Une évaluation de l’amélioration de l’exactitude au moyen d’un plan de sondage adaptatif
Section 4. Cas du vecteur de groupes

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4.1  Termes de la décomposition

Nous considérons le cas important d’un vecteur de groupes, $x_k={\left(0,\dots ,1,\dots ,0\right)}^{\prime }\text{}.$ En pratique, sa dimension $J$ est souvent considérable, de 30 ou plus, comme quand plusieurs variables catégoriques  $x$ sont entièrement croisées. La forme diagonale des matrices nécessitant une inversion dans (2.5) apporte une simplification notable. Pour $j=1,2,\dots ,J,$ on désigne par $s_j$ le sous-ensemble de l’échantillon $s$ qui se trouve dans le groupe $j.$ Sa proportion de l’échantillon est $W_j={\displaystyle {\sum }_{s_j}{d}_k}/{\displaystyle {\sum }_s{d}_k}\text{}.$ L’ensemble de réponses dans $s_j$ est désigné par $r_j;$ l’ensemble de non-réponses est $n{r}_j=s_j-r_j.$ Le taux de non-réponse du groupe $j$ est $Q_j={\displaystyle {\sum }_{n{r}_j}{d}_k}/{\displaystyle {\sum }_{s_j}{d}_k}=1-{\displaystyle {\sum }_{r_j}{d}_k}/{\displaystyle {\sum }_{s_j}{d}_k}=1-P_j;$ le taux global est $Q={\displaystyle {\sum }_{j=1}^J{W}_j{Q}_j}=1-P.$ Le déséquilibre devient une variance des taux de réponse du groupe, voir par exemple Särndal (2011a),

$$\text{IMB}={\displaystyle \sum _{j=1}^J{W}_j{\left(Q_j-Q\right)}^2}={\displaystyle \sum _{j=1}^J{W}_j{\left(P_j-P\right)}^2\text{}.}$$

Les moyennes $y$ sont ${\overline{y}}_{r_j}={\displaystyle {\sum }_{r_j}{d}_k{y}_k}/{\displaystyle {\sum }_{r_j}{d}_k;}$ ${\overline{y}}_{n{r}_j}={\displaystyle {\sum }_{n{r}_j}{d}_k{y}_k}/{\displaystyle {\sum }_{n{r}_j}{d}_k};$ ${\overline{y}}_{s_j}={\displaystyle {\sum }_{s_j}{d}_k{y}_k}/{\displaystyle {\sum }_{s_j}{d}_k}.$ Le vecteur-colonne dimensionnel $J$ $b_r-b_{nr}$ comporte des éléments ${\delta }_j={\overline{y}}_{r_j}-{\overline{y}}_{n{r}_j},$ $j=1,2,\dots ,J.$ Nous appelons ${\delta }_j$ la divergence du groupe $j,$ c’est-à-dire entre la moyenne de réponse $y$ et la moyenne de non-réponse $y.$ L’estimateur par calage est ${\widehat{Y}}_{\text{CAL}}={\displaystyle {\sum }_{j=1}^J{\widehat{N}}_j}{\overline{y}}_{r_j},$ où ${\widehat{N}}_j={\displaystyle {\sum }_{s_j}{d}_k},$ et l’estimateur repère sans biais est ${\widehat{Y}}_{\text{FUL}}={\displaystyle {\sum }_{j=1}^J{\widehat{N}}_j}{\overline{y}}_{s_j},$ donc

$${\Delta }_{\text{CAL}}=\left({\widehat{Y}}_{\text{CAL}}-{\widehat{Y}}_{\text{FUL}}\right)/\widehat{N}={\displaystyle \sum _{j=1}^J{W}_j}\left({\overline{y}}_{r_j}-{\overline{y}}_{s_j}\right)={\displaystyle \sum _{j=1}^J{W}_j}{Q}_j{\delta }_j.$$

L’application directe du résultat 3.1 au cas du vecteur de groupes donne le résultat 4.1 ci-dessous.

