Estimation et inférence des moyennes de domaine soumises à des contraintes qualitatives
Section 2. Estimation contrainte et inférence sur des moyennes de domaine

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2.1  Notation et préliminaires

Soit $U_N$ l’ensemble des éléments dans une population de taille $N.$ Considérons un échantillon $s_N$ de taille $n_N$ tiré de $U_N$ au moyen d’un plan de sondage probabiliste $p_N(\cdot ).$ Soit ${\pi }_{k\mathrm{,}N}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{Pr}\left(k\in s_N\right)$ et ${\pi }_{kl\mathrm{,}N}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{Pr}\left(k\in s_N\mathrm{,}l\in s_N\right)$ respectivement les probabilités d’inclusion du premier et du second ordre. Supposons que ${\pi }_{k\mathrm{,}N}\mathrm{<mo>></mo>}\mathrm{0,}{\pi }_{kl\mathrm{,}N}\mathrm{<mo>></mo>}0$ pour $k\mathrm{,}l\in U_N.$ Pour simplifier la notation, nous adopterons la convention habituelle de suppression de l’indice $N$ à moins qu’il ne soit nécessaire à des fins de clarification. Désignons par ${\left\{U_d\right\}}_{d\mathrm{<mo>=</mo>}1}^D$  une partition de domaine de $U,$ où $D$ est le nombre de domaines et chaque $U_d$ est de taille $N_d.$ De plus, soit $s_d$ le sous-ensemble de taille $n_d$ de $s$ qui appartient à $U_d.$

Pour toute variable étudiée $y,$ ${\overline{y}}_U\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\overline{y}}_{U_1},\dots ,{\overline{y}}_{U_D}\right)}^T$ désigne le vecteur du domaine de population, où

$${\overline{y}}_{U_D}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\displaystyle {\sum }_{k\in U_d}{y}_k}}{N_d}\mathrm{.}(2.1)$$

Nous nous concentrerons sur l’estimateur de Hájek de ${\overline{y}}_{U_D},$ donné par

$${\tilde{y}}_{s_d}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\displaystyle {\sum }_{k\in s_d}{y}_k/{\pi }_k}}{{\widehat{N}}_d}(2.2)$$

avec ${\widehat{N}}_d\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{k\in s_d}}1/{\pi }_k,$ et soit ${\tilde{y}}_s$ le vecteur des estimateurs. Les résultats se vérifieront aussi pour l’estimateur de Horvitz-Thompson avec des modifications mineures, mais cette question ne sera pas traitée explicitement dans ce qui suit.

2.2  Estimateur proposé

Supposons qu’on dispose d’informations concernant les relations entre les moyennes de domaine de population qui peuvent être exprimées avec $m$ contraintes au moyen d’une matrice de contraintes $m\times D$ irréductible $A.$ Une matrice $A$ est irréductible si aucune de ses lignes n’est une combinaison linéaire positive d’autres lignes, et si l’origine n’est pas non plus une combinaison linéaire positive de ses lignes (Meyer, 1999). En pratique, cela signifie qu’il n’y a pas de contraintes redondantes dans $A.$ Pour tirer parti de ${\tilde{y}}_s$ afin d’obtenir un estimateur qui respecte ces contraintes de forme, nous proposons que l’estimateur contraint ${\tilde{\theta }}_s\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\tilde{\theta }}_{s_1}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\tilde{\theta }}_{s_D}\right)}^T$ soit le vecteur unique résolvant le problème contraint des moindres carrés pondérés suivant,

$$\underset{\theta }{\min }{\left({\tilde{y}}_s-\theta \right)}^T{W}_s\left({\tilde{y}}_s-\theta \right)\text{sujet}\text{à}A\theta \ge 0\mathrm{<mo>;</mo>}(2.3)$$

où $W_s$ est la matrice diagonale avec les éléments ${\widehat{N}}_1/\widehat{N}\mathrm{,}{\widehat{N}}_2/\widehat{N}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\widehat{N}}_D/\widehat{N},$ et $\widehat{N}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{d\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^D}{\widehat{N}}_d.$ On peut écrire autrement le problème contraint de l’équation (2.3) pour trouver le vecteur unique ${\tilde{\varphi }}_s$ qui résout

