Une évaluation de l’amélioration de l’exactitude au moyen d’un plan de sondage adaptatif
Section 1. Introduction
Pour un grand nombre d’importantes enquêtes par échantillonnage probabiliste, la période de collecte des données se clôture par la déclaration d’un taux considérable de non-réponse. À l’étape de l’estimation qui suit, il faut néanmoins établir les meilleures estimations possible en fonction de l’ensemble de répondants produit par une collecte de données qui n’est pas idéale. Quelles que soient les techniques utilisées, il existe un biais de non-réponse, et il faut faire en sorte qu’il demeure le plus faible possible. Un plan de sondage réactif – ou adaptatif – pour les enquêtes-ménages et les autres types d’enquêtes a pour objet d’exercer un contrôle actif sur les erreurs et les coûts d’enquête aux phases de la planification et de la collecte des données. L’un des objectifs consiste à obtenir un ensemble final de répondants qui est susceptible d’accroître la probabilité selon laquelle les estimations de l’enquête seront plus exactes. Le concept du plan de sondage réactif a été inventé par Groves et Heeringa (2006).
La collecte de données dans le cadre d’une grande enquête s’étend habituellement sur un certain nombre de jours ou de semaines au cours desquels on tente d’entrer en contact avec les unités de l’échantillon probabiliste choisi. Certaines unités produiront un résultat fructueux au bout de quelques tentatives. D’autres unités seront finalement déclarées non répondantes en raison de leur refus de répondre ou de l’absence de contact malgré des appels répétés. La prémisse du présent article n’est pas qu’on finira par réduire le taux de non-réponse à moins de 10 %. Il est plus réaliste d’affirmer qu’il continuera d’exister un taux élevé de non-réponse, de l’ordre de 30 % à 50 %, lorsque la période de collecte des données devra nécessairement se terminer. Il faut néanmoins produire les meilleures estimations possible.
Diverses techniques ont été proposées et mises à l’essai en vue de l’amélioration de la collecte des données : la priorisation des cas, les règles d’arrêt, l’équilibrage, etc. La priorisation des cas est examinée, par exemple, dans Peytchev, Riley, Rosen, Murphy et Lindblad (2010) et dans Beaumont, Haziza et Bocci (2014). Il est question des règles d’arrêt dans Rao, Glickman et Glynn (2008), et dans Wagner et Raghunathan (2010).
Des chercheurs comme Peytcheva et Groves (2009) ont examiné la variation entre les taux de réponse de différents sous-groupes démographiques à la recherche d’indications d’un biais. Andridge et Little (2011) proposent l’analyse indirecte par modèles de mélange de schémas d’observation comme méthode d’évaluation du biais de non-réponse. Le biais de non-réponse ne peut être quantifié, mais des indicateurs du risque de biais peuvent être utilisés, comme il en est question dans Wagner (2012), Kreuter, Olson, Wagner, Yan, Ezzati-Rice, Casas-Cordero, Lemay, Peytchev, Groves et Raghunathan (2010), Lohr, Riddles et Morganstein (2016), Nishimura, Wagner et Elliott (2016).
La représentativité et l’équilibre sont maintenant des termes fréquemment utilisés en ce qui a trait à l’ensemble des unités répondantes. Des indicateurs de représentativité, dont l’indicateur R fondé sur les probabilités de réponse estimées, ont été élaborés; voir Schouten, Cobben et Bethlehem (2009), Bethlehem, Cobben et Schouten (2011), Schouten, Shlomo et Skinner (2011), et Bianchi, Shlomo, Schouten, da Silva et Skinner (2016).
L’équilibrage est une procédure utilisée en matière de collecte des données pour obtenir au bout du compte un ensemble représentatif de répondants. La clé consiste à faire en sorte que les moyennes des variables auxiliaires pour les répondants soient proches des moyennes correspondantes calculables pour l’échantillon probabiliste, ou connues pour la population. C’est ce qui sous-tend la statistique de déséquilibre de la réponse IMB (de l’anglais imbalance), utilisée dans Särndal (2011a) et Lundquist et Särndal (2013). Il existe des méthodes de réduction d’IMB dans la collecte de données adaptative; voir par exemple Särndal et Lundquist (2014).