Résultat 4.1 : Quand $x$ est un vecteur de groupes de dimension $J,$ $x_k={\left(0,\dots ,1,\dots ,0\right)}^{\prime },$ les termes de la décomposition du résultat 3.1 prennent la forme

$$D_1=Q{\displaystyle \sum _{j=1}^J{W}_j{\delta }_j};D_2={\displaystyle \sum _{j=1}^J{W}_j\left(Q_j-Q\right){\delta }_j};{\Delta }_{\text{CAL}}=D_1+D_2={\displaystyle \sum _{j=1}^J{W}_j{Q}_j{\delta }_j},$$

où ${\delta }_j={\overline{y}}_{r_j}-{\overline{y}}_{n{r}_j}\text{},$ et $Q_j={\displaystyle {\sum }_{n{r}_j}{d}_k}/{\displaystyle {\sum }_{s_j}{d}_k}$ et $Q={\displaystyle {\sum }_{j=1}^J{W}_j{Q}_j}$ sont respectivement le taux de non-réponse du groupe $j$ et le taux global de non-réponse.

Dans quelle mesure une collecte de données adaptative et une réponse mieux équilibrée $r$ peuvent-elles améliorer l’exactitude et réduire l’écart ${\Delta }_{\text{CAL}}=D_1+D_2?$ Dans ce qui suit, le terme « réduction » désigne une « réduction en valeur absolue », « plus petit » signifie « plus petit en valeur absolue », car ${\Delta }_{\text{CAL}}$ et ses composantes peuvent avoir l’un ou l’autre signe.

Dans une collecte de données adaptative agissant sur un vecteur $x$ qui encode un assez grand nombre de groupes, il est difficile d’arriver à un équilibre parfait où $Q_j=Q$ pour chaque groupe $j,$ et $\text{IMB}=0.$ Cependant, on peut amener tous les $Q_j$ assez près du taux global de non-réponse $Q;$ les deux IMB et $D_2$ peuvent alors être proches de zéro. Il faut réfléchir à un scénario dans lequel on compare une collecte de données réelle, suivant un protocole prédéfini qui demeure inchangé jusqu’à la fin, à d’autres collectes de données qui s’efforcent activement, par des interventions, d’aboutir à une réponse présentant un déséquilibre faible. Il s’agit du format de la validation empirique (de la section 5), fondée sur une grande enquête de Statistique Suède : On a l’ensemble de réponses réellement enregistré dans l’enquête, et plusieurs autres ensembles de réponses calculés par des interventions expérimentales sur la réponse réelle visant à réduire successivement le déséquilibre.

Nous traiterons des questions suivantes concernant les termes du résultat 4.1 :

1. Lorsque les différentiels de non-réponse $Q_j-Q$ se rapprochent de zéro, de sorte qu’IMB est réduit, le terme $D_2={\displaystyle {\sum }_{j=1}^J{W}_j\left(Q_j-Q\right){\delta }_j}$ tend à diminuer, pour parfois se rapprocher de zéro. La perspective est très différente pour $D_1=Q{\displaystyle {\sum }_{j=1}^J{W}_j{\delta }_j}.$ A priori, il n’est pas exclu que les divergences ${\delta }_j$ soient quelque peu réduites au cours du processus. Si cela se produit dans un certain nombre de groupes, alors il est possible que $D_1$ soit aussi réduit. Mais dans certaines conditions, un changement important de $D_1$ est peu probable; $D_1$ devrait être peu touché par un IMB réduit. Nous le justifions d’abord par un argument théorique assisté par un modèle à la section 4.6, puis nous l’observons de façon empirique sur des données d’enquête réelles à la section 5.
2. Il n’est pas évident que $D_1$ et $D_2$ soient toujours du même signe. Quand cela est le cas, une réduction atteignable de $D_2$ entraîne un écart réduit ${\Delta }_{\text{CAL}}=D_1+D_2,$ et, par conséquent, une plus grande exactitude. Dans quelles conditions ces valeurs ont-elles le même signe ?
3. Quand $D_1$ et $D_2$ ont le même signe et $D_1$ reste à peu près constant quand IMB est réduit, alors toute réduction de ${\Delta }_{\text{CAL}}=D_1+D_2$ provient d’une réduction de $D_2;$ la taille relative des deux termes détermine alors si le gain obtenu au moyen du plan adaptatif est considérable, modeste ou même insignifiant.

