Estimation et inférence des moyennes de domaine soumises à des contraintes qualitatives
Section 3. Propriétés de l’estimateur contraint

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3.1  Hypothèses

Pour obtenir nos résultats théoriques, nous établissons des hypothèses sur le comportement asymptotique de la population $U_N$ et sur le plan de sondage $p_N:$

$$\underset{N\to \infty }{{\displaystyle \lim sup}}{n}_N\underset{k\mathrm{,}l\in U_N\text{}\mathrm{<mo>:</mo>}k\ne l}{{\displaystyle \max }}\left|{\Delta }_{kl}\right|\mathrm{<mo><</mo>}\infty \mathrm{.}$$

$${\text{var}}_{p_N}{\left({\widehat{x}}_{s_N}\right)}^{-1/2}\left({\widehat{x}}_{s_N}-{\overline{x}}_{U_N}\right)\stackrel{d}{{\displaystyle \to }}N\left(0\mathrm{,}{I}_{2D}\right)\mathrm{,}$$

$$\widehat{\mathrm{var}}\left({\widehat{x}}_{s_N}\right)-{\text{var}}_{p_N}\left({\widehat{x}}_{s_N}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{o}_p\left(n_N^{-1}\right)\mathrm{<mo>;</mo>}$$

L’hypothèse A1 établit que le nombre de domaines demeure constant quand la taille de la population change. La condition de l’hypothèse A2 vise à assurer la convergence par rapport au plan de sondage des estimateurs de Horvitz-Thompson aux niveaux de la population et du domaine. Notons en particulier que cette condition est satisfaite quand la variable $y$ est limitée, ce qui peut être supposé naturellement pour de nombreux types de variables d’enquête. L’hypothèse A3 garantit que les moyennes et les tailles de domaine de population convergent respectivement vers les valeurs limites ${\mu }_d$ et $r_d.$ Par ailleurs, les valeurs $\mu$ peuvent être considérées comme des espérances de superpopulation pour une distribution générant les éléments de population $y_k$ sous forme de tirages indépendants. Nos résultats théoriques dépendent en fait de la validité des contraintes supposées pour ces espérances de superpopulation et non pas pour les moyennes de domaine de population. Bien que cela puisse sembler inadéquat compte tenu de notre intérêt pour l’utilisation des contraintes au niveau de la population, l’hypothèse A3 garantit que la forme des moyennes de domaine soit raisonnablement près de la forme des moyennes de superpopulation. Selon l’hypothèse A4, la taille de l’échantillon dans chaque domaine ne peut pas être inférieure à une fraction du ratio $n/D,$ ce qu’on obtiendrait en divisant également la taille de l’échantillon sur tous les domaines. Cette hypothèse vise à ce que les moments des fonctions lisses de $N^{-1}{\widehat{t}}_d$ et que les $N^{-1}{\widehat{N}}_d$ soient bornés. De plus, elle établit que la taille de l’échantillon est non aléatoire. Cela peut être adapté à une taille d’échantillon aléatoire en imposant certaines conditions à la taille d’échantillon espérée $E_p\left(n\right).$ L’hypothèse A5 établit que les bornes inférieures sont non nulles pour les probabilités d’inclusion du premier et du second ordre, et que les covariances du plan ${\Delta }_{kl}$ doivent converger vers zéro au moins aussi rapidement que $n^{-1}.$ L’hypothèse A6 garantit une normalité asymptotique pour ${\widehat{x}}_{s_N},$ nécessaire au maintien des propriétés de normalité sur les estimateurs non linéaires qui sont exprimés comme des fonctions lisses de ${\widehat{x}}_{s_N}.$ Elle sert également à établir les conditions de convergence de l’estimateur de variance-covariance. On trouve dans la littérature les résultats de normalité asymptotique pour des plans en particulier, notamment le résultat classique de Hájek (1960) pour l’échantillonnage de Poisson et l’échantillonnage aléatoire simple sans remise. Comme autres démonstrations du théorème central limite pour un échantillonnage stratifié, citons Krewski et Rao (1981), qui ont étudié des échantillons stratifiés à probabilités inégales avec remise, Bickel et Freedman (1984), qui ont considéré un échantillonnage aléatoire simple sans remise stratifié, et Breidt, Opsomer et Sanchez-Borrego (2016), qui ont examiné des plans à généraux à probabilités inégales, avec ou sans remise.

