Estimation et inférence des moyennes de domaine soumises à des contraintes qualitatives
Section 6. Conclusions

Table des matières

Nous avons proposé une méthodologie générale d’estimation des moyennes de domaines qui permet d’intégrer les restrictions naturelles entre domaines dans l’estimation fondée sur le plan de sondage. Il a été démontré qu’elle améliore l’estimation et l’inférence, surtout pour les petits domaines. Comme cette nouvelle méthodologie couvre un large éventail d’hypothèses de forme dépassant la monotonicité univariée, elle vise à tirer parti conjointement de plusieurs types d’information qualitative qui apparaissent naturellement pour les données d’enquête. Les formes supplémentaires susceptibles d’être imposées comprennent la convexité ou la log-concavité; cette dernière peut être imposée si l’on croit que les moyennes de domaine de la population augmentent puis diminuent sur un ensemble de domaines. Les travaux futurs des auteurs comprendront un estimateur « monotone relâché » qui sera utilisé quand les moyennes de domaine de population sont « à peu près » monotones dans une séquence de domaines. Pour l’estimateur monotone relâché, on utilise un type de moyenne mobile sur les domaines pour mettre en œuvre les contraintes, ce qui permet à l’estimateur d’avoir quelques écarts par rapport à la monotonicité.

Nous avons également proposé une méthode d’estimation de la variance fondée sur le plan de sondage de l’estimateur, qui nécessite seulement de connaître l’ensemble de contraintes propres à l’échantillon. Il est montré que les méthodes de rééchantillonnage se comportent de la même façon. Pour ce qui est du calcul, l’estimateur est basé sur l’algorithme de projection du cône, qui est efficacement mis en œuvre dans le module coneproj et disponible gratuitement. Dans le cas pratique important d’un ordonnancement partiel, l’estimateur contraint équivaut à un regroupement de domaines voisins, de sorte qu’une fois que l’ensemble de contraintes est identifié par l’algorithme de projection de cône, les calculs subséquents des estimateurs et des estimateurs de la variance peuvent être faits directement par une estimation fondée sur le plan de sondage sur les domaines pertinents.

Comme l’a illustré l’analyse de la NSCG à la section 5, il est aussi important de déterminer les fois où la contrainte imposée pourrait ne pas être valide pour une application d’enquête en particulier. Récemment, Oliva-Aviles, Meyer et Opsomer (2019) ont proposé le critère d’information du cône fondé sur un échantillon comme critère permettant de choisir entre des ajustements contraints et non contraints pour l’estimateur de Wu et coll. (2016). Une réflexion sur la généralisation de cette démarche à la configuration étudiée ici est en cours.

Annexe

La première partie de l’annexe contient les lemmes qui ont servi à obtenir les résultats théoriques présentés dans l’article. Les démonstrations des théorèmes se trouvent à la fin de l’annexe.

Lemme 1. Si un vecteur non nul peut être écrit comme la combinaison linéaire positive de vecteurs non nuls linéairement dépendants, il peut alors être exprimé comme la combinaison linéaire positive d’un sous-ensemble linéairement indépendant de ces vecteurs.

Démonstration. Soit $v$ un vecteur non nul qui peut être écrit comme étant $v = \sum_{i =1}^{k} a_{i} l_{i}$ où $l_{1}, l_{2}, \dots, l_{k}$ sont des vecteurs non nuls et $a_{i} > 0$ pour $i = 1, 2, \dots, k .$ Si cet ensemble de vecteurs n’est pas linéairement indépendant, il existe alors des constantes $b_{1}, \dots, b_{k},$ qui ne sont pas toutes nulles, de sorte que $\sum_{i =1}^{k} b_{i} l_{i} = 0,$ et que pour tout $c \in R,$ $v = \sum_{i =1}^{k} (a_{i} + c b_{i}) l_{i} .$ Soit $c = - \min_{i : b_{i} \neq 0} a_{i} / b_{i};$ alors $a_{i} + c b_{i} \geq 0$ pour $i = 1, \dots, k$ mais pour au moins une valeur $i,$ $a_{i} + c b_{i} = 0.$ Nous avons ensuite écrit $v$ sous la forme d’une combinaison linéaire positive d’un sous-ensemble approprié des vecteurs. Si ce sous-ensemble reste linéairement dépendant, le processus peut être répété.

Lemme 2. Si $A$ est une matrice irréductible $m \times D$ et $B$ est une matrice non singulière $D \times D,$ alors $\tilde{A} = A B$ est aussi irréductible.