$$\underset{\varphi }{\min }{\Vert {\tilde{z}}_s-\varphi \Vert }^2\text{sujet}\text{à}{A}_s\varphi \ge 0\mathrm{,}(2.4)$$

où ${\tilde{z}}_s\mathrm{<mo>=</mo>}{W}_s^{1/2}{\tilde{y}}_s,$ $\varphi \mathrm{<mo>=</mo>}{W}_s^{1/2}\theta ,$ et $A_s\mathrm{<mo>=</mo>}A{W}_s^{-1/2}.$ La matrice contrainte transformée $A_s$ est également irréductible si $A$ l’est et elle dépend de l’échantillon bien que $A$ n’en dépende pas. La solution ${\tilde{\varphi }}_s$ est la projection de ${\tilde{z}}_s$ sur l’ensemble des vecteurs $\varphi$ qui satisfont la condition $A_s\varphi \ge 0.$ Cet ensemble est un cône convexe polyédrique, appelé le cône de contrainte ${\Omega }_s$ défini par $A_s,$ plus particulièrement

$${\Omega }_s\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\varphi \in R^D\mathrm{<mo>:</mo>}{A}_s\varphi \ge 0\right\}\mathrm{.}(2.5)$$

Nous utilisons la notation ${\tilde{\varphi }}_s\mathrm{<mo>=</mo>}\Pi \left({\tilde{z}}_s|{\Omega }_s\right),$ où $\Pi \left(u|S\right)$ représente la projection de $u$ sur l’ensemble $S,$ c’est-à-dire le vecteur le plus proche dans $S$ de $u.$

On connaît bien les projections sur ces cônes (voir Rockafellar (1970) ou Meyer (1999) pour en savoir plus). Pour ce qui est des travaux présentés dans l’article, les principaux résultats de la théorie de la projection des cônes sont résumés ici. Le cône peut être caractérisé par un ensemble d’arêtes générant le cône, c’est-à-dire qu’un vecteur se trouve dans le cône si et seulement s’il s’agit d’une combinaison linéaire des arêtes avec des coefficients non négatifs. (Imaginons une pyramide avec un sommet à l’origine, s’étendant indéfiniment.) Les sous-ensembles des arêtes définissent les faces du cône, et la projection de ${\tilde{z}}_s$ sur le cône, sur l’une des faces. Après détermination des arêtes définissant cette face, la projection peut être caractérisée comme une projection par la méthode des moindres carrés ordinaires sur l’espace linéaire couvert par ce sous-ensemble d’arêtes. Cette propriété est cruciale pour l’algorithme de projection et pour l’inférence, car la projection sur le cône peut être caractérisée comme une projection linéaire.

Dans les présents travaux, nous projetterons ${\tilde{z}}_s$ sur le cône dual négatif (ou cône polaire) ${\Omega }_s^0$ (Rockafellar, 1970, page 121), défini comme suit :

$${\Omega }_s^0\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\rho \in R^D\mathrm{<mo>:</mo>}\langle \rho \mathrm{,}\varphi \rangle \le \mathrm{0,}\forall \varphi \in {\Omega }_s\right\}\mathrm{,}(2.6)$$

où $\langle u\mathrm{,}v\rangle \mathrm{<mo>=</mo>}{u}^{T}v.$ Autrement dit, le cône polaire est l’ensemble des vecteurs qui forment des angles obtus avec tous les vecteurs dans ${\Omega }_s.$ Le cône polaire est analogue à l’espace orthogonal dans les projections linéaires par la méthode des moindres carrés, en ce sens que la projection d’un vecteur sur le cône polaire est le résidu de sa projection sur le cône des contraintes, et vice versa. Meyer (1999) a montré que les lignes négatives d’une matrice irréductible sont les arêtes (générateurs) du cône polaire, ce qui conduit à la caractérisation suivante du cône polaire dans (2.6):

$${\Omega }_s^0\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\rho \in R^D\mathrm{<mo>:</mo>}\rho \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m}{a}_j{\gamma }_{s_j}\text{}\mathrm{,}{a}_j\ge \mathrm{0,}j\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\mathrm{2,}\dots \mathrm{,}m\right\}\mathrm{,}(2.7)$$