4.2  Corrélation à l’intérieur des groupes entre la variable réponse et la variable d’enquête

La variable réponse et la variable d’enquête $y$ sont corrélées, dans l’échantillon complet $s,$ comme dans chaque groupe de l’échantillon $s_j.$ Cette conséquence inévitable de « valeurs manquantes non au hasard » est essentielle dans l’interprétation de $D_1,D_2$ et leur somme ${\Delta }_{\text{CAL}}.$ Dans le groupe $j,$ soit ${\rho }_j$ le coefficient de la corrélation entre l’indicateur de réponse $i(i_k=1$ pour $k\in r_j,$ $i_k=0$ pour $k\in n{r}_j)$ et la variable d’enquête $y.$ Ce ${\rho }_j$ a une relation simple, au moyen d’un facteur de multiplication, à la divergence du groupe ${\delta }_j={\overline{y}}_{r_j}-{\overline{y}}_{n{r}_j}:$

$${\rho }_j=\sqrt{P_j\left(1-P_j\right)}{\delta }_j/S_{yj}\text{},(4.1)$$

où $S_{yj}^2={\left({\displaystyle {\sum }_{s_j}{d}_k}\right)}^{-1}{\displaystyle {\sum }_{s_j}{d}_k}{\left(y_k-{\overline{y}}_{s_j}\right)}^2$ est la variance $y$ dans le groupe $j.$ L’expression (4.1) qui suit (voir annexe, partie 2) de la définition habituelle du coefficient de corrélation comme étant la « covariance divisée par le produit des deux écarts types », ${\rho }_j=S_{iyj}/\left(S_{ij}{S}_{yj}\right).$

Dans le cas particulier où $y$ est dichotomique $0/1$ (comme quand $y_k=1$ si $k$ est « employé », $y_k=0$ autrement), alors ${\overline{y}}_{s_j}={\displaystyle {\sum }_{s_j}{d}_k}{y}_k/{\displaystyle {\sum }_{s_j}{d}_k}$ est une proportion, à savoir la proportion (pondérée par les poids de sondage) de « 1 » dans le groupe $j$ (le taux d’emploi dans le groupe $j),$ de sorte que l’écart dans le groupe $y$ est $S_{yj}^2={\overline{y}}_{s_j}\left(1-{\overline{y}}_{s_j}\right).$

4.3  Analyse du terme résistant

Nous examinerons maintenant de plus près le comportement de $D_1$ et $D_2$ pour le cas de vecteur de groupes du résultat 4.1. Leurs tailles (relatives) dépendent de plusieurs facteurs. Le terme résistant $D_1=Q{\displaystyle {\sum }_{j=1}^J{W}_j{\delta }_j}$ dépend des tailles et de la répartition sur les groupes $J$ des divergences ${\delta }_j={\overline{y}}_{r_j}-{\overline{y}}_{n{r}_j},$ ou, sous une autre perspective, des corrélations à l’intérieur du groupe ${\rho }_j=\sqrt{P_j\left(1-P_j\right)}{\delta }_j/S_{yj}\text{}.$

Dans un contexte d’enquête typique, en observant la répartition de ${\delta }_j,$ $j=1,\dots ,J,$ où $J$ peut être de 30 ou plus, on constate généralement un mélange de valeurs positives et négatives. Il peut y avoir des « groupes critiques » avec une divergence inhabituellement grande de ${\delta }_j,$ du même signe, qu’il soit positif ou négatif. Ces ${\delta }_j$ ont une influence sur la moyenne (pondérée) $\overline{\delta }={\displaystyle {\sum }_{j=1}^J{W}_j{\delta }_j}$ et, par conséquent, sur $D_1=Q\overline{\delta }.$ La majorité des ${\delta }_j$ peuvent être des valeurs assez petites, mais non nulles.