Démonstration. Supposons ${\tilde{A}}^{T} c = 0$ pour certains $c \in R^{m},$ $c \geq 0 .$ Alors $B^{T} A^{T} c = 0$ implique que $A^{T} c = 0$ par la non-singularité de $B .$ Parce que $A$ est irréductible, nous devons avoir $c = 0,$ afin que l’origine ne soit pas une combinaison linéaire positive de lignes de $\tilde{A} .$ Supposons ensuite que l’une des lignes de $\tilde{A}$ est une combinaison linéaire positive d’autres lignes de $\tilde{A} .$ Cela signifie que nous pouvons écrire ${\tilde{A}}^{T} b = 0,$ où $b_{j} = - 1$ pour certains $j \in {1, \dots, m}$ et $b_{i} \geq 0,$ $i \neq j .$ Mais ${\tilde{A}}^{T} b = 0$ implique que $B^{T} A^{T} b = 0$ implique que $A^{T} b = 0$ par la non-singularité de $B .$ Parce que nous ne pouvons pas avoir $A^{T} b = 0$ pour cette valeur de $b,$ nous ne pouvons pas avoir de ligne de $\tilde{A}$ qui soit une combinaison linéaire positive d’autres lignes de $\tilde{A} .$ Par conséquent, $\tilde{A}$ est irréductible.

Lemme 3. Soit $A$ une matrice $m \times D .$ De plus, soit $S_{1}$ et $S_{2}$ des matrices diagonales $D \times D$ comportant des éléments non nuls sur la diagonale. Pour tout ensemble $J \subseteq {1, 2, \dots, m},$ soit $V_{i, J}$ l’ensemble de vecteurs dans les lignes $J$ de $A_{i} = A S_{i},$ $i = 1, 2.$ Ensuite, pour tout $J^{*} \subseteq J,$

$L (V_{1, J^{*}}) = L (V_{1, J}) \Leftrightarrow L (V_{2, J^{*}}) = L (V_{2, J}) .$

Démonstration. Soit $A_{i, J} = A_{J} S_{i},$ $i = 1, 2;$ où $A_{J}$ désigne la sous-matrice de $A$ qui contient les lignes dans les positions $J .$ Supposons tout d’abord que $L (V_{1, J^{*}}) = L (V_{1, J}) .$ Puisque $J^{*} \subseteq J,$ on constate aisément que $L (V_{2, J^{*}}) \subseteq L (V_{2, J}) .$ Ensuite, considérons tout $v \in L (V_{2, J})$ de sorte que $v = A_{2, J}^{T} a = S_{2} A_{J}^{T} a$ pour un certain vecteur $a .$ Nous obtenons alors $S_{1} S_{2}^{- 1} v = S_{1} A_{J}^{T} a \in L (V_{1, J}) .$ Par hypothèse, il existe un vecteur $b$ tel que $S_{1} S_{2}^{- 1} v = S_{1} A_{J^{*}}^{T} b .$ Par conséquent, $v = S_{2} A_{J^{*}}^{T} b \in L (V_{2, J^{*}}) .$ Alors, $L (V_{2, J}) \subseteq L (V_{2, J^{*}}) .$ De façon analogue, il s’ensuit que $L (V_{2, J^{*}}) = L (V_{2, J})$ implique $L (V_{1, J^{*}}) = L (V_{1, J}) .$

Lemme 4. Selon les hypothèses A1 à A5, les énoncés suivants s’appliquent :

(i)

Les $N^{- 1} {\hat{t}}_{d}$ sont bornés uniformément.

(ii)

Les $N^{- 1} {\hat{N}}_{d}$ possèdent une borne supérieure uniforme et une borne inférieure strictement positive uniformément.

(iii)

var $(N^{- 1} {\hat{t}}_{d}) = O (n^{- 1})$ et var $(N^{- 1} {\hat{N}}_{d}) = O (n^{- 1}) .$

(iv)

$E [{(N^{- 1} {\hat{t}}_{d} - r_{d} μ_{d})}^{2}] = O (n^{- 1})$ et $E [{(N^{- 1} {\hat{N}}_{d} - r_{d})}^{2}] = O (n^{- 1}) .$

Démonstration.

(i)

Notons que

$\frac{| {\hat{t}}_{d} |}{N} = | \frac{\sum_{k \in s_{d}} y_{k} / π_{k}}{N} | \leq \frac{\sum_{k \in U} | y_{k} |}{λ N}$

qui ne dépend pas de

s,

et qui est borné indépendamment de

N

selon l’hypothèse A2.