où ${\gamma }_{s_1}\text{}\mathrm{,}{\gamma }_{s_2}\text{}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\gamma }_{s_m}$ sont les lignes de $-A_s.$ Robertson, Wright et Dykstra (1988, page 17) ont établi les conditions nécessaires et suffisantes pour qu’un vecteur ${\tilde{\varphi }}_s$ soit la projection de ${\tilde{z}}_s$ sur ${\Omega }_s.$ Ainsi, ${\tilde{\varphi }}_s\in {\Omega }_s$ résout le problème contraint de (2.4) si et seulement si

$$\langle {\tilde{z}}_s-{\tilde{\varphi }}_s\mathrm{,}{\tilde{\varphi }}_s\rangle \mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{0,}\text{et}\langle {\tilde{z}}_s-{\tilde{\varphi }}_s\mathrm{,}\varphi \rangle \le \mathrm{0,}\forall \varphi \in {\Omega }_s\mathrm{.}$$

De plus, les conditions ci-dessus peuvent être adaptées au cône polaire comme suit : le vecteur ${\tilde{\rho }}_s\in {\Omega }_s^0$ minimise ${\Vert {\tilde{z}}_s-\rho \Vert }^2$ sur ${\Omega }_s^0$ si et seulement si

$$\langle {\tilde{z}}_s-{\tilde{\rho }}_s\mathrm{,}{\tilde{\rho }}_s\rangle \mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{0,}\text{et}\langle {\tilde{z}}_s-{\tilde{\rho }}_s\mathrm{,}{\gamma }_{s_j}\rangle \le 0\text{pour}j\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\mathrm{2,}\dots \mathrm{,}m\mathrm{.}(2.8)$$

On peut utiliser les conditions de (2.8) pour montrer que la projection de ${\tilde{z}}_s$ sur le cône polaire ${\Omega }_s^0$ coïncide avec la projection sur l’espace linéaire généré par les arêtes ${\gamma }_{s_j},$ de sorte que $\langle {\tilde{z}}_s-{\tilde{\rho }}_s\mathrm{,}{\gamma }_{s_j}\rangle \mathrm{<mo>=</mo>}0.$ Cet ensemble d’arêtes peut être vide, ce qui signifie que la projection sur ${\Omega }_s^0$ est égale à la projection sur le vecteur nul. Dans ce cas, le minimum non contraint respecte toutes les contraintes. L’ensemble d’arêtes peut aussi ne pas être unique. Pour mettre en forme ces idées, nous notons $V_{s\mathrm{,}J}\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{{\gamma }_{s_j}\mathrm{<mo>:</mo>}j\in J\right\}$ pour tout $J\subseteq \left\{\mathrm{1,}\mathrm{2,}\dots \mathrm{,}m\right\}$ Nous définissons l’ensemble ${\overline{F}}_{s\mathrm{,}J}$ comme étant

$${\overline{F}}_{s\mathrm{,}J}\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\rho \in R^D\mathrm{<mo>:</mo>}\rho \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{j\in J}}{a}_j{\gamma }_{s_j}\text{}\mathrm{,}{a}_j\ge \mathrm{0,}j\in J\right\}\mathrm{,}(2.9)$$

où ${\overline{F}}_{s\mathrm{,}\varnothing }\mathrm{<mo>=</mo>}0$ par convention. (Techniquement, l’ensemble est la fermeture d’une face du cône.) Autrement dit, ${\overline{F}}_{s\mathrm{,}J}$ est un sous-cône polyédrique fermé de ${\Omega }_s^0$ qui commence à l’origine et est défini par les arêtes dans $V_{s\mathrm{,}J}.$ De plus, soit $L\left(V_{s\mathrm{,}J}\right)$ l’espace linéaire généré par les vecteurs dans $V_{s\mathrm{,}J}.$ Dans Meyer (1999), il est démontré que la projection sur ${\Omega }_s^0$ équivaut à la projection sur $L\left(V_{s\mathrm{,}J}\right)$ pour un ensemble approprié $J.$ Si les lignes de la matrice de contraintes $A$ sont linéairement indépendantes, alors l’ensemble minimal $J$ est unique. Sinon, plus d’un $J$ peut définir l’espace linéaire. Dans ce dernier cas, la projection est tout de même unique (voir le théorème 1 de la section suivante).