Exemple 4.1. Soit $y=$ Employé $(y_k=1$ si l’unité $k$ est « employé », $y_k=0$ sinon). On peut s’attendre à une corrélation positive à l’intérieur du groupe ${\rho }_j$ entre Employé et Réponse $(i_k=1$ pour $k\in r_j,$ $i_k=0$ pour $k\in n{r}_j)$ pour les groupes de personnes ayant une ou plusieurs caractéristiques comme de sexe masculin, jeune, faible niveau d’instruction ou d’origine étrangère. Ces groupes ont tendance à avoir des valeurs faibles (comparativement) à la fois sur Réponse et sur Employé. Autrement dit, le taux d’emploi est plus élevé chez les répondants que chez les non-répondants, donc ${\delta }_j$ est positif. Par ailleurs, les groupes ayant des caractéristiques comme d’âge moyen, niveau d’instruction élevé ou propriétaires de logement ont tendance à avoir des valeurs élevées sur Réponse et Employé, de sorte que ${\delta }_j$ est susceptible d’être positif pour ces groupes également. Une autre variable $y$ qui peut avoir une tendance semblable est Revenu : dans certains groupes de l’échantillon, Revenu peut être plus élevé pour les répondants que pour les non-répondants, donc ${\delta }_j$ est de nouveau positif. Ainsi, pour les deux variables $y,$ plusieurs variables ${\delta }_j$ nettement positives et influentes peuvent rendre $\overline{\delta }={\displaystyle {\sum }_{j=1}^J{W}_j{\delta }_j}$ et $D_1=Q\overline{\delta }$ positifs. Cela se confirme à la section 5 pour les données de l’Enquête sur la population active en Suède. Cependant, dans d’autres pays, une variable comme Revenu peut se comporter différemment : dans certains groupes, le revenu peut plutôt être plus élevé pour les non-répondants que pour les répondants, ce qui rend ${\delta }_j$ négatif, car les personnes aisées ou au revenu élevé auraient tendance à répondre relativement moins. On voit là qu’il est difficile de prévoir le signe des divergences des groupes pour certaines variables d’enquête.

4.4  Analyse du terme réductible

On peut écrire le terme réductible sous la forme $D_2={\displaystyle {\sum }_{j=1}^J{W}_j\left(Q_j-Q\right)\left({\delta }_j-\overline{\delta }\right)}.$ Il s’agit de la covariance entre la non-réponse $Q_j=1-P_j$ et la divergence ${\delta }_j={\overline{y}}_{r_j}-{\overline{y}}_{n{r}_j}.$ Ici $D_2$ est une covariance entre groupes, $j=1,\dots ,J,$ alors que la divergence ${\delta }_j$ donnée dans (4.1) est une covariance à l’intérieur d’un groupe $j$ entre l’indicateur de réponse $i_k$ et la variable d’enquête $y_k.$ On peut difficilement tirer des conclusions générales sur la taille de $D_2$ et sur le fait que la valeur ait le même signe, ou non, que $D_1.$ Cela dépend en effet de plusieurs facteurs.

Exemple 4.1 (suite). Comme on l’a montré dans l’exemple 4.1, un certain nombre de divergences positives ${\delta }_j$ sont susceptibles de se produire pour $y=$ Employé $(y_k=1$ si $k$ est Employé, = 0 sinon), par exemple, pour les groupes ayant les caractéristiques de sexe masculin, jeune ou de faible niveau d’instruction. Alors, $D_1=Q\overline{\delta }=Q{\displaystyle {\sum }_{j=1}^J{W}_j{\delta }_j}$ peut être nettement positif. En revanche, on peut moins évidemment savoir si un taux de non-réponse élevé $Q_j$ tend à aller de pair avec une divergence élevée ${\delta }_j,$ de façon à rendre la covariance $D_2$ également positive. Cela est susceptible de se produire pour des variables comme Employé et Revenu, comme cela est le cas pour les données suédoises à la section 5.

