Une évaluation de l’amélioration de l’exactitude au moyen d’un plan de sondage adaptatif
Section 6. Remarques finales

Table des matières

Le présent article repose sur la question suivante : si l’ajustement de la pondération calé à l’étape de l’estimation élimine partiellement le biais de non-réponse dans les estimations, pourquoi le fait d’utiliser des variables auxiliaires également dans la collecte de données adaptative qui précède ne peut-il pas éliminer le reste du biais ? Les motifs portant à le croire seraient qu’après une collecte de données adaptative, on peut obtenir un ensemble final de répondants qui, à bien des égards, est une copie de l’échantillon probabiliste (mais plein de non-réponses) sélectionné et qu’il ne devrait par conséquent pas rester de biais appréciable. Nous avons examiné l’estimateur de la pondération calée et son écart $Δ_{CAL}$ par rapport à l’estimateur sans biais exigeant une réponse complète. L’examen reste théorique, car dans une enquête réelle en présence de non-réponse, l’estimateur sans biais (de Horvitz-Thompson) n’est pas disponible.

En général, les répondants diffèrent systématiquement des non-répondants. En gardant cette différence à l’esprit, nous avons pu écrire $Δ_{CAL}$ comme étant la somme d’un terme résistant $D_{1}$ et d’un terme réductible $D_{2} .$ En cas d’échantillon divisé en sous-groupes, le terme réductible $D_{2}$ est déterminé par la covariance (sur les groupes) entre le taux de non-réponse de groupe et la corrélation à l’intérieur du groupe entre Réponse et variable $y .$ On peut alors réduire $D_{2}$ à zéro si les taux de non-réponse de tous les groupes peuvent être égaux dans une collecte de données adaptative. Cependant, la collecte de données adaptative n’élimine pas le terme résistant $D_{1} .$ Cela est en quelque sorte un message qui donne à réfléchir : l’écart par rapport à l’estimation sans biais n’est pas éliminé. Il reste que la collecte de données adaptative peut promettre un meilleur point de départ pour la phase d’estimation qui suit la fin de la collecte des données.

Annexe

Partie 1. Calcul de la décomposition $Δ_{CAL} = D_{1} + D_{2}$ dans le résultat 3.1. Par définition $Δ_{CAL} = {\bar{x}}_{s}^{'} (b_{r} - b_{s}) = x_{s}^{'} b_{r} - {\bar{y}}_{s}$ par l’utilisation de (2.6). Substituons ${\bar{x}}_{s} = P {\bar{x}}_{r} + (1 - P) {\bar{x}}_{n r}$ et ${\bar{y}}_{s} = P {\bar{y}}_{r} + (1 - P) {\bar{y}}_{n r} = P {\bar{x}}_{r}^{'} b_{r} + (1 - P) {\bar{x}}_{n r}^{'} b_{n r} .$ Cela donne $Δ_{CAL} = (1 - P) {\bar{x}}_{n r}^{'} (b_{r} - b_{n r}) .$ Enfin, substituons ${\bar{x}}_{n r} = {\bar{x}}_{s} - P ({\bar{x}}_{r} - {\bar{x}}_{n r})$ pour aboutir aux termes $D_{1}$ et $D_{2}$ du résultat 3.1. Le fait que les deux expressions de $D_{2}$ sont équivalentes provient de $(1 - P) ({\bar{x}}_{r} - {\bar{x}}_{n r}) = {\bar{x}}_{r} - {\bar{x}}_{s} .$

Partie 2. Calcul du coefficient de corrélation à l’intérieur du groupe (4.1) entre l’indicateur de réponse $i$ et la variable d’enquête $y .$ Par définition, la corrélation est $ρ_{j} = S_{i y j} / S_{i j} S_{y j} ,$ où la covariance est $S_{i y j} = {(\sum_{s_{j}} d_{k})}^{- 1} \sum_{s_{j}} d_{k} (i_{k} - {\bar{i}}_{s_{j}}) (y_{k} - {\bar{y}}_{s_{j}})$ avec ${\bar{i}}_{s_{j}} = \sum_{s_{j}} d_{k} i_{k} / \sum_{s_{j}} d_{k} = P_{j} .$ Un développement donne $S_{i y j} = P_{j} (1 - P_{j}) δ_{j}$ avec $δ_{j} = {\bar{y}}_{r_{j}} - {\bar{y}}_{n r_{j}} .$ La variance $y$ est $S_{y j}^{2} = {(\sum_{s_{j}} d_{k})}^{- 1} \sum_{s_{j}} d_{k} {(y_{k} - {\bar{y}}_{s_{j}})}^{2} ,$ et $S_{i j}^{2}$ est analogue avec ${(i_{k} - {\bar{i}}_{s_{j}})}^{2}$ remplaçant ${(y_{k} - {\bar{y}}_{s_{j}})}^{2} ,$ de sorte que $S_{i j}^{2} = P_{j} (1 - P_{j}) .$ Le résultat $ρ_{j} = \sqrt{P_{j} (1 - P_{j})} δ_{j} / S_{y j}$ suit.

Partie 3. Démonstration de (4.2) : Selon le modèle 4.1, $r_{j}$ et $n r_{j}$ sont des ensembles fixes, de taille respective $m_{j}$ et $n_{j} - m_{j}$ et de moyennes fixes ${\bar{y}}_{r_{j}}$ et ${\bar{y}}_{n r_{j}} .$ L’ensemble de transfert $t r_{j}$ de taille fixe $q_{j}$ est aléatoire, retiré par échantillonnage aléatoire simple à partir de la non-réponse $n r_{j} = s_{j} - r_{j}$ et transféré à la réponse $r_{j} .$ Les nouvelles moyennes $y,$ pour la réponse et la non-réponse, sont

${\bar{y}}_{* r_{j}} = (\sum_{r_{j}} y_{k} + \sum_{t r_{j}} y_{k}) / (m_{j} + q_{j}); {\bar{y}}_{* n r_{j}} = (\sum_{n r_{j}} y_{k} - \sum_{t r_{j}} y_{k}) / (n_{j} - m_{j} - q_{j}) .$

Parce que $t r_{j}$ est un échantillon aléatoire simple provenant de l’ensemble fixe $n r_{j},$ la moyenne de l’ensemble de transfert ${\bar{y}}_{t r_{j}} = \sum_{t r_{j}} y_{k} / q_{j}$ a une valeur prévue de ${\bar{y}}_{n r_{j}} .$ Les valeurs prévues des nouvelles moyennes $y$ sont alors les valeurs suivantes :

$E ({\bar{y}}_{* r_{j}}) = (m_{j} {\bar{y}}_{r_{j}} + q_{j} {\bar{y}}_{n r_{j}}) / (m_{j} + q_{j}); E ({\bar{y}}_{* n r_{j}}) = ((n_{j} - m_{j}) {\bar{y}}_{n r_{j}} - q_{j} {\bar{y}}_{n r_{j}}) / (n_{j} - m_{j} - q_{j}) = {\bar{y}}_{n r_{j}} .$

L’expression (4.2) pour $E (δ_{* j}) = E ({\bar{y}}_{* r_{j}}) - E ({\bar{y}}_{* n r_{j}})$ suit.

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ISSN : 1712-5685

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Date de modification :: 2019-07-04

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