(ii)

À partir des hypothèses A4 et A5, nous constatons que

$\frac{ε n}{D N} \leq \frac{n_{d}}{N} \leq \frac{{\hat{N}}_{d}}{N} = N^{- 1} \sum_{k \in s_{d}} 1 / π_{k} \leq λ^{- 1} N^{- 1} N_{d} \leq λ^{- 1},$

où la borne inférieure et la borne supérieure ne dépendent pas de

s,

et sont bornées pour tous les

N

par les hypothèses A1 et A4.

(iii)

Notons que

$n var (N^{- 1} {\hat{t}}_{d}) = n var (N^{- 1} \sum_{k \in s_{d}} y_{k} / π_{k}) \leq \frac{\sum_{k \in U_{d}} y_{k}^{2}}{λ^{2} N} (\frac{n}{N} + n \max_{k, l \in U_{d} : k \neq l} | Δ_{k l} |)$

qui est borné selon les hypothèses A2, A4 et A5. En établissant

y_{k} \equiv 1

et en suivant un argument analogue, on peut montrer que

n var (N^{- 1} {\hat{N}}_{d}) = O (1) .

(iv)

Puisque

$E [{(N^{- 1} {\hat{t}}_{d} - r_{d} μ_{d})}^{2}] = var (N^{- 1} {\hat{t}}_{d}) + {(\frac{N_{d}}{N} {\bar{y}}_{U_{d}} - r_{d} μ_{d})}^{2},$

l’hypothèse A3 et (iii) nous conduisent à la conclusion souhaitée. De manière analogue, nous obtenons

$E [{(N^{- 1} {\hat{N}}_{d} - r_{d})}^{2}] = O (n^{- 1}) .$

Démonstration du théorème 1. Supposons tout d’abord que $Π (z | Ω^{0}) = Π (z | L (V_{J})) = 0 .$ Dans ce cas, tout sous-ensemble $J^{*} \subset J$ tel que $V_{J}$ est linéairement indépendant satisfait $Π (z | L (V_{J^{*}})) = 0 \in {\bar{F}}_{J^{*}} .$ Il suffit alors de choisir $J^{*} \subset J$ de sorte que $V_{J^{*}}$ soit linéairement indépendant et couvre $L (V_{J}) .$ Supposons maintenant que $Π (z | Ω^{0}) \neq 0 .$ Étant donné que $Π (z | Ω^{0}) = Π (z | L (V_{J})) \in {\bar{F}}_{J},$ $Π (z | L (V_{J}))$ peut être écrit comme la combinaison linéaire positive des vecteurs $γ_{j},$ $j \in J .$ De plus, $〈 z - Π (z | L (V_{J})), γ_{j} 〉 = 0$ pour $j \in J .$ À partir du lemme 1, on a $J_{0} \subset J$ de sorte que $V_{J_{0}}$ soit linéairement indépendant et que $Π (z | L (V_{J}))$ puisse être écrit comme une combinaison linéaire positive des vecteurs dans $V_{J_{0}},$ ce qui implique que $Π (z | L (V_{J})) \in {\bar{F}}_{J_{0}} .$ En outre, puisque $〈 z - Π (z | L (V_{J})), γ_{j} 〉 = 0$ pour $j \in J_{0},$ $Π (z | L (V_{J_{0}})) = Π (z | L (V_{J})) .$ Alors, $Π (z | Ω^{0}) = Π (z | L (V_{J_{0}})) .$ Si $L (V_{J_{0}}) = L (V_{J})$ alors $J^{*} = J_{0}$ satisfait toutes les conditions requises. Supposons maintenant que $L (V_{J_{0}}) \subset L (V_{J}) .$ Le fait que $Π (z | L (V_{J_{0}})) = Π (z | L (V_{J}))$ implique que $Π (z | L (V_{J_{1}})) = Π (z | L (V_{J_{0}}))$ pour tout ensemble $J_{1}$ de sorte que $J_{0} \subseteq J_{1} \subseteq J .$ En outre, puisque $Π (z | L (V_{J_{0}})) \in {\bar{F}}_{J_{0}}$ alors $Π (z | L (V_{J_{1}})) \in {\bar{F}}_{J_{1}} .$ Il suffit alors de choisir $J^{*}$ de sorte que $J_{0} \subset J^{*} \subset J$ et $V_{J^{*}}$ soit linéairement indépendant et couvre $L (V_{J}) .$

Démonstration du théorème 2. Pour prouver le théorème, nous commençons par un ensemble $J \notin G_{μ}$ et trouvons les conditions nécessaires pour que cet ensemble appartienne à $G_{s} .$ Ces conditions nécessaires, exprimées sous forme d’inégalités en termes de fonctions lisses et continues de ${\hat{N}}_{d} / N$ et de ${\hat{t}}_{d} / N,$ servent ensuite à borner la probabilité d’intérêt. Enfin, nous utilisons le théorème 5.4.3 qui se trouve dans Fuller (1996) pour montrer que cette probabilité converge vers zéro à un taux de $O (n^{- 1}) .$