4.5  Les deux termes ont-ils le même signe ?

Il semble impossible de tirer des conclusions générales sur les signes des valeurs $D_1$ et $D_2.$ Le nombre de facteurs est en effet trop élevé: la population, le plan de sondage, la variable d’enquête particulière $y,$ et d’autres facteurs. Quand $D_1$ et $D_2$ ont le même signe, une réduction de $D_2$ vers zéro peut donner un écart réduit (voire considérablement réduit) ${\Delta }_{\text{CAL}}=D_1+D_2.$ En revanche, si les termes sont de signe opposé, ils se contrebalancent; le fait de s’efforcer à obtenir un déséquilibre faible et une valeur $D_2$ faible ne réduit pas nécessairement ${\Delta }_{\text{CAL}}=D_1+D_2.$ Dans cette situation non souhaitable et peut-être rare, les tentatives d’équilibrer la réponse  $–$ en réduisant $D_2$ $–$ pourraient empêcher de parvenir à un écart plus faible ${\Delta }_{\text{CAL}};$ la valeur pourrait en effet être plus élevée et non plus petite. Examinons maintenant la « question du même signe ».

L’exemple 4.1 et sa suite, à la section 4.4, décrivaient une situation, pour les variables $y$ Employé et Revenu, où la moyenne $\overline{\delta }={\displaystyle {\sum }_{j=1}^J{W}_j{\delta }_j}$ et la covariance ${\displaystyle {\sum }_{j=1}^J{W}_j\left(Q_j-Q\right){\delta }_j}=D_2$ ont probablement le même signe, de sorte que $D_1=Q\overline{\delta }$ et $D_2$ ont le même signe. Mais de façon plus générale, les signes opposés ne sont pas exclus. Donnons l’exemple d’une non-réponse inhabituellement faible, $Q_j-Q<0,$ qui se produirait dans des groupes influents affichant une divergence nettement positive ${\delta }_j.$ Il peut s’ensuivre que $D_2$ soit négatif, alors que $D_1$ serait positif. Les deux termes se contrebalanceraient alors. Il reste toutefois la perspective positive où les deux termes sont de signe identique : Nous pouvons réduire $D_2$ à de faibles niveaux en rendant tous les taux de non-réponse des groupes presque égaux à $Q_j.$ Ensuite, en supposant que $D_1$ varie peu, comme dans les conditions proposées ci-dessous à la section 4.6, une réduction considérable de l’écart ${\Delta }_{\text{CAL}}$ peut se produire. Voici une synthèse de ces conclusions.

Proposition 4.1. Dans le cas du vecteur de groupes, supposons que la divergence moyenne $\overline{\delta }={\displaystyle {\sum }_{j=1}^J{W}_j{\delta }_j}$ et la covariance $D_2={\displaystyle {\sum }_{j=1}^J{W}_j\left(Q_j-Q\right){\delta }_j}$ ont un signe identique, disons positif. Alors, les termes $D_1=Q\overline{\delta }$ et $D_2$ sont positifs dans l’écart ${\Delta }_{\text{CAL}}=D_1+D_2={\displaystyle {\sum }_{j=1}^J{W}_j{Q}_j{\delta }_j}.$ Une collecte de données adaptative qui réduit le déséquilibre $\text{IMB}={\displaystyle {\sum }_{j=1}^J{W}_j{\left(Q_j-Q\right)}^2}$ réduira $D_2$ (jusqu’à zéro si $\text{IMB}=0),$ alors que le terme résistant $D_1$ variera probablement peu.

