Estimation sur petits domaines réconciliée sous le modèle de base au niveau de l’unité lorsque les taux d’échantillonnage sont non négligeables
Section 2. Estimation EBLUP et pseudo-EBLUP

Prenons le modèle de régression à erreurs emboîtées simple

$y_{i j} = x_{i j}^{T} β + v_{i} + e_{i j}, i = 1, \dots, m; j = 1, \dots, N_{i}, (2.1)$

où $y_{i j}$ est la variable d’intérêt pour la $j^{e}$ unité de population dans le $i^{e}$ petit domaine, $x_{i j} = {(x_{i j 1}, \dots, x_{i j p})}^{T}$ est un vecteur de variables auxiliaires avec $x_{i j 1} = 1,$ $β = {(β_{1}, \dots, β_{p})}^{T}$ est un vecteur de paramètres de régression $p \times 1$ et $N_{i}$ est le nombre d’unités de population dans le $i^{e}$ petit domaine, $U_{i} .$ Les effets aléatoires de petit domaine $v_{i}$ sont présumés indépendants et identiquement distribués (i.i.d.) $N (0, σ_{v}^{2}),$ et indépendants des erreurs au niveau de l’unité $e_{i j},$ qui sont présumées i.i.d. $N (0, σ_{e}^{2}) .$ Nous prélevons des échantillons $s_{i}$ de taille $n_{i}$ de manière indépendante dans chaque petit domaine $i,$ selon un plan d’échantillonnage spécifié, les probabilités d’inclusion de premier ordre étant désignées $π_{i j},$ pour $j = 1, \dots, N_{i} .$ La taille totale de l’échantillon est $n,$ où $n = \sum_{i = 1}^{m} n_{i} .$ Les poids de sondage de base qui en résultent sont donnés par $d_{i j} = 1 / π_{i j} .$ Nous supposons que le plan d’échantillonnage est ignorable et qu’il n’y a pas de biais de sélection. Cela suppose que le modèle (2.1) vaut également pour les données de l’échantillon :

$y_{i j} = x_{i j}^{T} β + v_{i} + e_{i j}, i = 1, \dots, m; j = 1, \dots, n_{i}, (2.2)$

Le modèle (2.2) est un cas particulier du modèle linéaire mixte général. En définissant $y_{i} = {(y_{i 1}, \dots, y_{i n_{i}})}^{T},$ $X_{i} = {(x_{i 1}^{T}, \dots, x_{i n_{i}}^{T})}^{T},$ $v = {(v_{1}, \dots, v_{m})}^{T}$ et $e_{i} = {(e_{i 1}, \dots, e_{i n_{i}})}^{T},$ il s’ensuit que le modèle (2.2) peut s’exprimer sous une forme matricielle par empilement des observations. L’équation qui en résulte est

$y = X β + Z v + e, (2.3)$

où $y = {col}_{1 \leq i \leq m} (y_{i}),$ $X = {col}_{1 \leq i \leq m} (X_{i}),$ $Z = {diag}_{1 \leq i \leq m} {1_{n_{i}}}$ et $e = {col}_{1 \leq i \leq m} (e_{i}),$ avec $1_{n_{i}}$ un vecteur de dimension $n_{i}$ composé de uns. Nous désignons $G$ et $R$ les matrices de variance des vecteurs aléatoires $v$ et $e$ respectivement. Alors $G = σ_{v}^{2} I_{m}$ et $R = σ_{e}^{2} I_{n} .$ Il s’ensuit que la matrice de variance du vecteur $y,$ désignée $V,$ est donnée par $V = R + Z G Z^{T} .$

