Estimation sur petits domaines réconciliée sous le modèle de base au niveau de l’unité lorsque les taux d’échantillonnage sont non négligeables
Section 6. Conclusion

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En général, la somme des estimations sur petits domaines fondées sur un modèle n’est pas égale à une estimation directe obtenue pour l’ensemble de ces petits domaines. Le poids qui est associé à l’estimateur direct peut être le poids d’échantillonnage ou un poids obtenu en utilisant l’estimateur GREG. Les données auxiliaires qui sont utilisées pour obtenir les estimations GREG et les estimations sur petits domaines au niveau de l’unité peuvent ne pas nécessairement coïncider. Dans le présent document, nous avons proposé plusieurs procédures de réconciliation pour deux estimateurs sur petits domaines bien connus (EBLUP et YR) qui reposent sur le modèle au niveau de l’unité. Nous avons examiné le cas où les taux d’échantillonnage ne sont pas négligeables et le plan d’échantillonnage est ignorable. Dans l’éventualité où l’on considèrerait que le plan d’échantillonnage n’est pas ignorable pour certaines des questions d’enquête, le vecteur de données auxiliaires $x_{ij}$ dans le modèle (2.2) pourrait être augmenté en intégrant une autre variable spécifiée $g_{ij}$ fonction des poids de sondage pour compenser le biais potentiel des estimateurs EBLUP ou YR. Verret et coll. (2015) ont proposé un certain nombre d’options pour $g_{ij}$ qui comprenaient le poids de sondage $w_{ij}.$ Dans le cas de l’estimateur EBLUP, la réconciliation est réalisée en ajoutant la variable $q_{ij}=w_{ij}^{\text{GREG}}-1.$ Étant donné que $q_{ij}$ doit présenter une forte corrélation avec $w_{ij},$ la procédure proposée pour réconcilier l’estimateur EBLUP doit offrir une bonne protection contre un possible plan d’échantillonnage non ignorable. Les simulations présentées dans Verret et coll. (2015) ont montré que la procédure YR, en elle-même, offre également une bonne protection contre un possible plan d’échantillonnage non ignorable. Leurs simulations ont également montré qu’on peut obtenir une protection supplémentaire en définissant $g_{ij}$ comme étant égal à $n_i{w}_{ij}.$

Nous avons étendu les procédures de réconciliation décrites dans Stefan et Hidiroglou (2020) au cas de taux d’échantillonnage non négligeables dans chaque petit domaine. Ces procédures reposent sur des estimateurs qui ont à l’origine été élaborés par Battese et coll. (1988) (estimateur EBLUP) et You et Rao (2002) (estimateur YR) lorsque les taux d’échantillonnage dans chaque petit domaine sont négligeables. Ugarte et coll. (2009) ont proposé un estimateur réconcilié différent qui est un estimateur EBLUP restreint. Nous avons étendu la procédure décrite dans Ugarte et coll. (2009) pour obtenir un estimateur réconcilié qui intègre les poids de sondage et qui est essentiellement un estimateur YR restreint. Nous avons également examiné deux estimateurs réconciliés fondés sur des ajustements par le ratio simples appliqués aux estimateurs EBLUP et YR respectivement. Nous avons réalisé une étude par simulations pour comparer les propriétés de ces six estimateurs réconciliés.

