Une évaluation de l’amélioration de l’exactitude au moyen d’un plan de sondage adaptatif
Section 3. Analyser l’écart par rapport à une estimation sans biais

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3.1  Décomposer l’écart de l’estimateur CAL

Nous décomposons l’écart de CAL, ${\Delta }_{\text{CAL}}={\overline{x}}_s^{\prime }\left(b_r-b_s\right),$ afin de mieux comprendre son comportement en cas d’amélioration de l’équilibre par une collecte de données adaptative. Nous pouvons prévoir que ${\Delta }_{\text{CAL}}$ sera réduit, sinon à zéro au moins dans une certaine mesure, et dans des conditions que nous cherchons à déterminer. Aucun signe apparent immédiat n’indique que ${\overline{x}}_s^{\prime }\left(b_r-b_s\right)$ serait réduit quand ${\overline{x}}_r$ se rapprocherait de la valeur fixe ${\overline{x}}_s.$ Il faut approfondir l’analyse pour expliquer la réduction de ${\Delta }_{\text{CAL}},$ le cas échéant.

Quand le vecteur $x$ choisi est de dimension relativement élevée, l’équilibre parfait ${\overline{x}}_r={\overline{x}}_s$ (et donc $\text{IMB}=0)$ est difficile à atteindre dans une collecte de données, mais on peut s’efforcer de s’en rapprocher. Nous avons néanmoins une idée de la nature de ${\Delta }_{\text{CAL}}$ en établissant ${\overline{x}}_r={\overline{x}}_s;$ au moyen de (2.6) on obtient

$${\Delta }_{\text{CAL}}={\overline{x}}_s^{\prime }\left(b_r-b_s\right)={\overline{x}}_r^{\prime }{b}_r-{\overline{y}}_s={\overline{y}}_r-{\overline{y}}_s=\left(1-P\right)\left({\overline{y}}_r-{\overline{y}}_{nr}\right)\ne 0,(3.1)$$

$${\widehat{Y}}_{\text{CAL}}-{\widehat{Y}}_{\text{FUL}}=\widehat{N}{\Delta }_{\text{CAL}}=\widehat{N}\left({\overline{y}}_r-{\overline{y}}_s\right)={\widehat{Y}}_{\text{EXP}}-{\widehat{Y}}_{\text{FUL}}.$$

Par conséquent, l’équilibre parfait, ${\overline{x}}_r={\overline{x}}_s,$ ne réduit pas ${\Delta }_{\text{CAL}}$ à zéro; il donne ${\widehat{Y}}_{\text{CAL}}={\widehat{Y}}_{\text{EXP}}=\widehat{N}{\overline{y}}_r.$ Cette dernière équation semble d’abord paradoxale, car ${\widehat{Y}}_{\text{CAL}}$ est supposé meilleur que la valeur rudimentaire ${\widehat{Y}}_{\text{EXP}}.$ Nous constatons en fait qu’en cas d’équilibre parfait, ils sont égaux. On résout le paradoxe en remarquant que ${\overline{y}}_r-{\overline{y}}_s$ sera probablement plus petit, et même considérablement plus petit, quand la réponse $r$ est parfaitement équilibrée sur $x$ – à cet égard plus proche de $s$ – que quand elle ne l’est pas. Il est faux de dire que l’information auxiliaire n’est pas utilisée. Cette information est précisément ce qu’il faut pour obtenir un équilibre parfait.

Särndal et Lundquist (2014) ont donné une preuve empirique de la relation entre ${\Delta }_{\text{CAL}}$ et IMB. Pour les données d’enquête analysées dans le présent article, ${\Delta }_{\text{CAL}}$ diminue considérablement quand IMB est réduit, mais ne se rapproche pas de zéro quand IMB tend vers zéro. Ces résultats empiriques laissent penser que ${\Delta }_{\text{CAL}}$ se stabilise à une certaine valeur non nulle.