Les paramètres d’intérêt sont les moyennes de petits domaines ${\bar{Y}}_{i},$ où ${\bar{Y}}_{i} = N_{i}^{- 1} \sum_{j = 1}^{N_{i}} y_{i j}, i = 1, \dots, m .$ Si $N_{i}$ est grand, la fraction d’échantillonnage $f_{i} = N_{i}^{- 1} n_{i}$ du $i^{e}$ petit domaine est négligeable. Cette configuration correspond au cas d’une population infinie ou à des taux d’échantillonnage négligeables. Il s’ensuit que les moyennes de petits domaines ${\bar{Y}}_{i}$ peuvent être approximées par $μ_{i}$ (voir Rao et Molina, 2015, page 174), où $μ_{i} = {\bar{X}}_{i}^{T} β + v_{i}$ et ${\bar{X}}_{i} = \sum_{j = 1}^{N_{i}} x_{i j} / N_{i}$ est le vecteur des moyennes de population des $x_{i j}$ pour le $i^{e}$ domaine. Un estimateur de $μ_{i}$ est donné par ${\hat{μ}}_{i} = {\bar{X}}_{i}^{T} \hat{β} + {\hat{v}}_{i}$ (Rao et Molina, 2015, page 175), où $\hat{β}$ et ${\hat{v}}_{i}$ sont des estimateurs de $β$ et $v_{i}$ respectivement. Si $N_{i}$ n’est pas suffisamment grand ou si les taux d’échantillonnage $f_{i}$ ne sont pas négligeables, les paramètres ${\bar{Y}}_{i}$ ne peuvent être approximés par des combinaisons linéaires de $β$ et $v_{i} .$ Cela correspond au cas d’une population finie. Soit $r_{i}$ l’ensemble des valeurs $y$ non observées $N_{i} - n_{i}$ dans le petit domaine $i .$ Si nous supposons que nous connaissons les $x_{i j}$ pour chaque personne dans la population, un estimateur ${\hat{\bar{Y}}}_{i}$ de ${\bar{Y}}_{i}$ est fondé sur les valeurs observées de $y_{i j}, j \in s_{i}$ et les valeurs prédites de ${\hat{y}}_{i j} = x_{i j}^{T} \hat{β} + {\hat{v}}_{i}$ pour $j \in r_{i} .$ Autrement dit, l’estimateur ${\hat{\bar{Y}}}_{i}$ est donné par

${\hat{\bar{Y}}}_{i} = \frac{1}{N_{i}} (\sum_{j \in s_{i}} y_{i j} + \sum_{j \in r_{i}} {\hat{y}}_{i j}) . (2.4)$

Une grande partie de la théorie sur l’EPD concerne le cas d’une population infinie, alors que la documentation sur le cas d’une population finie est plus limitée. Dans le présent document, nous nous attardons au cas d’une population finie (ou de taux d’échantillonnage non négligeables) et nous construisons par conséquent des estimateurs fondés sur l’équation (2.4).

2.1 Estimation EBLUP

Nous désignons $\tilde{β}$ et $\tilde{v} = {({\tilde{v}}_{1}, \dots, {\tilde{v}}_{m})}^{T}$ les prédicteurs EBLUP de $β$ et de $v$ respectivement. Ces estimateurs sont donnés par $\tilde{β} = {(X^{T} V^{- 1} X)}^{- 1} X^{T} V^{- 1} y$ et $\tilde{v} = G Z^{T} V^{- 1} (y - X \tilde{β}) .$ Dans l’hypothèse de la normalité de $e$ et de $v,$ on peut démontrer que $\tilde{β}$ et $\tilde{v}$ peuvent être obtenus en maximisant la densité conjointe de $y$ et de $v$ en ce qui concerne $β$ et $v .$ Ceci équivaut à minimiser la fonction

$ϕ = {(y - X β - Z v)}^{T} R^{- 1} (y - X β - Z v) + v^{T} G^{- 1} v . (2.5)$

Il en résulte les équations d’un modèle mixte suivantes

$A (\begin{array}{l} \tilde{β} \\ \tilde{v} \end{array}) = b, (2.6)$

où

$A = (\begin{array}{l} X^{T} R^{- 1} X X^{T} R^{- 1} Z \\ Z^{T} R^{- 1} X Z^{T} R^{- 1} Z + G^{- 1} \end{array}) et b = (\begin{array}{l} X^{T} R^{- 1} y \\ Z^{T} R^{- 1} y \end{array}) . (2.7)$