Le choix de vecteur $x,$ à savoir le choix des variables entrant dans le vecteur et sa dimension, peut avoir des effets importants sur $D_1$ et $D_2.$ Supposons que nous doublons le nombre de groupes codés par le vecteur de groupes, comme quand le nombre de groupes préexistants $J=8=2^3$ (obtenus par croisement de trois variables $x$ dichotomiques) est doublé pour être $J=16=2^4,$ par un croisement complet sur une quatrième variable $x$ dichotomique. Une certaine asymétrie dans la répartition des divergences ${\delta }_j={\overline{y}}_{r_j}-{\overline{y}}_{n{r}_j},$ $j=1,\dots ,J,$ persistera probablement. Pour une réponse fixe $r,$ on peut réduire $D_1$ et $D_2$ en prolongeant le vecteur $x.$ La preuve empirique présentée à la section 5 éclaire en partie cette question.

4.6  Insensibilité des divergences de groupes

Dans le cas du vecteur de groupes du résultat 4.1, le terme résistant est $D_1=Q\overline{\delta },$ où $\overline{\delta }={\displaystyle {\sum }_{j=1}^J{W}_j{\delta }_j}$ est une moyenne pondérée des divergences ${\delta }_j,$ $j=1,\dots ,J.$ Nous aimerions en savoir plus sur la façon dont la valeur ${\delta }_j$ évolue dans une collecte de données susceptible d’être étendue, dans une grande enquête, sur une certaine période.

Pendant cette période, on surveille une collecte de données adaptative. On peut évaluer et modifier le protocole et l’accent mis, à un ou plusieurs points d’intervention. Par exemple, on peut, à un point donné, décider de cibler particulièrement les unités dont la propension à répondre calculée est perçue comme faible, afin d’accroître leur propension à répondre pour atteindre une propension moyenne globale. Certaines unités qui étaient non répondantes jusqu’à maintenant sont converties en unités répondantes; leur statut de réponse change.

Dans le cas du vecteur de groupes, le groupe de l’échantillon $s_j$ consiste, à un moment donné de la période de collecte des données, en un certain ensemble de réponses et à l’ensemble de non-réponses correspondant. Les tentatives de contact se poursuivent, auprès des unités n’ayant pas encore répondu. Une variation du statut de réponse se produit pour certaines unités dans $s_j.$ Quelques-unes de plus deviennent des répondants, ce qui entraîne une variation de la divergence ${\delta }_j.$ Cependant, dans certaines conditions, il se peut que ${\delta }_j$ soit peu touché. Si cela devait se vérifier pour la plupart des groupes ou tous les groupes, $D_1$ varierait peu. Examinons cette possibilité.

On ne peut pas observer seul le fait que ${\delta }_j$ varie peu dans une enquête réelle, parce que $y_k$ est une valeur manquante pour la non-réponse, mais cela peut être plausible au moyen d’un modèle pour la variation du statut de réponse. Nous considérons des modèles dans lesquels les unités d’un seul et même groupe sont échangeables ou substituables les unes aux autres, par rapport au statut de réponse : à un moment donné de la collecte des données, toutes les unités sont considérées comme identiques en ce qui concerne la variation du statut de réponse; le passage de la non-réponse à la réponse, ou vice versa, est tout aussi probable pour toutes les unités.

On peut justifier un tel modèle en cas de répartition suffisamment détaillée de l’échantillon $s$ en petits groupes homogènes $s_j,$ de sorte que les unités d’un seul et même groupe aient des caractéristiques importantes communes. Le modèle serait en revanche irréaliste dans un grand groupe hétérogène avec un mélange d’unités très différentes en ce qui concerne l’âge, le sexe, le revenu, le niveau d’instruction et d’autres aspects importants. Dans un groupe hétérogène, la probabilité de conversion est très grande pour certaines unités, alors que d’autres sont peu susceptibles de se convertir. Par exemple, si un groupe contient à la fois des personnes plus âgées au niveau d’instruction élevé et des personnes plus jeunes et moins instruites, la probabilité de conversion peut être élevée pour le premier sous-groupe et considérablement plus faible pour le deuxième.

