Estimation sur petits domaines réconciliée sous le modèle de base au niveau de l’unité lorsque les taux d’échantillonnage sont non négligeables
Section 5. Exemple fondé sur des données réelles

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Dans cette section, nous comparons les estimateurs réconciliés dans une analyse fondée sur des données réelles. L’ensemble de données étudié est celui présenté par Battese et coll. (1988), dans le cadre d’une étude visant à estimer le nombre moyen d’hectares consacrés à la culture du maïs et du soja par segment dans douze comtés du Centre-Nord de l’Iowa. La variable de réponse $y_{ij}$ est le nombre d’hectares consacrés à la culture du maïs dans le $j^{\text{e}}$ segment du $i^{\text{e}}$ comté. Les variables auxiliaires, $x_{1ij}$ et $x_{2ij},$ représentent le nombre de pixels classés comme étant du maïs ou du soja, respectivement, dans le $j^{\text{e}}$ segment du $i^{\text{e}}$ comté. Nous présentons uniquement les résultats pour ${\overline{Y}}_i,$ le nombre moyen d’hectares consacrés à la culture du maïs par segment pour le comté $i.$

Suivant la méthode de Battese et coll. (1988), nous avons supprimé les données d’échantillon du deuxième segment échantillonné dans le comté de Hardin, car la superficie consacrée à la culture du maïs pour ce segment semblait erronée. Parmi les douze comtés, trois comtés ne comportaient qu’un seul segment échantillonné. Suivant la méthode de Prasad et Rao (1990), nous avons regroupé ces trois comtés en un seul, donnant lieu à un ensemble de données comprenant 10 comtés dont la taille d’échantillon $n_i$ variait de 2 à 5 dans chaque comté. Le nombre total de segments $N_i$ (taille de la population) dans chaque comté variait de 402 à 1 505. Suivant la méthode de You et Rao (2002), nous avons supposé un échantillonnage aléatoire simple dans chaque comté, et le poids de sondage de base a été calculé comme $d_{ij}=N_i/n_i$ pour l’unité $j$ dans le $i^{\text{e}}$ comté.

Nous fondons nos calculs sur le modèle d’échantillonnage au niveau de l’unité donné par

$$y_{ij}={\beta }_0+x_{1ij}{\beta }_1+x_{2ij}{\beta }_2+v_i+e_{ij},j=1,\dots ,n_i;i=1,\dots ,10,(5.1)$$

où $v_i$ et $e_{ij}$ sont des erreurs normalement distribuées à variances communes ${\sigma }_v^2$ et ${\sigma }_e^2.$ Nous avons ajusté le modèle (5.1) en fonction des données d’échantillon pour obtenir des estimations par l’estimateur MPE/EBE de $\beta$ et $v_i,$ désignées $\widehat{\beta }={\left({\widehat{\beta }}_0,{\widehat{\beta }}_1,{\widehat{\beta }}_2\right)}^T$ et ${\widehat{v}}_i,$ et reparamétré les estimations par le MVRE des composantes de la variance, désignées $\left({\widehat{\sigma }}_v^{2\text{reRE}},{\widehat{\sigma }}_e^{2\text{reRE}}\right).$ Les estimations EBLUP des effets fixes du modèle sont de ${\widehat{\beta }}_0=$ 58,5; ${\widehat{\beta }}_1=$ 0,316 et ${\widehat{\beta }}_2=$ -0,150, tandis que les estimations par le MVREre des composantes de la variance sont de ${\widehat{\sigma }}_v^{2\text{reRE}}=$ 135,6 et ${\widehat{\sigma }}_e^{2\text{reRE}}=$ 155,9. Le $\delta$ estimé est de 0,869, ce qui se rapproche de 1. Pour chaque unité dans l’échantillon, nous avons répété le vecteur $x_{ij}={\left(1,x_{1ij},x_{2ij}\right)}^T$ plusieurs fois égales à $\left[d_{ij}\right],$ le nombre entier le plus proche du poids d’échantillonnage $d_{ij}=N_i/n_i.$ Ainsi, nous avons obtenu une pseudo-population de valeurs $x,$ désignée $x_{ij}^{\text{ps}}={\left(1,x_{1ij}^{\text{ps}},x_{2ij}^{\text{ps}}\right)}^T,$ la taille de la population du comté étant égale à $N_i^{\text{ps}}=n_i\left[N_i/n_i\right].$ Les valeurs $y$ de notre pseudo-population, désignée $y_{ij}^{\text{ps}},$ sont définies comme suit : $y_{ij}^{\text{ps}}=y_{ij}$ pour $j\in s_i,$ et $y_{ij}^{\text{ps}}={\widehat{\beta }}_0+x_{1ij}^{\text{ps}}{\widehat{\beta }}_1+x_{2ij}^{\text{ps}}{\widehat{\beta }}_2+{\widehat{v}}_i+e_{ij}^{\text{ps}}$ pour $j\in r_i^{\text{ps}},$ où $e_{ij}^{\text{ps}}~N\left(0,{\widehat{\sigma }}_e^{2\text{reRE}}\right)$ et $r_i^{\text{ps}}$ se compose des unités non observées $N_i^{\text{ps}}-n_i$ dans le $i^{\text{e}}$ petit domaine. Prasad et Rao (1990) ont utilisé une procédure semblable pour générer une pseudo-population comptant un plus grand nombre de comtés que l’ensemble de données présenté par Battese et coll. (1988). Leur pseudo-population composée de vingt comtés a été obtenue en deux étapes : en premier lieu, les valeurs des variables auxiliaires associées à l’ensemble de données original ont été reproduites; ensuite, les valeurs de la variable de réponse ont été calculées à partir du modèle, en utilisant les valeurs $x$ reproduites et les estimations des paramètres du modèle. 

