanc au niveau le plus détaillé des domaines $M,$ etc. Des explications plus détaillées sont données ci-dessous. Dans la formule (4.1), $e=\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}_{11}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{e}_{M_{d}1}\mathrm{,}\dots e_{M_{d}T}{)}^{\prime }$ désigne, selon la série de données d’entrée, les erreurs d’échantillonnage des estimations directes ou les erreurs de prédiction du modèle transversal de F-H. Les erreurs d’échantillonnage sont considérées comme normalement distribuées, soit $e~N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\Sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ où $\Sigma ={\oplus }_{t\mathrm{<mo>=</mo>1}}^T{\Sigma }_t.$ Si les séries de données d’entrée sont les estimations directes non transformées, alors ${\Sigma }_t$ est la matrice de covariance pour les estimations directes non transformées observées l’année $t.$ Si les séries de données d’entrée sont transformées, alors ${\Sigma }_t$ est la matrice de covariance pour les estimations directes transformées, comme cela est décrit dans la sous-section 3.5. Si les séries de données d’entrée sont les prédictions qui reposent sur des modèles transversaux de F-H, alors ${\Sigma }_t$ contient les erreurs quadratiques moyennes estimées des prédictions de F-H. Dans MTS-II, ${\Sigma }_t$ est diagonale et ignore les corrélations entre les prédictions de domaine. Dans MTS-III, ${\Sigma }_t$ est une matrice de covariance complète qui prend aussi en compte les corrélations entre les prédictions de domaine.

Selon la répartition des erreurs d’échantillonnage $e$ dans (4.1), la fonction de vraisemblance conditionnelle à des paramètres d’effets fixes et aléatoires peut être définie comme étant 

$$p\left(\widehat{Y}|\eta \mathrm{,}\Sigma \right)=N\left(\widehat{Y}|\eta \mathrm{,}\Sigma \right)\mathrm{,}(4.2)$$

où $\eta =X\beta +{\displaystyle {\sum }_{\alpha }}{Z}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{v}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ est le prédicteur linéaire. Pour les erreurs $e,$ on peut considérer qu’une loi t de Student au lieu d’une loi normale donne moins de poids à un plus grand nombre d’observations aberrantes, d’après West (1984).

La partie à effets fixes de $\eta$ peut contenir des composantes comme une ordonnée à l’origine, une tendance linéaire, les effets principaux pour le niveau de la division et du district et peut-être les interactions de second ordre pour les tendances linéaires et la division ou le district. On attribue au vecteur $\beta$ d’effets fixes une loi a priori normale $p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}=N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}100I_p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>},$ avec $I_x$ la matrice d’identité de dimension $x\times x.$ Cela n’est que très peu informatif, car une erreur-type de 10 est très grande par rapport aux échelles des estimations directes (transformées) et des covariables utilisées.

Le deuxième terme du côté droit de (4.1) consiste en une somme des contributions au prédicteur linéaire par des effets aléatoires ou des termes de coefficient variables. On suppose que les vecteurs d’effets aléatoires $v^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ pour différents $\alpha$ sont indépendants, mais que les composantes à l’intérieur d’un vecteur $v^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ peuvent être corrélées pour tenir compte de la corrélation temporelle ou transversale. Afin de décrire le modèle général de chaque vecteur d’effets aléatoires $v^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}},$ nous supprimons l’exposant $\alpha$ dans ce qui suit aux fins de simplification de la notation.

On suppose que chaque vecteur d’effets aléatoires $v$ est distribué ainsi 

$$v~N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}A\otimes V\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}(4.3)$$

où $V$ et $A$ sont les matrices de covariance de dimension $d\times d$ et $l\times l,$ respectivement, et $A\otimes V$ désigne le produit de Kronecker de $A$ par $V.$ La longueur totale de $v$ est $q=dl,$ et ces coefficients peuvent être considérés comme correspondant aux effets $d$ autorisés à varier sur $l$ niveaux d’une variable de facteur. Si, par exemple, $V$ correspond à la division, alors $V$ définit $d=7$ différents effets aléatoires qui correspondent aux 7 catégories de division. Si ensuite $A$ correspond au temps, alors $l\mathrm{<mo>=</mo>}21$ années. Dans ce cas, chacun des 7 effets peut varier sur ses 21 niveaux (des années en l’occurrence). Chaque effet aléatoire généré pour une combinaison division $\times$ année est partagé par tous les districts appartenant à cette division pour cette année particulière.