(voir Rao et Molina, 2015, page 99 pour plus de détails). Les composantes de la variance $(σ_{v}^{2}, σ_{e}^{2})$ dans les équations (2.6) et (2.7) sont généralement inconnues. Trois méthodes d’estimation, la méthode FC, le MV et le MVRE, sont couramment utilisées dans l’EPD pour estimer les composantes de la variance $(σ_{v}^{2}, σ_{e}^{2}) .$ Une difficulté bien connue avec ces méthodes est que l’estimation de $σ_{v}^{2}$ peut prendre des valeurs négatives. En pareil cas, cette estimation est tronquée à zéro, c’est-à-dire que ${\hat{σ}}_{v}^{2}$ reçoit la valeur 0. Des versions empiriques de $A$ et de $b,$ désignées $\hat{A}$ et $\hat{b},$ sont obtenues si les composantes inconnues de la variance $(σ_{v}^{2}, σ_{e}^{2})$ sont remplacées par des estimateurs $({\hat{σ}}_{v}^{2}, {\hat{σ}}_{e}^{2}) .$ Il découle de l’équation (2.6) que des estimateurs EBLUP des paramètres du modèle $(β, v),$ désignés $\hat{β}$ et $\hat{v} = {({\hat{v}}_{1}, \dots, {\hat{v}}_{m})}^{T},$ sont donnés par

$(\begin{array}{l} \hat{β} \\ \hat{v} \end{array}) = {\hat{A}}^{- 1} \hat{b} . (2.8)$

Au moyen de l’équation (2.8), il peut être démontré que $\hat{β}$ et $\hat{v}$ sont

$(\begin{array}{l} \hat{β} \\ \hat{v} \end{array}) = (\begin{array}{l} {(X^{T} {\hat{V}}^{- 1} X)}^{- 1} X^{T} {\hat{V}}^{- 1} y \\ \hat{G} Z^{T} {\hat{V}}^{- 1} (y - X \hat{β}) \end{array}), (2.9)$

où $\hat{G} = {\hat{σ}}_{v}^{2} I_{m}$ et $\hat{V} = {\hat{σ}}_{e}^{2} I_{n} + {\hat{σ}}_{v}^{2} Z Z^{T} .$

Remarque 1. Il est plus facile d’inverser les matrices $\hat{G} = {\hat{σ}}_{v}^{2} I_{m}$ et $\hat{R} = {\hat{σ}}_{e}^{2} I_{n}$ que $\hat{V} .$ En conséquence, il est plus simple d’utiliser les équations du modèle mixte (2.8) que les équations (2.9) pour calculer $\hat{β}$ et $\hat{v} .$ Cependant, lorsque ${\hat{σ}}_{v}^{2}$ est égal à zéro, les équations (2.8) ne peuvent être utilisées, car le terme ${\hat{G}}^{- 1}$ dans la matrice $\hat{A}$ n’existe pas. En pareil cas, $\hat{β}$ et $\hat{v}$ ne peuvent être calculés qu’avec les équations (2.9).

Dans le modèle (2.2), on peut démontrer que $\hat{β}$ et ${\hat{v}}_{i}$ dans $\hat{v} = {({\hat{v}}_{1}, \dots, {\hat{v}}_{m})}^{T}$ satisfont l’équation

$\sum_{i = 1}^{m} \sum_{j \in s_{i}} x_{i j} (y_{i j} - x_{i j}^{T} \hat{β} - {\hat{v}}_{i}) = 0. (2.10)$