Si les données auxiliaires utilisées pour estimer les moyennes de petits domaines sont les mêmes que celles utilisées dans l’estimateur GREG, et si le modèle est exact, la procédure restreinte décrite dans Ugarte et coll. (2009) et l’estimateur EBLUP ajusté par le ratio présenteront les plus faibles $\overline{\text{BRA}}$ et $\overline{\text{REQMR}}.$ En revanche, si le modèle est inexact et si les données auxiliaires sont les mêmes, l’estimateur YR fondé sur la procédure décrite dans Stefan et Hidiroglou (2020), adaptée aux taux d’échantillonnage non négligeables, présente les plus faibles $\overline{\text{BRA}},$ tandis que l’estimateur YR restreint présente les plus faibles $\overline{\text{REQMR}}.$ Par contre, si les données auxiliaires utilisées pour estimer les moyennes de petits domaines ne sont pas le mêmes que celles utilisées dans l’estimateur GREG, nous en arrivons aux conclusions suivantes. L’estimateur EBLUP restreint et l’estimateur EBLUP ajusté par le ratio sont les estimateurs réconciliés qui présentent les plus faibles $\overline{\text{BRA}}$ et $\overline{\text{REQMR}}$ si le modèle est exact. Si le modèle n’est pas exact, l’estimateur YR restreint est l’option privilégiée quant au $\overline{\text{BRA}}$ et à la $\overline{\text{REQMR}}.$

La réconciliation doit être fondée sur la procédure EBLUP si le modèle linéaire à effets mixtes est adéquat. Si le modèle linéaire et la référence (l’estimateur GREG) ont en commun une grande quantité de données auxiliaires, les estimateurs réconciliés sont semblables à leurs versions non réconciliées, autrement la perte d’efficacité en raison de la réconciliation peut être importante. Si le modèle n’est pas exact, la procédure YR doit être utilisée pour réaliser la réconciliation. En pareil cas, la réconciliation peut entraîner des gains importants quant au $\overline{\text{BRA}}$ et à la $\overline{\text{REQMR}},$ surtout si le modèle pour petits domaines et l’estimateur GREG partagent un petit nombre de variables auxiliaires. Les populations finies associées à une modélisation inexacte ont été générées d’après le modèle (4.2), la fonction moyenne ayant été incorrectement spécifiée. Cependant, un modèle peut être mal spécifié de différentes façons, et les conclusions associées à ces cas peuvent être différentes.

Remerciements

Nous aimerions remercier deux évaluateurs anonymes et le rédacteur en chef adjoint pour leurs suggestions constructives.

Annexe A

Preuve du résultat 1. Les estimateurs EBLUP ${\widehat{\beta }}_a={({({\widehat{\beta }}_{1a})}^T,{\widehat{\beta }}_{2a})}^T$ et ${\widehat{v}}_{ia},$ qui sont fondés sur le modèle (3.6), satisfont l’équation

$${\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j\in s_i}\left(\begin{array}{l}{x}_{ij}\\ q_{ij}\end{array}\right)\left(y_{ij}-x_{ij}^T{\widehat{\beta }}_{1a}-q_{ij}{\widehat{\beta }}_{2a}-{\widehat{v}}_{ia}\right)}}=0.(\text{A}.1)$$

L’équation (A.1) prend la forme de l’équation (2.10) et correspond au modèle augmenté (3.6). En étendant la seconde équation sous (A.1), nous obtenons que

$${\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j\in s_i}{q}_{ij}{x}_{ij}^T{\widehat{\beta }}_{1a}}}+{\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j\in s_i}{q}_{ij}^2{\widehat{\beta }}_{2a}}}+{\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j\in s_i}{q}_{ij}{\widehat{v}}_{ia}}}={\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j\in s_i}{q}_{ij}{y}_{ij}}}.(\text{A}.2)$$

La variable $q_{ij}$ est définie comme $q_{ij}=w_{ij}^{\text{GREG}}-1.$ Le côté droit de l’équation (A.2) est

$${\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j\in s_i}{q}_{ij}{y}_{ij}}}={\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j\in s_i}\left(w_{ij}^{\text{GREG}}-1\right)y_{ij}}}={\widehat{Y}}^{\text{GREG}}-{\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j\in s_i}{y}_{ij}}.}(\text{A}.3)$$