À un certain point de la collecte des données, nous examinerons deux modèles pour la variation du statut de réponse dans un groupe de l’échantillon $s_j.$ Par simplicité, nous supposons que $s$ est un échantillon aléatoire simple de $U,$ de taille $N,$ de sorte que les poids d’échantillonnage sont constants, $d_k=N/n$ pour tous les $k.$

Modèle 4.1. Supposons qu’un transfert ait lieu, dans le groupe $s_j,$ de l’ensemble de non-réponses $n{r}_j=s_j-r_j$ à l’ensemble de réponses $r_j$ (une conversion) de sorte que tous les ensembles de transfert $t{r}_j\subset n{r}_j$ de taille fixe $q_j$ ont une probabilité égale de se produire.

Dans ce modèle, $n{r}_j$ et $r_j$ sont des ensembles fixes de taille respective $n_j-m_j$ et $m_j,$ tandis que $t{r}_j$ est une sélection aléatoire simple de $q_j$ non-répondants. Tout ensemble de transfert particulier $t{r}_j$ de $q_j$ unités peut être converti, et avec une probabilité égale. Chaque unité de l’ensemble de non-réponse $n{r}_j$ a la même probabilité de conversion, $q_j/\left(n_j-m_j\right).$

Avant le transfert, la divergence dans le groupe $j$ est ${\delta }_j={\overline{y}}_{r_j}-{\overline{y}}_{n{r}_j}.$ Après le transfert, la nouvelle divergence, indiquée par une étoile $*$ dans les indices, est ${\delta }_{*j}={\overline{y}}_{*r_j}-{\overline{y}}_{*n{r}_j}.$ Sa valeur prévue dans le modèle 1 satisfait

$$P_{*j}E\left({\delta }_{*j}\right)=P_j{\delta }_j\text{},(4.2)$$

où le taux de réponse du nouveau groupe est $P_{*j}=\left(m_j+q_j\right)/n_j>m_j/n_j=P_j.$ La démonstration est fournie dans la partie 3 de l’annexe. Si la variation du taux de réponse du groupe est petite, comme quand $q_j$ est petit par rapport à $n_j,$ alors $P_{*j}\approx P_j,$ et il se peut que le transfert fasse peu varier la divergence. Sa nouvelle valeur ${\delta }_{*j}$ est légèrement inférieure, en espérance, à la valeur avant transfert ${\delta }_j.$

Dans la section 5 empirique, nous essayons le modèle avec des ensembles de réponses qui deviennent plus petits plutôt que plus grands. Le modèle 4.2 qui traite d’un transfert dans ce sens aboutit à une conclusion semblable.

Modèle 4.2. Supposons qu’un transfert ait lieu à l’intérieur du groupe $j$ de l’ensemble de réponses $r_j$ à l’ensemble de non-réponses $n{r}_j=s_j-r_j$ de telle façon que tous les ensembles de transfert $t{r}_j\subset r_j$ de taille fixe $q_j$ aient une probabilité égale de se produire.

Un calcul analogue à celui qui a donné (4.2) montre que

$$Q_{*j}E\left({\delta }_{*j}\right)=Q_j{\delta }_j.(4.3)$$

Le nouveau taux de non-réponse (plus élevé) est $Q_{*j}=1-\left(m_j-q_j\right)/n_j>1-m_j/n_j=Q_j.$ La nouvelle divergence ${\delta }_{*j}$ est légèrement inférieure en valeur espérée, quand $q_j$ est petit par rapport à $n_j.$ La démonstration est analogue à celle de (4.2).

Les résultats (4.2) et (4.3) indiquent que si peu importe quelles sont les unités du groupe $j$ dont le statut de réponse varie, alors la divergence ${\delta }_j$ demeure à peu près identique, en espérance. Cependant, l’hypothèse des modèles 4.1 et 4.2 d’ensembles de transferts de probabilité égale est difficile ou impossible à corroborer en pratique. Il serait difficile de spécifier un vecteur $x_k={\left(0,\dots ,1,\dots ,0\right)}^{\prime }$ tel que les groupes codés par le vecteur obéissent aux modèles. Nous ne pouvons pas affirmer la « vérité » de ces modèles, mais seulement suggérer qu’ils peuvent être plausibles pour un groupe suffisamment diversifié de l’échantillon.

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