Des estimateurs $\hat{β}$ et ${\hat{v}}_{i}$ sont utilisés pour calculer des prédicteurs EBLUP ${\hat{y}}_{i j}^{EBLUP}$ pour les unités non observées $N_{i} - n_{i}$ dans le petit domaine $i :$ ${\hat{y}}_{i j}^{EBLUP} = x_{i j}^{T} \hat{β} + {\hat{v}}_{i}$ pour $j \in r_{i} .$ Un estimateur EBLUP de ${\bar{Y}}_{i},$ désigné ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{EBLUP},$ est obtenu en remplaçant ${\hat{y}}_{i j}$ par ${\hat{y}}_{i j}^{EBLUP}$ dans l’équation (2.4). Il s’ensuit que ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{EBLUP}$ est

${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{EBLUP} = \frac{1}{N_{i}} [\sum_{j \in s_{i}} y_{i j} + x_{i r}^{T} \hat{β} + (N_{i} - n_{i}) {\hat{v}}_{i}], (2.11)$

où $x_{i r} = \sum_{j \in r_{i}} x_{i j}$ représente la somme des valeurs non échantillonnées $x_{i j} .$

2.2 Estimation de You-Rao

You et Rao (2002) ont proposé un estimateur de la moyenne de petits domaines pseudo-EBLUP (estimateur YR) qui intègre les poids de sondage $d_{i j}$ à la formule de l’estimateur EBLUP. Une propriété de l’estimateur pseudo-EBLUP est que la cohérence du plan est préservée lorsque la taille d’échantillon dans le domaine augmente. De plus, le prédicteur YR protège contre l’échec du modèle ou un plan d’échantillonnage informatif (voir entre autres Hidiroglou et Estevao, 2016 et Verret, Rao et Hidiroglou, 2015 pour plus de détails). On peut construire des estimateurs pseudo-EBLUP en utilisant la procédure décrite dans You et Rao (2002) avec des poids de sondage $w_{i j}$ qui peuvent être calés sur un vecteur de variables auxiliaires. Soient ${\hat{β}}^{YR}$ et ${\hat{v}}^{YR} = {({\hat{v}}_{1}^{YR}, \dots, {\hat{v}}_{m}^{YR})}^{T}$ les estimateurs YR de $β$ et $v$ respectivement fondés sur des poids $w_{i j}$ (voir You et Rao, 2002 pour plus de détails). Les estimateurs ${\hat{β}}^{YR}$ et ${\hat{v}}_{i}^{YR}$ satisfont les équations d’estimation au niveau de l’unité

$\sum_{i = 1}^{m} \sum_{j \in s_{i}} w_{i j} x_{i j} (y_{i j} - x_{i j}^{T} {\hat{β}}^{YR} - {\hat{v}}_{i}^{YR}) = 0. (2.12)$

Les équations (2.12) représentent la version pondérée par les poids de sondage des équations (2.10). Les prédicteurs de You-Rao ${\hat{y}}_{i j}^{YR}$ de $y_{i j}$ sont calculés comme ${\hat{y}}_{i j}^{YR} = x_{i j}^{T} {\hat{β}}^{YR} + {\hat{v}}_{i}^{YR}$ pour $j \in r_{i} .$ Le remplacement de ${\hat{y}}_{i j}$ par ${\hat{y}}_{i j}^{YR}$ dans l’équation (2.4) permet d’obtenir l’estimateur YR de ${\bar{Y}}_{i}$ dans le cas de taux d’échantillonnage non négligeables :

${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{YR} = \frac{1}{N_{i}} [\sum_{j \in s_{i}} y_{i j} + x_{i r}^{T} {\hat{β}}^{YR} + (N_{i} - n_{i}) {\hat{v}}_{i}^{YR}] . (2.13)$

On peut obtenir autrement les estimateurs ${\hat{β}}^{YR}$ et ${\hat{v}}^{YR}$ comme solutions à des équations d’un modèle mixte pondéré semblables à l’équation (2.6) (voir Huang et Hidiroglou, 2003 pour plus de détails). À cette fin, nous définissons les matrices $W_{i} = {diag}_{1 \leq j \leq n_{i}} {w_{i j}},$ $W = {diag}_{1 \leq i \leq m} {W_{i}}$ et $Ω = {diag}_{1 \leq i \leq m} {ω_{i}},$ où $ω_{i} = \sum_{j \in s_{i}} w_{i j}^{2} / \sum_{j \in s_{i}} w_{i j}$ pour $i = 1, \dots, m .$ Soit $ϕ_{w}$ la version pondérée de l’échantillon $ϕ,$ où