Les sommes qui figurent du côté gauche de l’équation (A.2) sont données par

$${\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j\in s_i}{q}_{ij}{x}_{ij}^T}}={\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j\in s_i}\left(w_{ij}^{\text{GREG}}-1\right)x_{ij}^T}}={\left({\displaystyle \sum _{i=1}^m{X}_i}-{\displaystyle \sum _{j\in s_i}{x}_{ij}}\right)}^T={\left({\displaystyle \sum _{i=1}^m{x}_{ir}}\right)}^T,(\text{A}.4)$$

$${\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j\in s_i}{q}_{ij}^2}=}{\displaystyle \sum _{i=1}^m{q}_{iw}},(\text{A}.5)$$

$${\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j\in s_i}{q}_{ij}}}={\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j\in s_i}\left(w_{ij}^{\text{GREG}}-1\right)}}={\displaystyle \sum _{i=1}^m\left({\widehat{N}}_i^{\text{GREG}}-n_i\right)}.(\text{A}.6)$$

En établissant la dernière égalité de l’équation (A.4), nous avons utilisé le fait que $x_{ij}\subseteq x_{ij}^{*}$ et que les poids $w_{ij}^{\text{GREG}}$ satisfont l’équation (3.3). Le résultat 1 s’obtient en remplaçant (A.3), (A.4), (A.5) et (A.6) par (A.2).

Preuve du résultat 2. Les équations d’estimation pondérées par les poids de sondage qui définissent ${\widehat{\beta }}^{\text{YR}}$ et ${\widehat{v}}^{\text{YR}}$ sont données par l’équation (2.12) construite avec les poids $w_{ij}^{\text{GREG}}-1:$

$${\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j\in s_i}\left(w_{ij}^{\text{GREG}}-1\right)x_{ij}\left(y_{ij}-x_{ij}^T{\widehat{\beta }}^{\text{YR}}-{\widehat{v}}_i^{\text{YR}}\right)}=0\text{.}}$$

Étant donné que le premier terme de $x_{ij}$ est un (représentant une ordonnée à l’origine), il s’ensuit que

$${\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j\in s_i}\left(w_{ij}^{\text{GREG}}-1\right)\left(y_{ij}-x_{ij}^T{\widehat{\beta }}^{\text{YR}}-{\widehat{v}}_i^{\text{YR}}\right)}=0}.(\text{A}.7)$$

Les termes dans l’équation (A.7) sont donnés par :

$${\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j\in s_i}\left(w_{ij}^{\text{GREG}}-1\right)y_{ij}}={\widehat{Y}}^{\text{GREG}}-{\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j\in s_i}{y}_{ij}}}},(\text{A}.8)$$

$${\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j\in s_i}\left(w_{ij}^{\text{GREG}}-1\right)x_{ij}^T{\widehat{\beta }}^{\text{YR}}}={\left({\displaystyle \sum _{i=1}^m{X}_i}-{\displaystyle \sum _{j\in s_i}{x}_{ij}}\right)}^T}{\widehat{\beta }}^{\text{YR}}={\left({\displaystyle \sum _{i=1}^m{x}_{ir}}\right)}^T{\widehat{\beta }}^{\text{YR}},(\text{A}.9)$$

et

$${\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j\in s_i}\left(w_{ij}^{\text{GREG}}-1\right){\widehat{v}}_i^{\text{YR}}}={\displaystyle \sum _{i=1}^m\left({\widehat{N}}_i^{\text{GREG}}-n_i\right){\widehat{v}}_i^{\text{YR}}}}.(\text{A}.10)$$

L’ajout de (A.8), (A.9) et (A.10) à (A.7) permet d’obtenir

$${\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j\in s_i}{y}_{ij}}}+{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^m{x}_{ri}}\right)}^T{\widehat{\beta }}^{\text{YR}}+{\displaystyle \sum _{i=1}^m\left({\widehat{N}}_i^{\text{GREG}}-n_i\right){\widehat{v}}_i^{\text{YR}}}={\widehat{Y}}^{\text{GREG}}.(\text{A}.11)$$

L’équation (A.11) démontre le résultat 2.

