Estimation et inférence des moyennes de domaine soumises à des contraintes qualitatives
Section 1. Introduction

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De nombreuses enquêtes à grande échelle visent notamment à produire des estimations pour un grand nombre de domaines, dont beaucoup peuvent avoir une petite taille d’échantillon. En général, ces domaines sont créés par la classification croisée de variables catégoriques comme les caractéristiques démographiques, géographiques ou autres caractéristiques similaires d’intérêt. Ainsi, la Current Population Survey des États-Unis (Enquête sur la population actuelle) publie des estimations pour des domaines définis selon le sexe, l’âge, la race ou le niveau de scolarité. De même, l’American Community Survey des États-Unis (Enquête sur les collectivités américaines) produit des estimations détaillées par sexe, âge, race ou origine ethnique pour différents niveaux géographiques (selon la publication). Dans un autre exemple que nous examinerons plus en détail ci-dessous, la National Survey of College Graduates des États-Unis s’intéresse aux estimations obtenues par croisement du niveau et du domaine d’études, de la profession et du genre. Dans certains programmes d’enquête, ces estimations « granulaires » sont souvent aussi importantes que les estimations de niveau supérieur ou de la population.

Or, bien que la taille globale de l’échantillon de ces enquêtes puisse être très grande, la taille des échantillons de nombreux domaines est souvent trop petite pour permettre des estimations fiables. Afin d’éviter ce problème, on pourrait agréger de petits domaines à de plus grandes échelles afin de produire des estimateurs directs plus fiables pour ces échelles, ce qui conduirait à la production d’informations plus agrégées que l’échelle réellement souhaitée. Plutôt que de produire des estimations pour de petits domaines, une autre solution consisterait à passer d’une méthodologie d’estimation fondée sur le plan de sondage à une méthodologie d’estimation fondée sur un modèle, comme des modèles pour petits domaines. Bien que cette méthode soit tout à fait valide sur le plan statistique pour créer des estimations précises à petite échelle, elle est laborieuse et sensible à une éventuelle spécification erronée du modèle. De plus, elle remplace l’erreur d’échantillonnage par une erreur de modèle, de sorte que le mode d’inférence change. C’est pourquoi les organismes statistiques préfèrent s’en tenir à l’approche fondée sur le plan de sondage, qui offre de la robustesse et permet de conserver le mode d’inférence standard des enquêtes.

Dans notre article, nous présentons une approche d’estimation qui s’applique quand on s’attend à ce que des relations « naturelles » ou qualitatives se vérifient pour les moyennes des domaines au niveau de la population. Ces relations peuvent servir à stabiliser les estimations pour un domaine de l’échantillon, tout en conservant le mode d’estimation et d’inférence fondé sur le plan de sondage. Le type de relations que nous étudions ici entraîne des inégalités entre les moyennes des domaines de population. On peut par exemple s’attendre à ce que certains types d’emplois soient mieux rémunérés que d’autres, ou à ce que les titulaires d’un diplôme d’études supérieures dans une discipline donnée aient un salaire plus élevé que les personnes n’en possédant pas. Toutefois, les petits domaines ayant tendance à produire des estimations présentant une grande variabilité, souvent les relations attendues de ce type au niveau de la population ne sont pas respectées au niveau de l’échantillon. Les utilisateurs de données doivent s’attendre au non-respect des relations en raison de la variabilité statistique, mais cela pourrait les amener à remettre en question la fiabilité globale de l’enquête par la production d’estimations « absurdes ».

Il existe une littérature abondante sur les statistiques d’enquête portant sur le calage des estimations d’enquête; on trouve notamment dans Särndal, Swensson et Wretman (1992) une vue d’ensemble de la question. Bien que ces estimateurs reposent également sur des contraintes, il existe d’importantes différences, y compris le fait que les contraintes sont des contraintes d’égalité et qu’elles sont appliquées aux poids d’enquête et non aux estimations elles-mêmes. Nous n’étudierons pas cette question ici, mais il serait possible de combiner calage et estimation contrainte, puisque cette dernière pourrait utiliser les estimations de domaine calées comme point de départ de la construction d’estimations de domaine contraintes. Dans un contexte fondé sur un modèle, Rueda et Lombardía (2012) ont adapté des méthodes d’estimation sur petits domaines pour les cas de moyennes de domaines monotoniquement ordonnées.

