Estimation et inférence des moyennes de domaine soumises à des contraintes qualitatives
Section 4. Performances de l’estimateur contraint

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4.1  Simulations

Nous exécutons des expériences de simulation pour mesurer les performances de la méthodologie proposée dans le calcul de l’estimation et de l’inférence des moyennes de domaine de la population. Au moyen d’une paire de nombres naturels $D_1$ et $D_2,$ nous générons les moyennes de domaine limites ${\mu }_d$ à partir de la fonction bivariée monotone $\mu \left(x_1\mathrm{,}{x}_2\right)$ donnée par

$$\mu \left(x_1\mathrm{,}{x}_2\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{1+4x_1/D_1}+\frac{4\exp \left(\text{0,5}+2x_2/D_2\right)}{1+\exp \left(\text{0,5}+2x_2/D_2\right)}\mathrm{.}$$

On crée les valeurs ${\mu }_d$ en évaluant $\mu \left(x_1\mathrm{,}{x}_2\right)$ à chaque combinaison de $x_1\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\mathrm{2,}\dots \mathrm{,}{D}_1$ et $x_2\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\mathrm{2,}\dots \mathrm{,}{D}_2,$ ce qui produit un nombre total de domaines égal à $D\mathrm{<mo>=</mo>}{D}_1{D}_2.$ Nous établissons $D_1\mathrm{<mo>=</mo>}6$ et $D_2\mathrm{<mo>=</mo>}4.$ Notons que bien que la fonction $\mu \left(x_1\mathrm{,}{x}_2\right)$ produise une matrice plutôt qu’un vecteur de moyennes de domaine, elle peut être vectorisée afin de représenter les moyennes de domaine limites sous la forme du vecteur $\mu .$ Pour chaque domaine $d,$ nous générons ses $N_d\mathrm{<mo>=</mo>}N/D\mathrm{<mo>=</mo>}$ 400 éléments en ajoutant le bruit indépendant et normalement distribué de moyenne 0 et de variance ${\sigma }^2$ à ${\mu }_d.$ Une fois que les éléments de la population ont été simulés, les moyennes de domaine de population ${\overline{y}}_U$ sont calculées. Les moyennes de domaine de population utilisées dans les simulations quand $\sigma \mathrm{<mo>=</mo>}1$ sont illustrées dans la figure 4.1. Nous observons que ces moyennes de domaine sont raisonnablement (et non strictement) monotones par rapport à $x_1$ et $x_2.$

Les échantillons sont tirés d’un plan de sondage stratifié sans remise, comprenant 4 strates qui recoupent les domaines $D.$ Les strates sont construites au moyen d’une variable auxiliaire $\nu$ qui est corrélée à la variable d’intérêt $y.$ Le vecteur $\nu$ est créé par l’ajout d’un bruit standard indépendant normalement distribué à $\sigma d/D$ pour chaque élément du domaine $d.$ On attribue ensuite l’appartenance à une strate en triant le vecteur $\nu$ et en créant 4 blocs de $N/4\mathrm{<mo>=</mo>}$ 2 400 éléments, chacun étant fondé sur le vecteur $\nu$ trié. Pour rendre le plan informatif, nous échantillonnons $n\mathrm{<mo>=</mo>}$ 480 éléments répartis entre les strates (60, 120, 120, 180). Ce plan de sondage probabiliste ressemble à celui décrit dans Wu et coll. (2016).

Nous examinons quatre scénarios différents obtenus à partir de la combinaison de deux types possibles de contraintes de forme et de $\sigma \mathrm{<mo>=</mo>}1$ ou 2. Le premier type de contraintes suppose que les moyennes de domaine de population sont monotones et augmentent pour ce qui est de $x_1$ et $x_2$ (doublement monotone), tandis que le deuxième type de contraintes suppose la monotonicité uniquement pour ce qui est de $x_1$ (seulement monotone pour ce qui est de $x_1).$ Si $\sigma$ est fixe, on considère exactement la même population pour les deux types de contraintes possibles. Pour chaque scénario, les estimations non contraintes ${\tilde{y}}_s$ et contraintes ${\tilde{\theta }}_s$ sont calculées avec leurs estimations de la variance par linéarisation (voir (2.11)). Les estimations contraintes sont calculées au moyen de l’APC, et leurs estimations de la variance sont calculées à partir de l’ensemble sélectionné de l’échantillon $J\in G_s.$ En outre, on construit des intervalles de confiance de 95 % de Wald fondés sur la distribution normale pour les deux estimateurs.