Soit $A_{μ},$ $A_{μ, J}$ et $γ_{μ_{d}}$ les versions analogues de $A_{s},$ $A_{s, J}$ et $γ_{s_{d}}$ obtenues en remplaçant ${\tilde{y}}_{s}$ et $W_{s}$ respectivement par $μ$ et $W_{μ} .$ Le lemme 2 permet que $A_{s}$ et $A_{μ}$ soient tous deux irréductibles puisque $A$ l’est.

Supposons tout d’abord que $\emptyset \notin G_{μ}$ et que $J = \emptyset .$ Ensuite, à partir des conditions de (2.8), $\emptyset \in G_{s}$ si et seulement si $〈 {\tilde{z}}_{s}, γ_{s_{j}} 〉 \leq 0$ pour $j = 1, 2, \dots, m .$ Par ailleurs, supposons que $〈 z_{μ}, γ_{μ_{j}} 〉 \leq 0$ pour $j = 1, 2, \dots, m .$ Alors, $\emptyset \in G_{μ},$ ce qui contredit notre choix de $J .$ Par conséquent, il existe une valeur $j_{0}$ telle que $〈 z_{μ}, γ_{μ_{j_{0}}} 〉 > 0.$ Nous obtenons alors

$\begin{array}{l} P (\emptyset \in G_{s}) \leq P (0 \geq 〈 {\tilde{z}}_{s}, γ_{s_{j_{0}}} 〉) & = P (〈 z_{μ}, γ_{μ_{j_{0}}} 〉 - 〈 {\tilde{z}}_{s}, γ_{s_{j_{0}}} 〉 \geq 〈 z_{μ}, γ_{μ_{j_{0}}} 〉) \\ = P ({[\frac{〈 z_{μ}, γ_{μ_{j_{0}}} 〉 - 〈 {\tilde{z}}_{s}, γ_{s_{j_{0}}} 〉}{〈 z_{μ}, γ_{μ_{j_{0}}} 〉}]}^{2} \geq 1) \\ \leq \frac{1}{{〈 z_{μ}, γ_{μ_{j_{0}}} 〉}^{2}} E [{(〈 {\tilde{z}}_{s}, γ_{s_{j_{0}}} 〉 - 〈 z_{μ}, γ_{μ_{j_{0}}} 〉)}^{2}] \end{array}$

où la dernière inégalité est obtenue par l’application de l’inégalité de Markov (voir par exemple Casella et Berger (2002), section 3.6.1). Nous montrons ensuite que la valeur espérée pour le dernier terme est $O (n^{- 1}) .$ Notons que l’expression contenue dans la valeur espérée dans l’inégalité ci-dessus est une fonction du vecteur ${\hat{x}}_{s} = {(N^{- 1} {\hat{t}}_{1}, \dots, N^{- 1} {\hat{t}}_{D}, N^{- 1} {\hat{N}}_{1}, \dots, N^{- 1} {\hat{N}}_{D})}^{T} .$ Soit $f_{1} (\cdot)$ une fonction (qui ne dépend pas de $N)$ et $x_{μ} = (r_{1} μ_{1}, \dots, r_{D} μ_{D}, r_{1}, \dots, r_{D}) .$ Pour appliquer le théorème 5.4.3 de Fuller (1996) avec $α = 1, s = 2$ et $a_{N} = O (n^{- 1 / 2}),$ nous devons d’abord montrer que les conditions suivantes sont satisfaites :

(a) $E [{({\hat{x}}_{s} - x_{μ})}^{2}] = O (n^{- 1}) .$

(b) $f_{1}$ est uniformément bornée dans une sphère fermée et bornée $S .$

$f_{1}^{(i_{1}, \dots, i_{r})} (x_{0}) = \frac{\partial^{r}}{\partial_{x_{i_{1}}} \dots \partial_{x_{i_{r}}}} {f_{1} (x) |}_{x = x_{0}} .$