La matrice de covariance $A$ décrit la structure de covariance entre les niveaux de la variable de facteur et est censée être connue. Au lieu des matrices de covariance, on utilise en fait les matrices de précision $Q_A=A^{-1},$ pour un calcul plus efficace (Rue et Held, 2005). La matrice de covariance $V$ pour les $d$ effets variables peut être paramétrée de l’une des trois façons suivantes : i) une matrice de covariance paramétrée complète; ii) une matrice diagonale avec des éléments diagonaux inégaux; iii) une matrice diagonale avec des éléments diagonaux égaux. Une loi a priori de Wishart inversée et mise à l’échelle est utilisée comme ce qui est proposé dans O’Malley et Zaslavsky (2008) et recommandé par Gelman et Hill (2007) quand on suppose une matrice de covariance complète, tandis que les lois a priori demi-Cauchy sont utilisées pour les écarts-types quand la matrice de covariance est supposée diagonale avec des éléments égaux ou inégaux. En cas de variances diagonales, les lois a priori demi-Cauchy sont de meilleures lois a priori par défaut que les lois a priori gamma inverses plus courantes (Gelman, 2006).

Les structures d’effet aléatoire suivantes sont examinées dans la procédure de sélection du modèle : 

1. Ordonnées à l’origine aléatoires pour les domaines $M_d.$ Dans ce cas, $A\mathrm{<mo>=</mo>}{I}_{M_d}$ et $V$ est un paramètre de variance scalaire. Cela suppose que $v_{it}={\nu }_i\mathrm{,}\forall t$ et ${\nu }_i~N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}{\sigma }_I^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$
2. Marches aléatoires de premier ou de second ordre à différents niveaux d’agrégation. Une marche aléatoire de premier ordre ou une tendance locale au niveau du district est définie comme étant $v_{it}=L_{it},$ avec $L_{it}=L_{i\mathrm{,}t-1}+{\eta }_{it}$ et ${\eta }_{it}~N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}{\sigma }_{R\mathrm{1,}i}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Une marche aléatoire de second ordre ou un modèle de tendance lissée au niveau du district est définie comme étant $v_{it}=L_{it},$ avec $L_{it}=L_{i\mathrm{,}t-1}+R_{i\mathrm{,}t-1}$ et ${\eta }_{it}~N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}{\sigma }_{R\mathrm{2,}i}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Les deux types de tendances peuvent être définis similairement au niveau de la division ou à l’échelle nationale. Voir dans Rue et Held (2005) la spécification de la matrice de précision $Q_A$ pour les marches aléatoires de premier et de second ordre. On peut considérer une matrice de covariance complète pour les innovations de tendance afin de permettre des corrélations transversales en plus des corrélations temporelles, ou une matrice diagonale avec des paramètres de variance différents ou égaux pour permettre des corrélations temporelles seulement. Dans le cas de variances égales, ${\sigma }_{R\mathrm{1,}i}^2={\sigma }_{R1}^2$ et ${\sigma }_{R\mathrm{2,}i}^2={\sigma }_{R2}^2\mathrm{,}\forall i.$ Les composantes des marches aléatoires de premier et de second ordre au niveau du district sont désignées ci-dessous respectivement par $\text{RW1\_District}$ et $\text{RW2\_District}\text{.}$ Au niveau de la division, elles sont désignées par $\text{RW1\_Division}$ et $\text{RW2\_Division}\text{.}$
3. Les marches aléatoires de premier ordre utilisées dans nos modèles ne peuvent pas saisir de niveau global, car les effets aléatoires correspondants sont soumis à une contrainte de somme nulle dans le temps. De même, les marches aléatoires de second ordre ne peuvent pas saisir à la fois le niveau et la tendance linéaire. Cela signifie que le niveau et la tendance linéaire doivent être pris en compte par d’autres termes du modèle, comme les effets fixes ou aléatoires. Les ordonnées à l’origine au niveau du district ont été traitées au point 1. Pour inclure aussi les tendances linéaires par district, cette composante peut être étendue aux ordonnées à l’origine et aux pentes aléatoires linéaires dans le temps. Dans ce cas, $V$ peut être soit une matrice de covariance générale $2\times 2$

$$V\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cc}{\sigma }_I^2& {\rho }_{IS}{\sigma }_I{\sigma }_S\\ {\rho }_{IS}{\sigma }_I{\sigma }_S& {\sigma }_S^2\end{array}\right)\mathrm{,}$$

qui prend en compte les corrélations entre les ordonnées à l’origine et les pentes, ou une matrice diagonale avec des éléments diagonaux ${\sigma }_I^2$ et ${\sigma }_S^2$ les variances de l’ordonnée à l’origine et des pentes aléatoires, respectivement. Cette composante du modèle est désignée par $\text{RIS\_District}$ ci-dessous.