3.2  Principaux résultats

Nous dérivons les propriétés théoriques de l’estimateur contraint en nous concentrant sur la projection sur ${\Omega }_s^0$ au lieu de ${\Omega }_s.$ Rappelons que les arêtes du cône polaire ${\Omega }_s^0$ sont tout simplement les $m$ lignes de $-A_s,$ notées par ${\gamma }_{s_j},$ et que ${\tilde{\rho }}_s,$ la projection sur ${\Omega }_s^0,$ peut être décrite par les ensembles $J\in G_s.$ Le fait de pouvoir caractériser la propriété selon laquelle $J\in G_s$ sous la forme de vecteurs dans $V_{s\mathrm{,}J}$ nous permet d’obtenir des taux de convergence théoriques, qui servent à développer les propriétés d’inférence de l’estimateur contraint. Quand l’ensemble $J\in G_s$ produit un ensemble de vecteurs linéaires indépendants $V_{s\mathrm{,}J},$ il est alors simple d’écrire ${\tilde{\rho }}_s$ comme étant $P_{s\mathrm{,}J}{\tilde{z}}_s\mathrm{<mo>=</mo>}{A}_{s\mathrm{,}J}^T{\left(A_{s\mathrm{,}J}{A}_{s\mathrm{,}J}^T\right)}^{-1}{A}_{s\mathrm{,}J}{\tilde{z}}_s,$ où $A_{s\mathrm{,}J}$ désigne la matrice formée par les lignes de $A_s$ dans les positions $J.$ Par conséquent, selon les conditions décrites dans (2.8), $J\in G_s$ si et seulement si

$$\langle {\tilde{z}}_s-P_{s\mathrm{,}J}{\tilde{z}}_s\mathrm{,}{\gamma }_{s_j}\rangle \le 0\text{pour}j\notin J\mathrm{,}\text{et}{\left(A_{s\mathrm{,}J}{A}_{s\mathrm{,}J}^T\right)}^{-1}{A}_{s\mathrm{,}J}{\tilde{z}}_s\ge 0(3.1)$$

dans ce cas, où cette dernière condition permet que $\Pi \left({\tilde{z}}_s|L\left(V_{s\mathrm{,}J}\right)\right)\in {\overline{F}}_{s\mathrm{,}J}.$ Cependant, il est possible que l’ensemble $J\in G_s$ produise un ensemble de vecteurs linéairement dépendants $V_{s\mathrm{,}J}.$ Dans ce cas, le théorème 1 ci-dessous garantit qu’il est toujours possible de trouver un sous-ensemble $J^{*}\subset J$ de sorte que $V_{s\mathrm{,}{J}^{*}}$ soit un ensemble linéairement indépendant qui couvre le même espace linéaire que $V_{s\mathrm{,}J}$ et qui satisfasse $J^{*}\in G_s.$ On peut ainsi établir des conditions analogues comme dans (3.1) au moyen de $J^{*}$ plutôt que $J.$

Théorème 1. Soit $A$  une matrice irréductible $m\times D$  avec des lignes $-{\gamma }_j.$  Soit ${\Omega }^0$  le cône polaire correspondant. Pour tout ensemble $J\subseteq \left\{\mathrm{1,}\mathrm{2,}\dots \mathrm{,}m\right\},$  définissons $V_J\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{{\gamma }_j\mathrm{<mo>:</mo>}j\in J\right\}.$  Ensuite, soit ${\overline{F}}_J$  le sous-cône de ${\Omega }^0$  généré par les arêtes données par l’ensemble $J.$  Pour un vecteur $z,$  définissons son ensemble $G$  formé par tous les ensembles $J\subseteq \left\{\mathrm{1,}\mathrm{2,}\dots \mathrm{,}m\right\}$  de sorte que $\Pi \left(z|{\Omega }^0\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\Pi \left(z|L\left(V_J\right)\right)\in {\overline{F}}_J.$  Supposons que $J$  est un ensemble non vide de sorte que $V_J$  soit qui un ensemble linéairement dépendant et $J\in G$ . Ensuite, on a $J^{*}\subset J$  de sorte que $V_{J^{*}}$  soit un ensemble linéairement indépendant, $L\left(V_{J^{*}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}L\left(V_J\right),$  et $J^{*}\in G.$