(d) $x_{μ}$ est un point intérieur de $S .$

(e) Il existe un nombre fini $K$ tel que

$| f_{1}^{(i_{1}, i_{2})} (x) | \leq K pour tous les x \in S,$

$| f_{1}^{(i_{1})} (x_{μ}) | \leq K et | f_{1} (x_{μ}) | \leq K .$

La condition (a) est directement satisfaite par le lemme 4 (iv). De plus, le lemme 4 (i)-(ii) garantit qu’il existe une constante $M > 1$ telle que $| N^{- 1} {\hat{t}}_{d} | \leq M$ et $M^{- 1} \leq N^{- 1} {\hat{N}}_{d} \leq M .$ Il existe donc une sphère fermée et bornée $S$ qui est contenue dans ces bornes constantes. De plus, à partir de l’hypothèse A3, nous pouvons conclure que $x_{μ} \in S,$ par conséquent la condition (d) est satisfaite. Pour montrer que la condition (b) est satisfaite, notons que $f_{1}$ est une fonction continue dans $S$ puisque $W_{s}^{- 1 / 2}$ et ${\tilde{y}}_{s_{d}}$ existent tous deux pour tout $x \in S .$ Par conséquent, le théorème de la valeur extrême (voir le théorème 4.15 dans Rudin (1976)) garantit que $f_{1}$ est uniformément bornée dans $S .$ Les conditions (c) et (e) sont satisfaites puisque $f_{1}$ est une fonction rationnelle continue dans $S,$ ce qui implique que $f_{1}$ est différenciable à l’infini et que ses dérivées sont bornées dans $S .$ Enfin, toutes les conditions (a) à (e) sont satisfaites. Par conséquent, à partir du théorème 5.4.3 de Fuller (1996), nous pouvons conclure que $E [f_{1} (x)] = O (n^{- 1}),$ puisque $f_{1}$ et sa première dérivée par rapport à $N^{- 1} {\hat{t}}_{d}$ et $N^{- 1} {\hat{N}}_{d}$ sont évaluées à zéro à $x_{μ} .$

Prenons maintenant $J \neq \emptyset$ tel que $J \notin G_{μ},$ et supposons que $J \in G_{s} .$ Le théorème 1 garantit que nous pouvons toujours choisir un sous-ensemble $J^{*} \subseteq J$ tel que $J^{*} \in G_{s},$ $V_{s, J^{*}}$ est linéairement indépendant, et $L (V_{s, J^{*}}) = L (V_{s, J}) .$ Notons que $Π ({\tilde{z}}_{s} | L (V_{s, J^{*}})) = A_{s, J^{*}}^{T} {(A_{s, J^{*}} A_{s, J^{*}}^{T})}^{- 1} A_{s, J^{*}} {\tilde{z}}_{s} .$ Soit ${\tilde{b}}_{s, J^{*}} = {(A_{s, J^{*}} A_{s, J^{*}}^{T})}^{- 1} A_{s, J^{*}} {\tilde{z}}_{s} .$ Par conséquent, à partir des conditions de (2.8), nous obtenons que $J \in G_{s}$ implique que ${\tilde{b}}_{s, J^{*}} \geq 0,$ et $〈 {\tilde{z}}_{s} - A_{s, J^{*}}^{T} {\tilde{b}}_{s, J^{*}}, γ_{s_{j}} 〉 \leq 0$ pour tout $j .$ Définissons $b_{μ, J^{*}} = {(A_{μ, J^{*}} A_{μ, J^{*}}^{T})}^{- 1} A_{μ, J^{*}} z_{μ}$ et supposons que $b_{μ, J^{*}} \geq 0,$ et $〈 z_{μ} - A_{μ, J^{*}}^{T} b_{μ, J^{*}}, γ_{μ_{j}} 〉 \leq 0$ pour $j = 1, 2, \dots, m .$ Ces conditions impliqueraient que $J^{*} \in G_{μ},$ ce qui contredit l’hypothèse originale selon laquelle $J \notin G_{μ},$ puisque $L (V_{μ, J^{*}}) = L (V_{μ, J})$ selon le lemme 3. Par conséquent, soit un élément de $b_{μ, J^{*}}$ qui est strictement négatif, soit il existe une valeur $j_{0}$ telle que $〈 z_{μ} - A_{μ, J^{*}}^{T} b_{μ, J^{*}}, γ_{μ_{j_{0}}} 〉 > 0.$ Par conséquent, si $P (J \in G_{s}) = O (n^{- 1})$ est démontré dans un de ces deux scénarios, la preuve sera concluante.