Wu et coll. (2016) ont examiné la solution à (2.3) dans le cas particulier d’une relation monotone entre des domaines définis avec une seule variable catégorique. Dans ce cas, la solution équivaut à l’algorithme PAVA (Pool Adjacent Violator Algorithm), qui a une expression explicite en termes de regroupement des domaines voisins. Les résultats théoriques présentés dans Wu et coll. (2016) ont été obtenus au moyen de cette expression explicite et ne s’appliquent donc pas au cas plus général considéré ici. Néanmoins, comme dans le cas de l’exemple simple à six domaines de la section 1 et dans de nombreuses situations d’intérêt pratique, la matrice spécifique $A$ correspondra souvent à un ordonnancement partiel multivarié des moyennes de domaine. Selon un ordonnancement partiel, la solution à la minimisation contrainte de (2.3) équivaut encore une fois à un regroupement de domaines voisins qui respecte les contraintes d’ordonnancement partiel. Voir par exemple dans Robertson et coll. (1988, page 23) une expression explicite de cette expression de domaine regroupée selon un ordonnancement partiel, comprenant la définition du regroupement. Cependant, contrairement à l’algorithme PAVA dans le cas univarié, cela ne donne pas d’algorithme de calcul général pratique. Dans l’article, nous allons permettre l’utilisation d’une matrice de contraintes arbitraire et irréductible $A,$ qui inclura l’ordonnancement partiel et la monotonicité univariée comme cas particuliers.

Une des méthodes possibles de calcul de ${\tilde{\varphi }}_s$ se fonde sur les arêtes du cône de contrainte ${\Omega }_s.$ Cependant, le nombre d’arêtes peut être considérablement plus grand que le nombre de contraintes pour les grandes valeurs de $D,$ surtout quand il y a plus de contraintes que de domaines (voir Meyer, 1999). En outre, étant donné l’absence de solution sous forme fermée générale pour les arêtes de ${\Omega }_s$ (quand $m\mathrm{<mo>></mo>}D),$ les arêtes doivent être calculées numériquement dans ce cas. En raison des ressources de calcul importantes nécessaires à cette tâche, la méthode est inefficace pour calculer ${\tilde{\varphi }}_s.$ Un algorithme plus efficace basé sur le calcul de la projection sur le cône polaire a été mis au point : l’algorithme de projection du cône (APC) (Meyer, 2013). Cette autre méthode tire parti des arêtes facilement trouvables du cône polaire ${\gamma }_{s_j},$ des conditions de (2.8) et du fait que $\Pi \left({\tilde{z}}_s|{\Omega }_s\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{z}}_s-\Pi \left({\tilde{z}}_s|{\Omega }_s^0\right).$ Ce dernier fait est un élément essentiel des démonstrations des principaux résultats théoriques présentés dans notre article. L’APC a été mis en œuvre sur le logiciel R dans le module coneproj. Pour des précisions, voir Liao et Meyer (2014).

Dans les situations où les contraintes correspondent à un ordonnancement complet ou partiel, la solution de l’APC correspond encore une fois au regroupement de domaines. On peut ensuite calculer explicitement les estimations de moyennes de domaine comme moyennes de domaine fondées sur l’échantillon pour les domaines regroupés déterminés par l’APC. Cela facilite grandement l’intégration de cette méthodologie dans les procédures d’estimation des enquêtes, parce que les définitions des domaines regroupés peuvent être facilement communiquées dans les instructions accompagnant la publication d’un ensemble de données d’enquête, et qu’on peut calculer les estimations sans nécessiter d’accès à un logiciel spécialisé.