En cas d’équilibre parfait, l’écart (3.1) a la même expression, ${\Delta }_{\text{CAL}}=\left(1-P\right)\left({\overline{y}}_r-{\overline{y}}_{nr}\right),$ pour tout vecteur $x.$ Cependant, sa valeur n’est pas identique, car l’ensemble d’unités dans une réponse parfaitement équilibrée $r$ sera différente d’un vecteur $x$ au suivant. Pour un vecteur $x$ donné, l’écart augmente avec le taux de non-réponse $1-P$ et avec la divergence ${\overline{y}}_r-{\overline{y}}_{nr}$ entre les moyennes $y$ de la réponse et de la non-réponse. L’équilibre parfait et par conséquent $\text{IMB}=0$ se vérifient en particulier pour le vecteur $x$ trivial, qui ne présente aucun intérêt en pratique, $x_k=1$ pour tous les $k;$ dans ce cas, la formule ${\Delta }_{\text{CAL}}=\left(1-P\right)\left({\overline{y}}_r-{\overline{y}}_{nr}\right)$ est un rappel d’une note élémentaire mais souvent citée sur l’effet de biais de la non-réponse : Cochran (1977, page 361) donnait déjà une expression analogue pour le biais de la moyenne de l’ensemble de réponses, dans le contexte d’une population modélisée consistant en une strate de réponse (unités répondantes avec une probabilité de un) et une strate de non-réponse (unités répondantes avec une probabilité de zéro). Le message est : le biais augmente avec le taux de non-réponse et avec la séparation entre les moyennes de la réponse et de la non-réponse.

Nous cherchons à décomposer ${\Delta }_{\text{CAL}}={\overline{x}}_s^{\prime }\left(b_r-b_s\right)$ en deux composantes de sorte que l’une d’elles soit réductible à zéro en cas d’équilibre parfait ${\overline{x}}_r={\overline{x}}_s.$ Plusieurs fractionnements peuvent répondre à cette « exigence nulle » pour l’un des deux termes. Särndal et Lundquist (2017) examinent un de ces fractionnements, ${\Delta }_{\text{CAL}}={\overline{e}}_r+u_r,$ où ${\overline{e}}_r={\displaystyle {\sum }_r{d}_k{e}_k}/{\displaystyle {\sum }_r{d}_k}={\overline{x}}_r^{\prime }\left(b_r-b_s\right)$ est la moyenne, sur la réponse $r,$ des résidus de la régression de $y$ sur $x$ ajustée à l’échantillon $s,$ $e_k=y_k-x_k^{\prime }{b}_s,$ et $u_r$ est le reste : ${\Delta }_r-{\overline{e}}_r=u_r=-{\left({\overline{x}}_r-{\overline{x}}_s\right)}^{\prime }\left(b_r-b_s\right).$ Ces auteurs appellent ${\overline{e}}_r$ incohérence de la régression, pour indiquer que le modèle de régression pour l’échantillon complet échoue (ou est incohérent) quand il est appliqué à la réponse : Les résidus $e_k$ ont une moyenne nulle, ${\overline{e}}_s=0,$ sur l’échantillon $s,$ mais une moyenne non nulle, ${\overline{e}}_r\ne 0,$ sur la réponse $r.$ L’incohérence est un résultat (non surprenant) de « valeurs manquantes non au hasard ».

Nous avons $u_r=0$ en cas d’équilibre parfait ${\overline{x}}_r={\overline{x}}_s,$ alors ${\Delta }_{\text{CAL}}={\overline{e}}_r.$ Särndal et Lundquist (2017) prouvent empiriquement que quand le déséquilibre IMB est réduit au moyen d’une collecte de données adaptative, ${\Delta }_{\text{CAL}}$ et ${\overline{e}}_r$ sont tous deux réduits, mais aucun n’est réduit à zéro, et que le ratio ${\overline{e}}_r/{\Delta }_{\text{CAL}}$ tend lentement vers 1 quand IMB se rapproche de zéro.