4. Effets aléatoires spatiaux : ordonnées à l’origine aléatoires qui varient selon l’emplacement spatial des districts selon un modèle autorégressif conditionnel intrinsèque (ICAR) (Besag et Kooperberg, 1995), défini comme étant $v_i|v_{-i}~N\left(\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Sigma }_{i^{\prime }\in nb\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{v}_{i^{\prime }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}/a_i\mathrm{,}{\sigma }_{Sp}^2/a_i\right)$ pour chaque effet spatial conditionnel aux autres. Dans le cas présent, $nb\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ est l’ensemble des domaines voisins du domaine $i$ et $a_i$ le nombre de domaines voisins du domaine $i.$ Voir dans Rue et Held (2005) la spécification de la matrice de précision $Q_A.$ Cette composante spatiale est désignée ultérieurement par $\text{Spatial\_District}\text{.}$
5. Bruit blanc : pour permettre une variation aléatoire inexpliquée, on peut inclure le bruit blanc au niveau de domaine le plus détaillé par année. Dans ce cas $A=I_M$ et $V$ est un paramètre de variance scalaire. Cela suppose que ${\nu }_{it}~N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}{\sigma }_W^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Nous avons aussi étudié des généralisations de (4.3) en répartitions anormales d’effets aléatoires en mettant en œuvre une loi de Student, une répartition a priori horseshoe (Carvalho, Polson et Scott, 2010) et Laplace (Tibshirani, 1996; Park et Casella, 2008). Les queues plus lourdes de ces répartitions de rechange permettent de grands effets occasionnels. Cependant, ces répartitions n’ont pas amélioré les résultats pour les variables cibles considérées en ce qui concerne les critères d’information du modèle ainsi que les prédictions des tendances sous-jacentes. C’est pourquoi la loi normale est utilisée pour toutes les composantes à effet aléatoire. La présentation exacte des modèles de séries chronologiques multiniveaux définitifs pour ANC0 et ANC4 est précisée respectivement dans les sous-sections 5.1 et 5.2.

4.2   Estimation des modèles

Les modèles sont ajustés au moyen d’un échantillonnage par la méthode de Monte Carlo par chaînes de Markov (MCMC), en particulier l’échantillonneur de Gibbs (Geman et Geman, 1984; Gelfand et Smith, 1990). Voir dans Boonstra et van den Brakel (2022) la spécification des lois conditionnelles complètes. Les modèles précisés dans la sous-section 4.1 sont exécutés dans R (R Core Team, 2015) au moyen du progiciel mcmcsae (Boonstra, 2021). L’échantillonneur de Gibbs est exécuté en parallèle pour trois chaînes indépendantes avec des valeurs de départ générées aléatoirement. Dans l’étape de construction du modèle, 1 000 itérations sont utilisées, en plus d’une période de « rodage » de 100 itérations. Cela suffisait pour les estimations raisonnablement stables de Monte Carlo des paramètres du modèle et les prédictions de tendances. Pour le modèle sélectionné, nous utilisons un cycle plus long de 1 000 exécutions de rodage plus 5 000 itérations sur lesquelles les tirages d’une itération sur cinq sont stockés. Cela donne 3 $\times$ 1 000 = 3 000 tirages pour calculer les estimations et les erreurs-types. On évalue la convergence de la simulation par MCMC au moyen de tracés et de graphiques d’autocorrélation ainsi que du facteur de réduction d’échelle potentiel de Gelman-Rubin (Gelman et Rubin, 1992), qui décèle le mélange de chaînes. Pour la simulation plus longue du modèle sélectionné, tous les paramètres du modèle et les prédictions du modèle ont des facteurs de réduction d’échelle potentiels inférieurs à 1,01 et un nombre suffisamment efficace de tirages indépendants.

De nombreux modèles de la forme (4.1) ont été ajustés aux données. Afin de comparer les modèles au moyen des mêmes données d’entrée, nous utilisons le critère d’information largement applicable aussi appelé critère d’information Watanabe-Akaike (WAIC) (Watanabe, 2010, 2013) et le critère d’information de déviance (DIC) (Spiegelhalter, Best, Carlin et van der Linde, 2002). Nous comparons aussi les modèles graphiquement selon leurs ajustements et prédictions de tendances à trois niveaux d’agrégation.

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