2.3  Estimation de la variance de ${\tilde{\theta }}_{s_d}$

Il est compliqué d’estimer correctement la variance de ${\tilde{\theta }}_{s_d},$ car la projection de ${\tilde{z}}_s$ sur ${\Omega }_s^0$ (ou sur ${\Omega }_s\partial )$ peut ne pas toujours se faire sur le même espace linéaire $L\left(V_{s\mathrm{,}J}\right)$ pour différents échantillons $s.$ Pour mieux le comprendre, nous définissons $G_s$ comme étant l’ensemble de tous les sous-ensembles $J\subseteq \left\{\mathrm{1,}\mathrm{2,}\dots \mathrm{,}m\right\}$ de sorte que $\Pi \left({\tilde{z}}_s|{\Omega }_s^0\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\Pi \left({\tilde{z}}_s|L\left(V_{s\mathrm{,}J}\right)\right)\in {\overline{F}}_{s\mathrm{,}J},$ selon la définition qui se trouve dans (2.9). Comme nous l’avons indiqué plus haut, il pourrait y avoir différents ensembles $J_1$ et $J_2$ tels que la projection sur le cône polaire ${\Omega }_s^0$ soit égale à la projection sur $L\left(V_{s\mathrm{,}{J}_1}\right)$ ou $L\left(V_{s\mathrm{,}{J}_2}\right).$ Toutefois, quel que soit l’ensemble choisi, la projection ${\tilde{\rho }}_s$ est unique.

Pour illustrer ce qui précède, considérons les restrictions suivantes avec trois domaines seulement : la première moyenne de domaine doit être inférieure ou égale à la deuxième moyenne de domaine et la troisième moyenne de domaine doit être supérieure ou égale à la moyenne des deux premières moyennes de domaine. Par conséquent, la matrice de contraintes $A$ peut être exprimée comme suit :

$$A\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{rrr}\hfill -1& \hfill 1& \hfill 0\\ \hfill -1& \hfill -1& \hfill 2\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Supposons qu’on observe que ${\tilde{y}}_{s_1}\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{y}}_{s_2}\mathrm{<mo><</mo>}{\tilde{y}}_{s_3}.$ Le vecteur transformé ${\tilde{z}}_s$ possède des éléments de forme

$${\tilde{z}}_{s_1}\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{\frac{{\widehat{N}}_1}{\widehat{N}}}{\tilde{y}}_{s_1}\mathrm{,}{\tilde{z}}_{s_2}\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{\frac{{\widehat{N}}_2}{\widehat{N}}}{\tilde{y}}_{s_2},{\tilde{z}}_{s_3}\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{\frac{{\widehat{N}}_3}{\widehat{N}}}{\tilde{y}}_{s_3}\mathrm{.}$$

Dans ce cas, on voit aisément que $\Pi \left({\tilde{z}}_s|{\Omega }_s^0\right)\mathrm{<mo>=</mo>}0.$ Dans le processus de calcul à l’aide de l’algorithme général, nous projetons ${\tilde{z}}_s$ sur chacun des $2^2\mathrm{<mo>=</mo>}4$ espaces linéaires générés par les arêtes du cône polaire

$${\gamma }_{s_1}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(\sqrt{\frac{\widehat{N}}{{\widehat{N}}_1}}\mathrm{,}-\sqrt{\frac{\widehat{N}}{{\widehat{N}}_2}}\mathrm{,}0\right)}^T\mathrm{,}{\gamma }_{s_2}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(\sqrt{\frac{\widehat{N}}{{\widehat{N}}_1}}\mathrm{,}\sqrt{\frac{\widehat{N}}{{\widehat{N}}_2}}\mathrm{,}-2\sqrt{\frac{\widehat{N}}{{\widehat{N}}_3}}\right)}^T\mathrm{.}$$

On constate ainsi que les conditions $\Pi \left({\tilde{z}}_s|{\Omega }_s^0\right)\mathrm{<mo>=</mo>}0\mathrm{<mo>=</mo>}\Pi \left({\tilde{z}}_s|L\left(V_{s\mathrm{,}J}\right)\right)\in {\overline{F}}_{s\mathrm{,}J}$ sont satisfaites uniquement pour $J\mathrm{<mo>=</mo>}\varnothing$ et $J\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{1\right\},$ ce qui implique que $G_s\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\varnothing \mathrm{,}\left\{1\right\}\right\}.$ De plus, notons que $V_{s\mathrm{,}\varnothing }$ et $V_{s\mathrm{,}\left\{1\right\}}$ ne couvrent pas les mêmes espaces linéaires, ce qui complique l’estimation de la variance de ${\tilde{\theta }}_{s_d}.$ Dans le cas fondé sur un modèle avec des variables continues, l’ensemble des vecteurs de l’échantillon où ces scénarios se produisent est nul. Ils ne peuvent cependant pas être exclus de la configuration fondée sur le plan.