Supposons que le $j_{0}^{e}$ élément de $b_{μ, J^{*}}$ est strictement négatif. C’est-à-dire que $e_{j_{0}}^{T} b_{μ, J^{*}} < 0,$ où $e_{j}$ désigne le vecteur indicateur qui est 1 pour l’entrée $j$ et 0 sinon. Nous obtenons alors

$\begin{array}{l} P (J \in G_{s}) \leq P (e_{j_{0}}^{T} {\tilde{b}}_{s, J^{*}} \geq 0) & = P (e_{j_{0}}^{T} {\tilde{b}}_{s, J^{*}} - e_{j_{0}}^{T} b_{μ, J^{*}} \geq - e_{j_{0}}^{T} b_{μ, J^{*}}) \\ \leq \frac{1}{{(e_{j_{0}}^{T} b_{μ, J^{*}})}^{2}} E [{(e_{j_{0}}^{T} {\tilde{b}}_{s, J^{*}} - e_{j_{0}}^{T} b_{μ, J^{*}})}^{2}] . \end{array}$

Soit $f_{2} ({\hat{x}}_{s})$ l’expression à l’intérieur de la valeur espérée ci-dessus. On peut appliquer un argument analogue à celui utilisé pour la fonction $f_{1}$ à la fonction rationnelle continue $f_{2}$ sur $S,$ pour conclure que $E [f_{2} ({\hat{x}}_{s})] = O (n^{- 1}) .$ Notons que nous avons également utilisé le fait que $A_{s, J^{*}} A_{s, J^{*}}^{T}$ est une matrice inversible pour tout $x \in S .$

Enfin, supposons qu’il existe $j_{0}$ de sorte que $κ_{z_{μ}, j_{0}} = 〈 z_{μ} - A_{μ, J^{*}}^{T} b_{μ, J^{*}}, γ_{μ_{j_{0}}} 〉 > 0,$ et soit $κ_{{\tilde{z}}_{μ}, j_{0}} = 〈 {\tilde{z}}_{s} - A_{s, J^{*}}^{T} {\tilde{b}}_{s, J^{*}}, γ_{s_{j_{0}}} 〉 .$ Nous obtenons alors

$\begin{array}{l} P (J \in {\tilde{G}}_{s}) \leq P (0 \geq κ_{{\tilde{z}}_{s}, j_{0}}) & = P (κ_{z_{μ}, j_{0}} - κ_{{\tilde{z}}_{s}, j_{0}} \geq κ_{z_{μ}, j_{0}}) \\ \leq \frac{1}{κ_{z_{μ}, j_{0}}^{2}} E [{(κ_{{\tilde{z}}_{s}, j_{0}} - κ_{z_{μ}, j_{0}})}^{2}] . \end{array}$

Soit $f_{3} ({\hat{x}}_{s})$ l’expression à l’intérieur de la valeur espérée ci-dessus. On applique un argument analogue à celui utilisé pour les fonctions $f_{1}, f_{2}$ pour conclure que $E [f_{3} ({\hat{x}}_{s})] = O (n^{- 1}) .$

Démonstration du théorème 3. Prenons tout $J \in G_{s}$ et tout domaine $d .$ Notons que la condition $A μ \geq 0$ implique que $\emptyset \in G_{μ} .$ Nous pouvons alors écrire ${\tilde{θ}}_{s_{d}} - {\bar{y}}_{U_{d}}$ comme suit

${\tilde{θ}}_{s_{d}} - {\bar{y}}_{U_{d}} = ({\tilde{y}}_{s_{d}} - {\bar{y}}_{U_{d}}) 1_{J = \emptyset} + \sum_{J_{G} \in G_{μ} \ \emptyset} ({\tilde{θ}}_{s_{d}, J_{G}} - {\bar{y}}_{U_{d}}) 1_{J_{G} = J} + \sum_{J_{G} \in G_{μ}^{c}} ({\tilde{θ}}_{s_{d}, J_{G}} - {\bar{y}}_{U_{d}}) 1_{J_{G} = J},$

où nous avons utilisé ${\tilde{θ}}_{s_{d}, \emptyset} = {\tilde{y}}_{s_{d}} .$ Nous pouvons maintenant écrire un estimateur de variance irréalisable $VA ({\tilde{θ}}_{s_{d}, J})$ comme suit

$VA ({\tilde{θ}}_{s_{d}, J}) = VA ({\tilde{y}}_{s_{d}}) 1_{J = \emptyset} + \sum_{J_{G} \in G_{μ} \ \emptyset} VA ({\tilde{θ}}_{s_{d}, J_{G}}) 1_{J = J_{G}} + \sum_{J_{G} \in G_{μ}^{c}} VA ({\tilde{θ}}_{s_{d}, J_{G}}) 1_{J = J_{G}} .$