3.2  Opposer la réponse et la non-réponse

On comprend mieux en cherchant à décomposer ${\Delta }_{\text{CAL}}={\overline{x}}_s^{\prime }\left(b_r-b_s\right)$ de sorte que le premier terme demeure à peu près constant quand le déséquilibre est réduit, tandis que le deuxième terme tend vers zéro dans ce processus. Cette décomposition isolerait donc une partie de l’écart non touchée par le plan adaptatif et indiquerait pourquoi le plan adaptatif réussit, au mieux, « partiellement » à éliminer le biais. La décomposition du résultat 3.1 est motivée par la volonté d’opposer l’ensemble de réponses $r$ et l’ensemble de non-réponses $nr=s-r.$ La notation est donnée dans (2.2) pour les moyennes $x$ et dans (2.5) pour les vecteurs de régression.

Résultat 3.1. L’écart du CAL ${\Delta }_{\text{CAL}}={\overline{x}}_s^{\prime }\left(b_r-b_s\right)$ a la décomposition ${\Delta }_{\text{CAL}}=D_1+D_2$ où

$$D_1=\left(1-P\right){\overline{x}}_s^{\prime }\left(b_r-b_{nr}\right);D_2=-P\left(1-P\right){\left({\overline{x}}_r-{\overline{x}}_{nr}\right)}^{\prime }\left(b_r-b_{nr}\right).$$

Les expressions suivantes sont équivalentes :

$${\Delta }_{\text{CAL}}=\left(1-P\right){\overline{x}}_{nr}^{\prime }\left(b_r-b_{nr}\right);D_2=P{\left({\overline{x}}_s-{\overline{x}}_r\right)}^{\prime }\left(b_r-b_{nr}\right).$$

La partie 1 de l’annexe montre comment les composantes $D_1$ et $D_2$ sont calculées à partir de la définition (2.7) de ${\Delta }_{\text{CAL}}.$ Le résultat suscite plusieurs commentaires :

1. L’équilibrage de la réponse pendant la collecte des données peut rapprocher ${\overline{x}}_r$ de ${\overline{x}}_s$ et, par conséquent, réduire IMB et $D_2$ pour les faire tendre vers zéro. En cas d’équilibre parfait ${\overline{x}}_r={\overline{x}}_s,$ $D_2=0$ mais $D_1\ne 0.$
2. Pour obtenir $D_1=0,$ il faut $b_r=b_{nr}.$ Cela ne se produit pas, y compris en cas d’équilibre parfait. L’échantillon $s$ et sa moyenne ${\overline{x}}_s$ sont fixes. L’élimination du terme $D_1$ semble hors de portée. Mais est-ce qu’une « meilleure composition » de l’ensemble de réponses $r$ – ${\overline{x}}_r$ proche de ${\overline{x}}_s$ et IMB plus faible  – influe favorablement sur la différence $b_r-b_{nr}$ et par conséquent sur $D_1?$

Il est difficile d’obtenir une réponse simple à cette question. Intuitivement, le transfert de certaines unités, pendant la collecte des données, de la non-réponse $nr=s-r$ à la réponse $r$ semble indiquer que $b_r-b_{nr}$ est peu touché, et que la valeur $D_1$ reste plutôt constante. Cela est plus explicite quand $x$ est un vecteur de groupes, c’est-à-dire se présente sous la forme $x_k={\left(0,\dots ,1,\dots ,0\right)}^{\prime }\text{};$ voir la section 4. Nous appellerons $D_2$ le terme réductible et $D_1$ le terme résistant de l’écart ${\Delta }_{\text{CAL}}=D_1+D_2.$ Notons que nous considérons ici un choix fixe de vecteur $x.$ Un changement de vecteur aurait nécessairement des effets à la fois sur $D_1$ et sur $D_2.$

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