Une évaluation de l’amélioration de l’exactitude au moyen d’un plan de sondage adaptatif
Section 5. Preuve empirique

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Les travaux empiriques présentés dans cette section illustrent une partie de la théorie avancée dans les sections précédentes. Nous avons utilisé des données d’enquête du cycle de 2012 de l’Enquête sur la population active (EPA) de Statistique Suède. Les résultats sont présentés dans les tableaux 5.1 à 5.4.

Pour créer l’ensemble de données de l’EPA de 2012, nous avons combiné les 12 échantillons de la première vague de 2012. La taille de la première vague mensuelle compte environ 2 650 unités (personnes). L’ensemble de données de l’EPA de 2012 est traité comme un échantillon aléatoire simple $s$ de taille $n=$  32 265. La réponse ou la non-réponse dans la collecte des données réelle est enregistrée et disponible pour toutes les unités. Dans la collecte de données réelle, le taux de réponse était de 70,6 %. La description détaillée des données et la construction des ensembles de réponses expérimentaux des tableaux sont décrites plus en détail dans Särndal et Lundquist (2017).

Dans l’analyse de l’ensemble de données de l’EPA de 2012, nous avons utilisé différents vecteurs  $x$ obtenus par croisement de variables  $x$ binaires : Instruc, égale à 1 en cas de personne à niveau d’instruction élevée et à 0 sinon; Propriétaire, égale à 1 pour une personne propriétaire de son logement et à 0 sinon; Origine, égale à 1 pour une personne née en Suède et à 0 sinon; État civil, égale à 1 pour une personne mariée ou veuve et à 0 sinon; Sexe, égale à 1 pour une personne de sexe masculin et à 0 sinon. Les résultats sont présentés ici pour deux vecteurs  $x.$

Le vecteur  $x$ dans les tableaux 5.1 et 5.3 représente le croisement des trois premières variables binaires : $x=x_1=$ (Instruc $\times$ Propriétaire $\times$ Origine); sa dimension, égale au nombre de groupes, est $J=2^3=8.$ On a obtenu le vecteur  $x$ dans les tableaux 5.2 et 5.4 en croisant également la valeur binaire État civil : $x=x_2=$ (Instruc $\times$ Propriétaire $\times$ Origine $\times$ État civil), de dimension $J=2^4=16.$

Dans cette étude expérimentale, nous avons utilisé deux variables  $y,$ Employé et Revenu. Ce sont deux variables de registre; avec les valeurs $y_k$ disponibles pour toutes les unités $k\in s.$ Elles sont donc des « pseudo-variables  $y»$ plutôt que des variables  $y$ d’enquête réelles. Le fait de connaître $y_k$ pour $k\in s$ nous permet de calculer les coefficients de régression et les moyennes  $y$ à la fois pour la réponse et la non-réponse. La variable  $y$ est Employé dans le tableau 5.1 (avec $x=x_1)$ et dans le tableau 5.2 (avec $x=x_2).$ Employé est binaire, avec une valeur $y_k=1$ si $k$ est une personne employée, et zéro sinon. La variable $y$ est Revenu dans le tableau 5.3 (avec $x=x_1)$ et dans le tableau 5.4 (avec $x=x_2).$ Revenu est une variable continue de registre, disponible dans le registre fiscal suédois. Nous avons normalisé Revenu pour qu’il y ait une variance moyenne et unitaire nulle sur $s.$ Si Revenu a une variabilité et une asymétrie considérables, les résultats sont quelque peu instables. Une valeur  $y_k$ peut avoir une incidence considérable dans un petit groupe, par rapport à la plus grande stabilité de la variable  $y0/1$ Employé.

Les quatre lignes des tableaux 5.1 à 5.4 renvoient à une série de quatre ensembles de réponses différents. Leur caractéristique importante est qu’ils sont, par construction, des ensembles avec des IMB de plus en plus faibles. La première ligne, Réel, est l’ensemble de réponses consigné dans la collecte des données de l’Enquête sur la population active de 2012 pour les 32 265 unités (personnes). Les trois derniers ensembles de réponses, A65, A63, A60, tirés de Särndal et Lundquist (2017), sont construits à partir de Réel au moyen de la méthode du seuil de façon à obtenir une réduction successive du déséquilibre IMB.