Wu, Meyer et Opsomer (2016) ont proposé une méthodologie d’estimation de la moyenne de domaine qui repose sur l’hypothèse de moyennes de domaines de population monotones avec une seule variable catégorique définissant le domaine (par exemple, classes d’âge). En combinant l’information de monotonicité des moyennes de domaine et des estimateurs fondés sur le plan à l’étape de l’estimation, ils ont proposé un estimateur contraint respectant l’hypothèse de monotonie. Il a été montré que cet estimateur améliore la précision et la variabilité des estimations de la moyenne de domaine par rapport aux estimateurs directs, si l’hypothèse de la monotonicité est raisonnable.

Dans cet article, nous généralisons cette constatation en permettant une classe de contraintes beaucoup plus grande entre les moyennes de domaine, qui s’applique dans les configurations multidimensionnelles. De nombreux autres types de contraintes autres que la monotonicité devraient se vérifier entre les moyennes de domaine de population dans les enquêtes réelles, surtout en présence de domaines définis par les classifications croisées de nombreuses variables catégoriques. En général, tout ensemble de contraintes linéaires peut être représenté par une matrice de contraintes, dans laquelle chaque ligne définit une contrainte et chaque colonne une moyenne de domaine. Comme illustration d’une matrice de contraintes, supposons que la variable d’intérêt est le salaire annuel moyen des professeurs des universités d’État instaurées par donation foncière d’une certaine taille. Considérons de plus les domaines générés par la classification croisée des variables du poste $(x_1;$ 1 = non permanent et 2 = permanent) et de trois départements donnés (1 = anthropologie, 2 = anglais et 3 = génie). Si l’on suppose qu’en moyenne, dans une discipline, le corps professoral permanent a des salaires plus élevés que le corps professoral non permanent et que, au sein du corps professoral permanent et non permanent, les membres du corps professoral en génie devraient avoir des salaires plus élevés que ceux des départements d’anthropologie ou d’anglais, nous pouvons alors exprimer les restrictions correspondantes comme suit :

$$\begin{array}{l}A\mu \ge 0\mathrm{,}\text{où}A=\left(\begin{array}{rrrrrr}\hfill -1& \hfill 1& \hfill 0& \hfill 0& \hfill 0& \hfill 0\\ \hfill 0& \hfill 0& \hfill -1& \hfill 1& \hfill 0& \hfill 0\\ \hfill 0& \hfill 0& \hfill 0& \hfill 0& \hfill -1& \hfill 1\\ \hfill -1& \hfill 0& \hfill 0& \hfill 0& \hfill 1& \hfill 0\\ \hfill 0& \hfill 0& \hfill -1& \hfill 0& \hfill 1& \hfill 0\\ \hfill 0& \hfill -1& \hfill 0& \hfill 0& \hfill 0& \hfill 1\\ \hfill 0& \hfill 0& \hfill 0& \hfill -1& \hfill 0& \hfill 1\end{array}\right)\mathrm{,}(1.1)\text{}\\ \end{array}$$

$\mu \mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\mu }_{11}\mathrm{,}{\mu }_{21}\mathrm{,}{\mu }_{12}\mathrm{,}{\mu }_{22}\mathrm{,}{\mu }_{13}\mathrm{,}{\mu }_{23}\right)}^T,$ avec ${\mu }_{ij}$ qui représente la moyenne du domaine correspondant à $x_1\mathrm{<mo>=</mo>}i$ et $x_2\mathrm{<mo>=</mo>}j;$ $0$ étant le vecteur zéro, et l’inégalité étant par élément. Ce document décrit un nouvel estimateur contraint pour les moyennes de domaine de population respectant les contraintes qu’on peut exprimer avec les inégalités matricielles ayant la forme donnée en (1.1). En combinant les estimateurs de moyennes de domaines fondés sur le plan avec ces contraintes de forme, nous proposons un estimateur d’application large qui améliore la précision et la variabilité des estimateurs directs les plus courants.

Le plan de l’article est le suivant. Dans la section 2, nous présenterons formellement l’estimateur contraint et proposerons une méthode fondée sur la linéarisation pour l’estimation de la variance. La section contient également certains scénarios d’intérêt où des contraintes de forme peuvent surgir naturellement dans les données d’enquête. La section 3 énonce les principales propriétés théoriques de l’estimateur contraint. Les hypothèses nécessaires utilisées dans ces calculs théoriques sont également énoncées dans cette section. Les démonstrations des principaux théorèmes et des lemmes auxiliaires sont données en annexe. La section 4 montre par des simulations que l’estimateur contraint améliore l’estimation de la moyenne de domaine et la variabilité par rapport à l’estimateur non contraint, y compris quand la forme supposée ne se vérifie qu’approximativement au niveau de la population. La section 5 montre les avantages de la méthodologie proposée pour les données d’enquête réelles en l’appliquant à la National Survey of College Graduates de 2015. En guise de conclusion, on trouve quelques remarques additionnelles à la section 6.

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