Annexe B

Estimation des composantes de la variance par le MVRE reparamétré

Soit $\delta =\left({\delta }_1,{\delta }_2\right)$ le vecteur des composantes de la variance, où ${\delta }_1={\sigma }_v^2$ et ${\delta }_2={\sigma }_e^2.$ Nous définissons le vecteur $\alpha =\left({\alpha }_1,{\alpha }_2\right)$ de sorte que ${\sigma }_v^2=e^{{\alpha }_1}$ et ${\sigma }_e^2=e^{{\alpha }_2}.$ La fonction du maximum de vraisemblance logarithmique restreint, désignée $l\left(\text{}\alpha \text{}\right)$ est

$$l\left(\text{}\alpha \text{}\right)=l\left({\alpha }_1,{\alpha }_2\right)=c-\frac{1}{2}\log \left|V\right|-\frac{1}{2}\log \left|X^T{V}^{-1}X\right|-\frac{1}{2}{y}^{T}Py,(\text{B}.1)$$

où $c$ est une constante générique, $V=e^{{\alpha }_1}Z{Z}^T+e^{{\alpha }_2}{I}_n$ et $P=V^{-1}-V^{-1}X{(X^T{V}^{-1}X)}^{-1}{X}^T{V}^{-1}.$ Il convient de souligner que $PX=0.$ La solution à la maximisation de $l\left(\text{}\alpha \text{}\right)$ est obtenue de manière itérative au moyen de l’algorithme de cotation de Fisher en mettant à jour l’équation suivante

$${\alpha }^{(r+1)}={\alpha }^{(r)}+I{({\alpha }^{(r)})}^{-1}s({\alpha }^{(r)}).(\text{B}.2)$$

Dans ce cas-ci, $s({\alpha }^{(r)})=({\partial l({\alpha }^{(r)})/\partial {\alpha }_1,\partial l({\alpha }^{(r)})/\partial {\alpha }_2)}^T$ est le vecteur de dérivées partielles de premier ordre de $l\left(\text{}\alpha \text{}\right)$ en ce qui concerne $\alpha ,$ et $I\left({\alpha }^{(r)}\right)={(I_{jk}\left({\alpha }^{(r)}\right))}_{j,k=1,2}$ est la matrice des dérivées de deuxième ordre attendues de $-l\left(\text{}\alpha \text{}\right)$ en ce qui concerne $\alpha ,$ où $I_{jk}({\alpha }^{(r)})=E(-{\partial }^{2}l({\alpha }^{(r)})/\partial {\alpha }_j\partial {\alpha }_k).$

Sous le modèle BHF, les dérivées partielles de premier ordre de $l\left(\text{}\alpha \text{}\right)$ sont données par

$$\frac{\partial l}{\partial {\alpha }_j}(\alpha )=\left[-\frac{1}{2}\text{tr}\text{(}P{V}_{(j)}\text{)}+\frac{1}{2}{y}^{T}P{V}_{(j)}Py\right]e^{{\alpha }_j},j=1,2,(\text{B}.3)$$

où $V_{(1)}=Z{Z}^T$ et $V_{(2)}=I_n.$ Les valeurs attendues des dérivées partielles de deuxième ordre de $l\left(\text{}\alpha \text{}\right)$ sont

$$E\left(\frac{{\partial }^{2}l}{\partial {\alpha }_j\partial {\alpha }_k}(\alpha )\right)=-\frac{1}{2}\text{tr}\text{(}P{V}_{(j)}P{V}_{(k)}\text{)}{e}^{{\alpha }_j+{\alpha }_k},j,k=1,2.(\text{B}.4)$$

L’estimateur par le MVRE reparamétré de $\delta$ est obtenu au moyen de

$${\widehat{\delta }}^{\text{reRE}}=\left({\widehat{\sigma }}_v^{2\text{reRE}},{\widehat{\sigma }}_e^{2\text{reRE}}\right)=\left(e^{{\widehat{\alpha }}_1},e^{{\widehat{\alpha }}_2}\right).(\text{B}.5)$$

Bibliographie

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