Pour mesurer la précision de ${\tilde{y}}_s$ et ${\tilde{\theta }}_s$ en tant qu’estimateurs des moyennes de domaine de population ${\overline{y}}_U,$ nous considérons l’erreur quadratique moyenne pondérée (EQMP) donnée par

$$\text{EQMP}\left({\tilde{\phi }}_s\right)\mathrm{<mo>=</mo>}E\left[{\left({\tilde{\phi }}_s-{\overline{y}}_U\right)}^T{W}_U\left({\tilde{\phi }}_s-{\overline{y}}_U\right)\right]\mathrm{,}$$

où ${\tilde{\phi }}_s$ pourrait être l’estimateur non contraint ou contraint et $W_U$ est la matrice diagonale avec les éléments $N_d/N,$ $d\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}D.$ Les valeurs de l’EQMP sont obtenues approximativement par des simulations comme suit :

$$\frac{1}{B}{\displaystyle \sum _{b\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^B}{\left({\tilde{\phi }}_s^{\left(b\right)}-{\overline{y}}_U\right)}^T{W}_U\left({\tilde{\phi }}_s^{\left(b\right)}-{\overline{y}}_U\right)\mathrm{,}$$

où $B$ est le nombre de simulations et ${\tilde{\phi }}_s^{\left(b\right)}$ est l’estimateur pour l’échantillon $b^{\text{e}}.$

Les résultats de la simulation sont résumés dans les figures 4.2 à 4.5 et sont fondés sur $R\mathrm{<mo>=</mo>}$ 10 000 rééchantillonnages. Les figures montrent les 24 domaines divisés en groupes de 6, et chaque groupe est supposé monotone. Il est possible de représenter le scénario doublement monotone dans des graphiques similaires comprenant des groupes de quatre domaines monotones. Comme l’illustrent les ajustements d’un seul échantillon dans ces figures, on constate que les estimations contraintes peuvent être exactement égales aux estimations non contraintes pour certains domaines. Dans ces cas, leurs estimations de la variance sont égales aussi. Dans l’ensemble, les intervalles de confiance de l’estimateur contraint ont tendance à être plus étroits que ceux de l’estimateur non contraint. En moyenne, l’estimateur contraint se comporte légèrement différemment des moyennes de domaine de population, en raison de la monotonicité non stricte de ces dernières. L’estimateur contraint présente en effet l’avantage d’avoir des centiles plus étroits, ce qui montre que la distribution de l’estimateur proposé est plus étroite que la distribution de l’estimateur non contraint. Pour les petites valeurs de $\sigma ,$ les estimations non contraintes sont plus susceptibles de satisfaire les restrictions supposées, ce qui apporte de petites améliorations à l’estimateur contraint par rapport à l’estimateur non contraint. En revanche, les hypothèses de forme tendent à être plus gravement non respectées dans les estimations non contraintes pour les valeurs plus grandes de $\sigma ,$ ce qui permet à l’estimateur proposé de gagner beaucoup plus d’efficacité dans ces cas. On peut constater cette dernière propriété en observant que la bande des centiles de l’estimateur contraint s’éloigne de plus en plus de la bande de l’estimateur non contraint à mesure que $\sigma$ augmente.

Pour ce qui est de la variabilité, l’estimateur contraint a une plus petite variance que l’autre estimateur. De manière intéressante, elle est surestimée par l’estimation de la variance correspondante obtenue par linéarisation. En revanche, l’estimation de la variance de l’estimateur non contraint sous-estime la variance réelle, ce qui est un inconvénient connu et souvent observé des variances obtenues par linéarisation. Malgré cette différence, les intervalles de confiance des deux estimateurs présentent un bon taux de couverture similaire quand $\sigma \mathrm{<mo>=</mo>}1,$ alors que cette couverture est légèrement améliorée par l’estimateur contraint quand $\sigma \mathrm{<mo>=</mo>}2.$

Le tableau 4.1 montre que l’estimateur contraint est plus précis en moyenne que l’estimateur non contraint. La précision de l’estimateur contraint s’améliore quand on suppose la monotonicité pour ce qui est des deux variables plutôt que seulement pour $x_1.$ On s’y attend ici, car la surface sous-jacente est effectivement doublement monotone, de sorte que l’estimateur bénéficie du fait que la contrainte la plus forte est imposée.