Nous proposons un estimateur de la variance pour ${\tilde{\theta }}_{s_d}$ qui repose sur les ensembles dans $G_s$ et est fondé sur des méthodes de linéarisation. Considérons tout ensemble fixe $J\in G_s$ et supposons que $P_{s\mathrm{,}J}$ soit la matrice de projection correspondant à l’espace linéaire $L\left(V_{s\mathrm{,}J}\right),$ où $P_{s\mathrm{,}\varnothing }$ est la matrice de zéros par convention. En sélectionnant $J,$ on peut alors exprimer ${\tilde{\rho }}_s$ sous la forme $P_{s\mathrm{,}J}{\tilde{z}}_s,$ ce qui implique que ${\tilde{\theta }}_s$ peut être écrit comme étant ${\tilde{\theta }}_{s\mathrm{,}J}\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{y}}_s-W_s^{-1/2}{P}_{s\mathrm{,}J}{W}_s^{1/2}{\tilde{y}}_s,$ où l’on ajoute l’indice $J$ dans ${\tilde{\theta }}_s$ pour tenir compte du fait que l’expression dépend du $J$ choisi.

Nous constatons alors que ${\tilde{\theta }}_{s\mathrm{,}J}$ est une fonction non linéaire lisse des ${\widehat{t}}_d$ et des ${\widehat{N}}_d,$ où ${\widehat{t}}_d$ est l’estimateur de Horvitz-Thompson de $t_d\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{k\in U_d}}{y}_k.$ Par conséquent, en traitant $J$ comme une valeur fixe, nous obtenons la variance asymptotique de ${\tilde{\theta }}_{s_d\mathrm{,}J}$ par linéarisation en séries de Taylor (Särndal et coll., 1992, page 175) comme suit :

$$\text{VA}\left({\tilde{\theta }}_{s_d\mathrm{,}J}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\in U}}{\displaystyle \sum _{l\in U}}{\Delta }_{kl}\frac{u_k}{{\pi }_k}\frac{u_l}{{\pi }_l}\mathrm{,}(2.10)$$

où ${\Delta }_{kl}\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_{kl}-{\pi }_k{\pi }_l$ et

$$u_k\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^D}{\alpha }_i{y}_k{1}_{k\in U_i}+{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^D}{\beta }_i{1}_{k\in U_i}\text{pour}k\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\mathrm{2,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{,}$$

$1_A$ étant la variable d’indicateur de l’événement $A,$ et

$${\alpha }_i\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\partial {\tilde{\theta }}_{s_d\mathrm{,}J}}{\partial {\widehat{t}}_i}|{}_{\begin{array}{c}\left({\widehat{t}}_1,\dots ,{\widehat{t}}_D,{\widehat{N}}_1,\dots ,{\widehat{N}}_D\right)=\left(t_1,\dots ,t_D,N_1,\dots ,N_D\right)\end{array}}\mathrm{<mo>;</mo>}{\beta }_i\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\partial {\tilde{\theta }}_{s_d\mathrm{,}J}}{\partial {\widehat{N}}_i}|{}_{\left({\widehat{t}}_1,\dots ,{\widehat{t}}_D,{\widehat{N}}_1,\dots ,{\widehat{N}}_D\right)=\left(t_1,\dots ,t_D,N_1,\dots ,N_D\right)}.$$

De plus, un estimateur convergent de la variance asymptotique dans (2.10) est donné par

$$\widehat{V}\left({\tilde{\theta }}_{s_d\mathrm{,}J}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\in s}}{\displaystyle \sum _{l\in s}}\frac{{\Delta }_{kl}}{{\pi }_{kl}}\frac{{\widehat{u}}_k}{{\pi }_k}\frac{{\widehat{u}}_l}{{\pi }_l}\mathrm{,}(2.11)$$

où

$${\widehat{u}}_k\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>}1}^D}{\widehat{\alpha }}_i{y}_k{1}_{k\in s_i}+{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^D}{\widehat{\beta }}_i{1}_{k\in s_i}\text{pour}k\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\mathrm{2,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{,}$$

et où l’on obtient ${\widehat{\alpha }}_i,{\widehat{\beta }}_i$ à partir de ${\alpha }_i\mathrm{,}{\beta }_i$ en substituant les estimateurs de Horvitz-Thompson appropriés pour chaque total de population. Nous proposons l’estimateur dans (2.11), calculé à la valeur de $J$ obtenue dans l’échantillon, comme estimateur de la variance de ${\tilde{\theta }}_{s_d}.$