Ainsi, on a créé l’ensemble de réponses A65 à partir de Réel en diminuant, à chacun des points d’intervention, les unités répondantes de Réel dont la propension à répondre calculée dépasse le seuil de 0,65. Cela tend à aplanir les différences de propension à répondre, de sorte que cette construction réduit IMB, et que le taux de réponse global $P$ diminue quelque peu. On a obtenu les ensembles de réponses désignés par A63 et A60 en fixant leur seuil respectif à 0,63 et 0,60; encore une fois, IMB et $P$ sont réduits.

Les colonnes du tableau montrent : le taux de réponse  $P,$ le déséquilibre IMB (multiplié par 10²), les composantes $D_1$ et $D_2$ de l’écart ${\Delta }_{\text{CAL}}=D_1+D_2$ (toutes les trois multipliées par 10²), la proportion $D_2$ de ${\Delta }_{\text{CAL}},$ $\text{Prop}{D}_2=100\times D_2/{\Delta }_{\text{CAL}},$ et enfin le rapport de taille $D_1,$ $\text{Rel}{D}_1=D_1/\text{la}\text{moyenne}\left(D_1\right),$ où la moyenne $\left(D_1\right)$ est la moyenne arithmétique des quatre valeurs de $D_1.$ du tableau. Nous utilisons $\text{Rel}{D}_1$ pour voir si sa valeur est proche de « un » pour toutes les lignes, conformément à la théorie selon laquelle $D_1$ est peu touché par la réduction du déséquilibre IMB.

Les résultats des tableaux 5.1 à 5.4 donnent lieu aux observations suivantes. La deuxième et la troisième sont particulièrement intéressantes, car elles confirment ce que la théorie des sections précédentes suggère, à savoir que quand IMB est réduit, $\text{Prop}{D}_2$ diminue assez nettement, tandis que $\text{Rel}{D}_1$ reste très proche de 1.

1. Dans les quatre tableaux, $D_1$ et $D_2$ ont le même signe. Les deux sont positifs, et le déséquilibre IMB réduit (de la première à la quatrième ligne) entraîne une réduction de ${\Delta }_{\text{CAL}}=D_1+D_2,$ presque entièrement attribuable à la diminution de $D_2.$
2. Dans chaque tableau, les rapports $\text{Rel}{D}_1$ ne sont pas éloignés de 1. La valeur de $D_1$ est ainsi remarquablement constante dans les quatre lignes (ensembles de réponses), et par conséquent insensible à la réduction d’IMB.
3. Dans chaque tableau, les valeurs $D_2$ et $\text{Prop}{D}_2$ diminuent sur les quatre lignes, comme le laissait prévoir la théorie. En fait, $\text{Prop}{D}_2$ tend vers zéro avec IMB. L’effet de la variable  $y$ est important; $\text{Prop}{D}_2$ est beaucoup plus grand pour Revenu que pour Employé.
4. La variation du vecteur  $x$ a une influence importante sur $D_1,$ pour les deux variables $y.$ Le passage de $x=x_1,$ qui est plus petit, (tableaux 5.1 et 5.3) à $x=x_2,$ plus vaste, (tableaux 5.2 et 5.4) entraîne une réduction considérable de $D_1,$ tandis que $D_2$ varie très peu.

Nous avons examiné la répartition des divergences du groupe $J,$ soit ${\delta }_j,$ $j=1,\dots ,J,$ pour les vecteurs $x_1$ (avec $J=8),$ $x_2$ (avec $J=16)$ et $x_3=$ (Instruc  $\times$  Propriétaire  $\times$  Origine  $\times$ État civil  $\times$  Sexe) (avec $J=32).$ Pour Employé et Revenu, et pour les quatre ensembles de réponses, on constate sans surprise quelques grandes valeurs ${\delta }_j$ positives et une certaine asymétrie dans la répartition. Pour les deux variables, $\overline{\delta }={\displaystyle {\sum }_{j=1}^J{W}_j{\delta }_j}$ est nettement positif. Cela signifie qu’en moyenne dans les groupes, les moyennes $y$ sont, pour ces données, plus élevées pour les répondants que pour les non-répondants. Il s’agit d’une caractéristique de ces variables $y$ particulières.

Pour $x_3,$ le graphique des 32 divergences ${\delta }_j$ par rapport au différentiel de non-réponse $Q_j-Q$ montre une majorité de points près de zéro sur les deux axes, et des valeurs dispersées dans les quatre quadrants du graphique. Le graphique indique une corrélation positive, mais peu prononcée, entre ${\delta }_j$ et $Q_j-Q,$ ce qui rend le terme de covariance $D_2$ positif.

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