Tous les concepts ci-dessus qui ont été définis au niveau de l’échantillon peuvent être définis de manière analogue au niveau de la superpopulation. En particulier, soit $G_{\mu }$ l’ensemble de tous les sous-ensembles $J\subseteq \left\{\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}m\right\}$ de sorte que $\Pi \left(z_{\mu }|{\Omega }_{\mu }^0\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\Pi \left(z_{\mu }|L\left(V_{\mu \mathrm{,}J}\right)\right)\in {\overline{F}}_{\mu \mathrm{,}J},$ où $z_{\mu },$ ${\Omega }_{\mu }^0,$ $V_{\mu \mathrm{,}J}$ et ${\overline{F}}_{\mu \mathrm{,}J}$ soient les versions analogues de ${\tilde{z}}_s,$ ${\Omega }_s^0,$ $V_{s\mathrm{,}J}$ et ${\overline{F}}_{s\mathrm{,}J}$ qu’on obtient en remplaçant ${\tilde{y}}_s$ et $W_s$ par $\mu \mathrm{<mo>=</mo>}\left({\mu }_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\mu }_D\right)$ et $W_{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}\text{diag}\left(r_1\mathrm{,}{r}_2\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{r}_D\right).$ On peut établir des conditions nécessaires et suffisantes comme celles de (2.8) de manière analogue pour caractériser le vecteur ${\rho }_{\mu }$ comme étant la projection sur ${\Omega }_{\mu }^0.$

Rappelons que l’ensemble $G_s$ peut varier selon les échantillons. Ajoutons que les petits échantillons très variables sont susceptibles de choisir des ensembles $J\in G_s$ qui ne sont pas choisis dans $G_{\mu }$ qui est « asymptotiquement correct ». Cependant, à mesure que la taille de l’échantillon augmente, ces choix incorrects sont moins susceptibles de se produire, car les moyennes de domaine de l’échantillon se rapprochent des moyennes limites de domaine de la population. Le théorème 2 précise cette idée en établissant que les ensembles qui ne sont pas dans $G_{\mu }$ ont une probabilité asymptotiquement négligeable d’être choisis dans l’échantillon.

Théorème 2. Considérons tout ensemble $J\subseteq \left\{\mathrm{1,}\mathrm{2,}\dots \mathrm{,}m\right\}$  de sorte que $J\notin G_{\mu }.$  Alors, $P\left(J\in G_s\right)\mathrm{<mo>=</mo>}O\left(n^{-1}\right).$

Le théorème 3 ci-dessous montre la normalité asymptotique de l’estimateur contraint et justifie l’utilisation de l’estimateur de la variance par linéarisation pour la projection observée (ou le regroupement en cas d’ordonnancement partiel) pour l’inférence asymptotique pour la moyenne d’une population finie. Il généralise le théorème 2 de Wu et coll. (2016), qui considérait uniquement les restrictions monotones. Nous constatons la présence du terme de biais $B$ dans la moyenne de la distribution asymptotique. Cette situation non souhaitable se produit quand on a plus d’un ensemble $J\in G_{\mu }$ de sorte que les arêtes correspondantes dans $V_{\mu \mathrm{,}J}$ couvrent des espaces linéaires différents, ou de façon équivalente, que la projection sur le cône polaire ${\Omega }_{\mu }^0$ appartienne à l’intersection de ces espaces linéaires différents. Cependant, quand les contraintes sont strictes, c’est-à-dire $A\mu \mathrm{<mo>></mo>}0,$ le vecteur $z_{\mu }$ est strictement à l’intérieur du cône de contrainte ${\Omega }_{\mu },$ et dans ce cas, on n’a pas d’ensemble $J\ne \varnothing$ de sorte que $\Pi \left(z_{\mu }|L\left(V_{\mu \mathrm{,}J}\right)\right)\mathrm{<mo>=</mo>}0.$ Dans ce cas, le terme de biais disparaît.

Théorème 3. Supposons que $\mu$  satisfait $A\mu \ge 0.$  Considérons tout ensemble $J$  de sorte que $J\in G_s.$  Alors,

$$\widehat{V}{\left({\tilde{\theta }}_{s_d\mathrm{,}J}\right)}^{-1/2}\left({\tilde{\theta }}_{s_d}-{\overline{y}}_{U_d}\right)\stackrel{L}{{\displaystyle \to }}N\left(B\mathrm{,}1\right)\mathrm{,}$$

pour tout $d\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\mathrm{2,}\dots \mathrm{,}D,$  où $B\mathrm{<mo>=</mo>}O\left(\sqrt{\frac{n}{N}}\right)$  est un terme de biais qui disparaît quand $A\mu \mathrm{<mo>></mo>}0.$

Le théorème 3 s’appuie sur le fait que les contraintes de forme supposées se vérifient pour le vecteur des moyennes de domaine limites $\mu$ plutôt que pour le vecteur des moyennes de domaine de population ${\overline{y}}_U.$ Dans la section suivante, nous montrons par des simulations que l’estimateur contraint améliore à la fois l’estimation et la variabilité quand les domaines de population sont approximativement près de la forme supposée, comparativement aux estimateurs non contraints.

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