$ϕ_{w} = {(y - X β - Z v)}^{T} W^{1 / 2} R^{- 1} W^{1 / 2} (y - X β - Z v) + v^{T} Ω^{1 / 2} G^{- 1} Ω^{1 / 2} v, (2.14)$

$W^{1 / 2}$ et $Ω^{1 / 2}$ représentant la racine carrée des matrices $W$ et $Ω$ respectivement. Dans le premier terme de $ϕ_{w},$ l’erreur du modèle associée à l’observation $y_{i j}$ est pondérée par le poids de sondage correspondant $w_{i j},$ tandis que dans le second terme de $ϕ_{w},$ le facteur $ω_{i}$ dans la matrice diagonale $Ω$ représente le poids lié à l’effet de petit domaine $v_{i} .$ On peut démontrer que la minimisation de $ϕ_{w}$ en ce qui concerne $β$ et $v$ permet d’obtenir $({\hat{β}}^{YR}, {\hat{v}}^{YR}) .$ Il s’ensuit que $({\hat{β}}^{YR}, {\hat{v}}^{YR})$ sont donnés par

$(\begin{array}{l} {\hat{β}}^{YR} \\ {\hat{v}}^{YR} \end{array}) = {\hat{A}}_{w}^{- 1} {\hat{b}}_{w}, (2.15)$

où les valeurs connues de $A_{w}$ et $b_{w}$ sont données par

$A_{w} = (\begin{array}{l} X^{T} W^{1 / 2} R^{- 1} W^{1 / 2} X X^{T} W^{1 / 2} R^{- 1} W^{1 / 2} Z \\ Z^{T} W^{1 / 2} R^{- 1} W^{1 / 2} X Z^{T} W^{1 / 2} R^{- 1} W^{1 / 2} Z + Ω^{1 / 2} G^{- 1} Ω^{1 / 2} \end{array}) et b_{w} = (\begin{array}{l} X^{T} W^{1 / 2} R^{- 1} W^{1 / 2} y \\ Z^{T} W^{1 / 2} R^{- 1} W^{1 / 2} y \end{array}), (2.16)$

et ${\hat{A}}_{w}$ et ${\hat{b}}_{w}$ sont des versions empiriques de $A_{w}$ et $b_{w}$ obtenues en estimant $G$ et $R$ par $\hat{G} = {\hat{σ}}_{v}^{2} I_{m}$ et $\hat{R} = {\hat{σ}}_{e}^{2} I_{n}$ respectivement. L’équation (2.15) peut également s’écrire sous la forme

$(\begin{array}{l} {\hat{β}}^{YR} \\ {\hat{v}}^{YR} \end{array}) = (\begin{array}{l} {(X^{T} {\hat{V}}_{w}^{- 1} X)}^{- 1} X^{T} {\hat{V}}_{w}^{- 1} y \\ {\hat{G}}_{ω} Z^{T} {\hat{V}}_{w}^{- 1} (y - X {\hat{β}}^{YR}) \end{array}), (2.17)$

où ${\hat{G}}_{ω} = Ω^{- 1 / 2} \hat{G} Ω^{- 1 / 2}$ et ${\hat{V}}_{w} = W^{- 1 / 2} \hat{R} W^{- 1 / 2} + Z {\hat{G}}_{ω} Z^{T} .$

ISSN : 1712-5685

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N° 12-001-X au catalogue

Périodicité : semi-annuel

Ottawa

Date de modification :: 2021-06-24

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Estimation sur petits domaines réconciliée sous le modèle de base au niveau de l’unité lorsque les taux d’échantillonnage sont non négligeables
Section 2. Estimation EBLUP et pseudo-EBLUP

2.1 Estimation EBLUP

2.2 Estimation de You-Rao

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