Par conséquent,

$\begin{array}{l} VA {({\tilde{θ}}_{s_{d}, J})}^{- 1 / 2} ({\tilde{θ}}_{s_{d}} - {\bar{y}}_{U_{d}}) & = VA {({\tilde{y}}_{s_{d}})}^{- 1 / 2} ({\tilde{y}}_{s_{d}} - {\bar{y}}_{U_{d}}) 1_{J = \emptyset} + \sum_{J_{G} \in G_{μ} \ \emptyset} AV {({\tilde{θ}}_{s_{d}, J_{G}})}^{- 1 / 2} ({\tilde{θ}}_{s_{d}, J_{G}} - {\bar{y}}_{U_{d}}) 1_{J = J_{G}} + \sum_{J_{G} \in G_{μ}^{c}} VA {({\tilde{θ}}_{s_{d}, J_{G}})}^{- 1 / 2} ({\tilde{θ}}_{s_{d}, J_{G}} - {\bar{y}}_{U_{d}}) 1_{J = J_{G}} \\ = [VA {({\tilde{y}}_{s_{d}})}^{- 1 / 2} ({\tilde{y}}_{s} - {\bar{y}}_{U_{d}}) 1_{J = \emptyset} + \sum_{J_{G} \in G_{μ} \ \emptyset} VA {({\tilde{θ}}_{s_{d}, J_{G}})}^{- 1 / 2} ({\tilde{θ}}_{s_{d}, J_{G}} - θ_{U_{d}, J_{G}}) 1_{J = J_{G}} + \sum_{J_{G} \in G_{μ}^{c}} VA {({\tilde{θ}}_{s_{d}, J_{G}})}^{- 1 / 2} ({\tilde{θ}}_{s_{d}, J_{G}} - θ_{U_{d}, J_{G}}) 1_{J = J_{G}}] \\ + [\sum_{J_{G} \in G_{μ} \ \emptyset} VA {({\tilde{θ}}_{s_{d}, J_{G}})}^{- 1 / 2} (θ_{U_{d}, J_{G}} - {\bar{y}}_{U_{d}}) 1_{J = J_{G}}] + [\sum_{J_{G} \in G_{μ}^{c}} VA {({\tilde{θ}}_{s_{d}, J_{G}})}^{- 1 / 2} (θ_{U_{d}, J_{G}} - {\bar{y}}_{U_{d}}) 1_{J = J_{G}}] \\ = c_{1 N} + c_{2 N} + c_{3 N}, \end{array}$

où $θ_{U_{d}, J_{G}}$ est la version de la population de ${\tilde{θ}}_{s_{d}, J_{G}} .$ Un développement en séries de Taylor du premier ordre de ${\tilde{θ}}_{s_{d}, J_{G}}$ et l’hypothèse A6 permettent de conclure que chaque terme de forme

$VA {({\tilde{θ}}_{s_{d}, J_{G}})}^{- 1 / 2} ({\tilde{θ}}_{s_{d}, J_{G}} - θ_{U_{d}, J_{G}})$

converge dans la distribution vers une distribution normale standard. Par conséquent, $c_{1 N}$ converge aussi vers une distribution normale standard. Notons que pour chaque $J_{G} \in G_{μ}^{c},$

$VA {({\tilde{θ}}_{s_{d}, J_{G}})}^{- 1 / 2} (θ_{U_{d}, J_{G}} - {\bar{y}}_{U_{d}}) = {[n VA ({\tilde{θ}}_{s_{d}, J_{G}})]}^{- 1 / 2} [n^{1 / 2} (θ_{U_{d}, J_{G}} - {\bar{y}}_{U_{d}})] = O (n^{1 / 2}),$

tandis que $1_{J = J_{G}} = O_{p} (n^{- 1})$ selon le théorème 2 (puisque $J \in G_{s}) .$ Alors, $c_{3 N} = O_{p} (n^{- 1 / 2}) .$ Notons maintenant que $θ_{U_{d}, J_{G}} - {\bar{y}}_{U_{d}} = O (N^{- 1 / 2})$ quand $J_{G} \in G_{μ} \ \emptyset$ selon l’hypothèse A3. Par conséquent, pour tout $J_{G} \in G_{μ} \ \emptyset,$

ce qui implique que $c_{2 N} = O (\sqrt{\frac{n}{N}})$ (terme de biais). Ainsi, en combinant ces propriétés de $c_{1 N},$ $c_{2 N}$ et $c_{3 N},$ nous pouvons conclure que

$VA {({\tilde{θ}}_{s_{d}, J})}^{- 1 / 2} ({\tilde{θ}}_{s_{d}} - {\bar{y}}_{U_{d}}) \overset{L}{\to} N (B, 1),$

où $B = O (\sqrt{\frac{n}{N}}) .$

Écrivons maintenant l’estimateur de la variance réalisable $\hat{V} ({\tilde{θ}}_{s_{d}, J})$ comme suit