Afin de donner un exemple clair de l’estimateur de la variance proposé pour ${\tilde{\theta }}_{s_d},$ considérons le scénario présenté au début de la sous-section. Étant donné que $G_s\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\varnothing \mathrm{,}\left\{1\right\}\right\},$ il peut être intéressant de calculer la variance estimée de ${\tilde{\theta }}_{s_d\mathrm{,}J}$ pour $J\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{1\right\}$ et une certaine valeur $d.$ La matrice $P_{s\mathrm{,}\left\{1\right\}}$ est la matrice de projection correspondant à l’espace linéaire généré par ${\gamma }_{s_1},$ donné par

$$P_{s\mathrm{,}\left\{1\right\}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\widehat{N}}_1+{\widehat{N}}_2\right)}^{-1}\left(\begin{array}{ccc}{\widehat{N}}_2& -\sqrt{{\widehat{N}}_1{\widehat{N}}_2}& 0\\ -\sqrt{{\widehat{N}}_1{\widehat{N}}_2}& {\widehat{N}}_1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Notons que $P_{s\mathrm{,}\left\{1\right\}}$ est une fonction de $\left({\widehat{N}}_1,{\widehat{N}}_2,{\widehat{N}}_3\right)$ parce que ${\gamma }_{s_1}$ l’est. Au moyen de l’équation ci-dessus, on peut simplifier ${\tilde{\theta }}_{s\mathrm{,}\left\{1\right\}}$ sous la forme suivante,

$$\begin{array}{ll}{\tilde{\theta }}_{s\mathrm{,}\left\{1\right\}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\tilde{\theta }}_{s_1,\left\{1\right\}},{\tilde{\theta }}_{s_2,\left\{1\right\}},{\tilde{\theta }}_{s_3,\left\{1\right\}}\right)}^T\hfill & ={\left(\frac{{\widehat{N}}_1{\tilde{y}}_{s_1}+{\widehat{N}}_2{\tilde{y}}_{s_2}}{{\widehat{N}}_1+{\widehat{N}}_2}\mathrm{,}\frac{{\widehat{N}}_1{\tilde{y}}_{s_1}+{\widehat{N}}_2{\tilde{y}}_{s_2}}{{\widehat{N}}_1+{\widehat{N}}_2}\mathrm{,}{\tilde{y}}_{s_3}\right)}^T\hfill \\ \hfill & ={\left(\frac{{\widehat{t}}_1+{\widehat{t}}_2}{{\widehat{N}}_1+{\widehat{N}}_2}\mathrm{,}\frac{{\widehat{t}}_1+{\widehat{t}}_2}{{\widehat{N}}_1+{\widehat{N}}_2}\mathrm{,}\frac{{\widehat{t}}_3}{{\widehat{N}}_3}\right)}^T\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

Ainsi, si l’on a un domaine $d,$ on peut dériver les $\alpha$ et les $\beta$ en prenant les dérivées partielles de ${\tilde{\theta }}_{s_d\mathrm{,}\left\{1\right\}}$ par rapport aux $\widehat{t}$ et aux $\widehat{N},$ et en évaluant ces dérivés aux $t$ et aux $N.$ Si $d\mathrm{<mo>=</mo>}2,$ on obtient

$$\begin{array}{llll}{\alpha }_1\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\alpha }_2\hfill & =\frac{1}{N_1+N_2}\mathrm{,}\hfill & {\alpha }_3\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{0,}\hfill \\ {\beta }_1\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\beta }_2\hfill & =-\frac{t_1+t_2}{{\left(N_1+N_2\right)}^2}\mathrm{,}\hfill & {\beta }_3\mathrm{<mo>=</mo>}0.\hfill \end{array}$$

Les $\widehat{\alpha }$ et les $\widehat{\beta }$ sont calculés par substitution des estimateurs de Horvitz-Thompson dans les équations ci-dessus, qui servent ensuite à évaluer ${\widehat{u}}_k$ pour chaque $k$ dans l’échantillon $s.$ On peut alors enfin calculer l’estimateur de la variance proposé dans (2.11).

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