On utilise souvent l’expression « ajustement pour la non-réponse » afin d’évoquer un estimateur idéal qui serait satisfaisant en cas de réponse complète, mais qui devrait être « réparé » pour être un substitut crédible en présence de non-réponse. L’ajustement sert à limiter l’inconvénient, à savoir le biais de non-réponse. La pratique actuelle des organismes statistiques consiste à utiliser des variables auxiliaires dans l’estimation, en calculant les poids d’ajustement de la non-réponse calés. Il est possible d’obtenir une variance réduite et un biais de non-réponse réduit. Plusieurs travaux récents, dont des articles de synthèse, traitent des procédures de pondération de la phase d’estimation, par exemple, Brick (2013), Fattorini, Franceschi et Maffei (2013), Haziza et Lesage (2016), Little et Vartivarian (2005), Tourangeau, Brick, Lohr et Li (2017). Särndal et Lundström (2005, 2008, 2010) et Särndal (2011b) examinent le choix des variables auxiliaires dans les procédures de pondération, mais ce n’est pas l’objet du présent article.
Il est évident qu’un meilleur équilibre de la réponse pourrait considérablement améliorer l’exactitude si l’estimateur utilisé est rudimentaire, comme la moyenne de réponse élargie par la taille de la population. Le point de départ est en fait que les variables auxiliaires sont très utilisées à l’étape d’estimation, et que le fait de les utiliser aussi dans la collecte de données adaptative peut être une caractéristique apportant un avantage supplémentaire. Ce rôle combiné des variables auxiliaires est potentiellement important.
Des travaux ont soulevé la question de savoir si l’équilibrage de la réponse réduira significativement le biais de non-réponse, par exemple dans Schouten, Cobben, Lundquist et Wagner (2014), Lundquist et Särndal (2013), Särndal et Lundquist (2014), Särndal, Lumiste et Traat (2016). Ces études constatent que l’équilibrage apporte une amélioration de l’exactitude, bien qu’elle ne soit pas très prononcée. Les modestes gains obtenus n’étaient ni solides ni convaincants. Quant aux preuves, elles sont pour la plupart empiriques. Il est nécessaire de mieux comprendre les raisons théoriques du « succès limité » d’une collecte de données adaptative. L’article apporte des éclaircissements pour tenter de répondre à la question : l’utilisation de variables auxiliaires dans une collecte de données adaptative peut-elle contribuer à une plus grande amélioration de l’estimation, sachant que ces variables sont de toute façon utilisées dans la pondération calée à l’étape de l’estimation ? La question importe pour les recherches sur les plans de sondage adaptatifs. Ces plans doivent constituer une promesse formelle d’amélioration des estimations. En effet, si l’amélioration est nulle ou faible, dans des conditions assez générales, il semble en partie moins motivant de choisir un plan adaptatif. Nous étudions les raisons théoriques de gain d’exactitude apporté par un meilleur équilibre de la réponse et, plus précisément, la raison pour laquelle on peut attendre « un avantage marginal » d’un plan adaptatif, c’est-à-dire une amélioration supplémentaire des estimations par l’utilisation de variables auxiliaires également à l’étape de la collecte de données. Il est tout à fait légitime de réutiliser les variables auxiliaires à l’étape de l’estimation.
L’article est structuré de la manière suivante. La notation est présentée (section 2) pour trois sous-ensembles de population importants, soit l’échantillon probabiliste, l’ensemble de réponses et son complément l’ensemble de non-réponses. Le rôle du vecteur auxiliaire (vecteur est mis en évidence, en particulier dans la statistique de déséquilibre de réponse, notée IMB. Pour estimer le total de population nous considérons l’estimateur basé sur des poids calés sur le vecteur auxiliaire. Son écart par rapport à l’estimateur sans biais, qui est hypothétique parce qu’il exige une réponse complète, est un indicateur de biais que nous examinons de manière approfondie.
Nous décomposons l’écart de l’estimateur par calage (section 3) en deux termes, le terme réductible et le terme résistant. Le premier peut être réduit par un plan de sondage adaptatif; il est en fait réductible jusqu’à zéro si un équilibre parfait est atteint. En revanche, la collecte de données adaptative a peu d’effets sur le terme résistant, ce qui laisse penser qu’au mieux, le plan adaptatif est un remède partiel pour éliminer le biais de non-réponse. Le cas particulier où le vecteur encode un ensemble de groupes d’échantillons exhaustifs et mutuellement exhaustifs est particulièrement important (section 4). Par sa plus grande résolubilité mathématique, il permet de mieux comprendre les deux termes de la décomposition. La preuve empirique utilisant les données de l’Enquête sur la population active en Suède (section 5) illustre et confirme les conclusions théoriques dégagées à propos des deux termes. L’article se termine par des remarques finales (section 6). Les démonstrations sont présentées en annexe.
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