$\hat{V} ({\tilde{θ}}_{s_{d}, J}) = \hat{V} ({\tilde{y}}_{s_{d}}) 1_{J = \emptyset} + \sum_{J_{G} \in G_{μ} \ \emptyset} \hat{V} ({\tilde{θ}}_{s_{d}, J_{G}}) 1_{J = J_{G}} + \sum_{J_{G} \in G_{μ}^{c}} \hat{V} ({\tilde{θ}}_{s_{d}, J_{G}}) 1_{J = J_{G}} .$

Selon l’hypothèse A6, nous obtenons que $\hat{V} ({\tilde{θ}}_{s_{d}, J_{G}}) - VA ({\tilde{θ}}_{s_{d}, J_{G}}) = o_{p} (n^{- 1})$ pour tout $J_{G},$ ce qui implique que $\hat{V} {({\tilde{θ}}_{s_{d}, J})}^{1 / 2} - VA {({\tilde{θ}}_{s_{d}, J})}^{1 / 2} = o_{p} (n^{- 1 / 2}) .$ Par conséquent, une application du théorème de Slutsky permet de remplacer $VA {({\tilde{θ}}_{s_{d}, J})}^{- 1 / 2}$ par $\hat{V} {({\tilde{θ}}_{s_{d}, J})}^{- 1 / 2} .$

Pour prouver la dernière partie du théorème, il suffit de constater que $A μ > 0$ implique $G_{μ} = {\emptyset} .$ Ainsi, le terme $c_{2 N}$ n’existe pas et le terme de biais disparaît.

Bibliographie

Bickel, P.J., et Freedman, D.A. (1984). Asymptotic normality and the bootstrap in stratified sampling. Annals of Statistics, 12, 470-482.

Breidt, F.J., Opsomer, J.D. et Sanchez-Borrego, I. (2016). Nonparametric variance estimation under fine stratification: An alternative to collapsed strata. Journal of the American Statistical Association, 111(514), 822-833.

Casella, G., et Berger, R.L. (2002). Statistical Inference. Duxbury, 2^nd Edition.

Fuller, W. (1996). Introduction to Statistical Time Series. 2^nd Edition, New York: John Wiley & Sons, Inc.

Hájek, J. (1960). Limiting distributions in simple random sampling from a finite population. Publications of the Mathematical Institute of the Hungarian Academy of Sciences, 5, 361-374.

Kott, P.S. (2001). The delete-a-group jackknife. Journal of Official Statistics, 17, 521-526.

Krewski, D., et Rao, J.N.K. (1981). Inference from stratified samples: Properties of the linearization, jackknife and balanced repeated replication methods. Annals of Statistics, 9, 1010-1019.

Liao, X., et Meyer, M.C. (2014). coneproj: an R package for the primal or dual cone projections with routines for constrained regression. Journal of Statistical Software, 61, 1-22.

Meyer, M.C. (1999). An extension of the mixed primal-dual bases algorithm to the case of more constraints than dimensions. Journal of Statistical Planning and Inference, 81, 13-31.

Meyer, M.C. (2013). A simple new algorithm for quadratic programming with applications in statistics. Communications in Statistics, 42, 1126-1139.

Oliva-Aviles, C., Meyer, M.C. et Opsomer, J.D. (2019). Checking validity of monotone domain mean estimators. Canadian Journal of Statistics, 47(2), 315-331.

Opsomer, J.D., Breidt, F.J., White, M. et Li, Y. (2016). Succesive difference replication variance estimation in two-phase sampling. Journal of Survey Statistical Methodology, 4(1), 43-70.

Robertson, T., Wright, F.T. et Dykstra, R.L. (1988). Order Restricted Statistical Inference. New York: John Wiley & Sons, Inc.

Rockafellar, R.T. (1970). Convex Analysis. New Jersey: Princeton University Press.

Rudin, W. (1976). Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw Hill.

Rueda, C., et Lombardía, M. (2012). Small area semiparametric additive monotone models. Statistical Modelling, 12(6), 527-549.

Särndal, C.-E., Swensson, B. et Wretman, J. (1992). Model Assisted Survey Sampling. New York: Springer.

Wu, J., Meyer, M.C. et Opsomer, J.D. (2016). Survey estimation of domain means that respect natural orderings. Canadian Journal of Statistics, 44(4), 431-444.

ISSN : 1712-5685

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Date de modification :: 2020-12-15

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Estimation et inférence des moyennes de domaine soumises à des contraintes qualitatives
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