Soient ${\overline{Y}}_i={\left(N_i^{\text{ps}}\right)}^{-1}{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{N_i^{\text{ps}}}{y}_{ij}^{\text{ps}}}$ et $Y={\displaystyle {\sum }_{i=1}^{10}{N}_i^{\text{ps}}{\overline{Y}}_i}$ respectivement la moyenne du $i^{\text{e}}$ petit domaine et le total de la pseudo-population. Au niveau de la population, nous estimons $Y$ au moyen de l’estimateur GREG ${\widehat{Y}}^{\text{GREG}}$ d’après les poids donnés par l’équation (3.2), où le vecteur $x_{ij}^{\text{ps}*}$ est le vecteur bidimensionnel $x_{ij}^{\text{ps}*}={\left(1,x_{1ij}^{\text{ps}}\right)}^T.$ Il s’ensuit que $x_{ij}^{\text{ps}}\not\subset x_{ij}^{\text{ps}*},$ étant donné que $x_{ij}^{\text{ps}}={\left(1,x_{1ij}^{\text{ps}},x_{2ij}^{\text{ps}}\right)}^T$ et $x_{ij}^{\text{ps}*}={\left(1,x_{1ij}^{\text{ps}}\right)}^T.$

À partir de la pseudo-population $\left(y_{ij}^{\text{ps}},x_{ij}^{\text{ps}}\right),j=1,\dots ,N_i^{\text{ps}};i=1,\dots ,10,$ nous avons prélevé $G=$ 30 000 échantillons aléatoires simples stratifiés sans remise de taille $n_i$ et traité chaque comté comme une strate. Ces tailles d’échantillon étaient égales à celles de l’ensemble de données original. Nous avons utilisé le biais relatif (BR) sous le plan et l’erreur quadratique moyenne (REQMR) pour évaluer le rendement de six estimateurs : deux estimateurs non réconciliés, ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{EBLUP}}$ et ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{YR}},$ et quatre estimateurs réconciliés, ${\widehat{\overline{Y}}}_{ib}^{\text{EBRat}},$ ${\widehat{\overline{Y}}}_{ib}^{\text{YRat}},$ ${\widehat{\overline{Y}}}_{ib}^{\text{REBLUP}}$ et ${\widehat{\overline{Y}}}_{ib}^{\text{RYR}},$ qu’on peut calculer dans le cas de $x_{ij}^{\text{ps}}\not\subset x_{ij}^{\text{ps}*}.$ Soient ${\widehat{\overline{Y}}}_i$ un estimateur générique de la moyenne du $i^{\text{e}}$ petit domaine ${\overline{Y}}_i$ et ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{(g)}$ sa valeur associée au $g^{\text{e}}$ échantillon, pour $g=1,\dots ,G.$ Les valeurs de son BR et de sa REQMR sont données par

$${\text{BR}}_i=\frac{1}{G}{\displaystyle \sum _{g=1}^G\frac{{\widehat{\overline{Y}}}_i^{(g)}}{{\overline{Y}}_i}-1}\text{et}{\text{REQMR}}_i=\sqrt{\frac{1}{G}{\displaystyle \sum _{g=1}^G{\left(\frac{{\widehat{\overline{Y}}}_i^{(g)}}{{\overline{Y}}_i}-1\right)}^2}}.$$

Le tableau 5.1 présente le BR sous le plan et la REQMR des six estimateurs de ${\overline{Y}}_i$ pour les dix comtés de la pseudo-population. Dans cet exemple, nous constatons que les BR et les REQMR sont assez semblables pour l’ensemble des estimateurs et des tailles d’échantillon, parce que le modèle ayant permis de générer les données sur la population est exact, tandis que le modèle pour petits domaines et l’estimateur GREG ont tous deux en commun la variable auxiliaire égale au nombre de pixels classés comme étant du maïs. 

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