4.2  Méthodes de rééchantillonnage aux fins d’estimation de la variance

En pratique, il est courant dans les enquêtes à grande échelle d’utiliser des méthodes de rééchantillonnage aux fins d’estimation de la variance. Les dernières éditions de la NHANES et la National Survey of College Graduates (NSCG) en sont des exemples. Pour étudier les performances des estimateurs de la variance par rééchantillonnage selon la méthodologie contrainte proposée, nous réalisons des études de simulation fondées sur l’estimateur de la variance Jackknife avec suppression de groupe (DAGJK) proposé par Kott (2001).

Nous effectuons des expériences de simulation par rééchantillonnage sur la configuration décrite dans la section 4.1. Pour calculer l’estimateur de la variance Jackknife avec suppression de groupe, nous créons d’abord aléatoirement des groupes de taille égale $G$ dans chacune des quatre strates. Puis, pour chaque rééchantillonnage $g\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}G,$ nous supprimons le groupe $g^{\text{e}}$ dans chaque strate, nous ajustons les poids restants par $w_k^{\left(g\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\frac{G}{G-1}\right)w_k,$ où $w_k\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_k^{-1};$ et nous calculons l’estimation contrainte de rééchantillonnage ${\tilde{\theta }}_s^{\left(g\right)}$ au moyen des poids ajustés. On obtient l’estimation de la variance Jackknife avec suppression de groupe de ${\tilde{\theta }}_{s_d},$ ${\widehat{V}}_{\text{JK}}\left({\tilde{\theta }}_{s_d}\right),$ en calculant

$${\widehat{V}}_{\text{JK}}\left({\tilde{\theta }}_{s_d}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{G-1}{G}{\displaystyle \sum _{g\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^G}{\left({\tilde{\theta }}_{s_d}^{\left(g\right)}-{\tilde{\theta }}_{s_d}\right)}^2\text{}\mathrm{.}$$

On obtient un estimateur de la variance par rééchantillonnage de ${\tilde{y}}_{s_d}$ en remplaçant ${\tilde{\theta }}_s$ par ${\tilde{y}}_s.$

Nos simulations tiennent compte seulement du scénario doublement monotone, avec $\sigma \mathrm{<mo>=</mo>}$ 1 ou 2, et $G\mathrm{<mo>=</mo>}$ 10, 20 ou 30. La taille de l’échantillon est fixée à $n\mathrm{<mo>=</mo>}$ 480 ou $n\mathrm{<mo>=</mo>}$ 960, et le dernier cas est obtenu par doublement de la taille de l’échantillon original dans chaque strate. Les figures 4.6 à 4.9 contiennent les résultats de simulation fondés sur 10 000 rééchantillonnages. Contrairement au comportement des estimations de la variance fondées sur la linéarisation, on constate que les estimations Jackknife avec suppression de groupe ont tendance à surestimer la variance de l’estimateur non contraint, comme on l’observe souvent en pratique. Qu’elles soient fondées sur un rééchantillonnage ou sur la linéarisation, les estimations de la variance de l’estimateur contraint surestiment la variance réelle, de sorte que les résultats sont plus cohérents dans les différentes méthodes d’estimation de la variance. Quand le nombre de groupes $G$ augmente, les estimations Jackknife avec suppression de groupe tendent à augmenter, surtout pour les petites valeurs de $\sigma .$ Ces incréments des estimations Jackknife avec suppression de groupe ont comme conséquence directe d’accroître le taux de couverture quand $G$ augmente. De plus, le taux de couverture des deux estimateurs s’améliore (plus près de 0,95) quand la taille de l’échantillon augmente. Dans l’ensemble, il semble que l’estimation de la variance par répliques soit une solution de rechange pratique à la linéarisation.

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