Estimation sur petits domaines réconciliée sous le modèle de base au niveau de l’unité lorsque les taux d’échantillonnage sont non négligeables
Section 3. Estimateurs réconciliés

Table des matières

Nous élaborons maintenant des estimateurs réconciliés des moyennes de petits domaines ${\bar{Y}}_{i}$ à l’aide du modèle au niveau de l’unité (2.2) ou de versions augmentées de ce dernier. Nous supposons qu’un estimateur direct fiable ${\hat{Y}}_{w} = \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j \in s_{i}} w_{i j} y_{i j}$ du total de population $Y$ est disponible, où $Y = \sum_{i = 1}^{m} Y_{i}$ et $Y_{i} = N_{i} {\bar{Y}}_{i}$ est le total du petit domaine $i .$ Soit ${\hat{\bar{Y}}}_{i}$ l’estimateur sur petits domaines fondé sur un modèle de ${\bar{Y}}_{i} .$ Il est souhaitable de veiller à ce que les valeurs agrégées de ${\hat{\bar{Y}}}_{i}$ correspondent à l’estimateurs fiable ${\hat{Y}}_{w} .$ Les estimateurs de moyennes de petits domaines ${\hat{\bar{Y}}}_{i},$ $i = 1, \dots, m$ sont considérés réconciliés à ${\hat{Y}}_{w}$ si

$\sum_{i = 1}^{m} N_{i} {\hat{\bar{Y}}}_{i} = {\hat{Y}}_{w} . (3.1)$

Soit ${\hat{Y}}_{w}$ un estimateur GREG avec des poids calés au niveau de la population sur un vecteur de variables auxiliaires $x_{i j}^{*} .$ Cet estimateur est analogue à l’estimateur par la régression combiné si l’on considère les petits domaines comme des strates. Le vecteur de variables auxiliaires $x_{i j}^{*}$ peut ou non être le même que $x_{i j} .$ Nous distinguons deux cas dans ce contexte : $x_{i j} \subseteq x_{i j}^{*}$ et $x_{i j} ⊄ x_{i j}^{*} .$ Le premier cas, $x_{i j} \subseteq x_{i j}^{*},$ suppose que toutes les composantes de $x_{i j}$ appartiennent également à $x_{i j}^{*}$ et que $x_{i j}^{*}$ peut ou non comporter d’autres composantes qui sont différentes de celles contenues dans $x_{i j} .$ Le second cas, $x_{i j} ⊄ x_{i j}^{*},$ suppose que certaines des composantes de $x_{i j}$ n’apparaissent pas dans $x_{i j}^{*} .$ Nous supposons que la première composante des deux vecteurs $x_{i j}$ et $x_{i j}^{*}$ est égale à un, car ces derniers représentent un terme d’ordonnée à l’origine.

Pour un échantillon donné $s,$ les données auxiliaires $x_{i j}^{*}$ et les poids de sondage de base $d_{i j} = 1 / π_{i j},$ l’estimateur GREG du total de population $Y$ est donné par

${\hat{Y}}^{GREG} = \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j \in s_{i}} w_{i j}^{GREG} y_{i j},$

où les poids GREG $w_{i j}^{GREG}$ sont donnés par

$w_{i j}^{GREG} = d_{i j} (1 + {(X^{*} - {\hat{X}}^{* HT})}^{T} {(\sum_{i = 1}^{m} \sum_{j \in s_{i}} d_{i j} x_{i j}^{*} x_{i j}^{* T})}^{- 1} x_{i j}^{*}) . (3.2)$

Dans l’équation (3.2), $X^{*} = \sum_{i = 1}^{m} X_{i}^{*},$ où $X_{i}^{*} = \sum_{j = 1}^{N_{i}} x_{i j}^{*}$ représente le total de petits domaines connu, tandis que ${\hat{X}}^{* HT} = \sum_{i = 1}^{m} {\hat{X}}_{i}^{* HT}$ et ${\hat{X}}_{i}^{* HT} = \sum_{j \in s_{i}} d_{i j} x_{i j}^{*}$ représentent respectivement les estimateurs directs de Horvitz-Thompson fondés sur un plan de sondage de $X^{*}$ et $X_{i}^{*} .$ Il convient de souligner que

$\sum_{i = 1}^{m} \sum_{j \in s_{i}} w_{i j}^{GREG} x_{i j}^{*} = X^{*} . (3.3)$

À l’aide des poids GREG $w_{i j}^{GREG},$ les estimateurs de $N_{i}$ et $X_{i}$ sont donnés par

${\hat{N}}_{i}^{GREG} = \sum_{j \in s_{i}} w_{i j}^{GREG} et {\hat{X}}_{i}^{GREG} = \sum_{j \in s_{i}} w_{i j}^{GREG} x_{i j} . (3.4)$

Les estimations sur petits domaines ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{EBLUP}$ et ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{YR}$ données respectivement par les équations (2.11) et (2.13) ne satisfont pas l’équation de réconciliation (3.1) pour ${\hat{Y}}_{w} = {\hat{Y}}^{GREG},$ c’est-à-dire que les estimations totales ${\hat{Y}}^{EBLUP} = \sum_{i = 1}^{m} N_{i} {\hat{\bar{Y}}}_{i}^{EBLUP}$ et ${\hat{Y}}^{YR} = \sum_{i = 1}^{m} N_{i} {\hat{\bar{Y}}}_{i}^{YR}$ ne correspondent pas à l’estimateur GREG ${\hat{Y}}^{GREG} .$ Nous devons ajuster ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{EBLUP}$ et ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{YR}$ de sorte que la somme de ces estimateurs sur petits domaines modifiés corresponde à ${\hat{Y}}^{GREG}$ lorsque la somme de tous les petits domaines $m$ est faite.

Une modification très simple des ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{EBLUP}$ et des ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{YR}$ est appelée la réconciliation par le ratio. Elle consiste à multiplier chaque ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{EBLUP}$ et ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{YR}$ par les facteurs d’ajustement communs ${\hat{Y}}^{GREG} / \sum_{i = 1}^{m} N_{i} {\hat{\bar{Y}}}_{i}^{EBLUP}$ et ${\hat{Y}}^{GREG} / \sum_{i = 1}^{m} N_{i} {\hat{\bar{Y}}}_{i}^{YR}$ respectivement, permettant d’obtenir les estimateurs réconciliés par le ratio

${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{EBRat} = {\hat{\bar{Y}}}_{i}^{EBLUP} \frac{{\hat{Y}}^{GREG}}{\sum_{i = 1}^{m} N_{i} {\hat{\bar{Y}}}_{i}^{EBLUP}} et {\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{YRat} = {\hat{\bar{Y}}}_{i}^{YR} \frac{{\hat{Y}}^{GREG}}{\sum_{i = 1}^{m} N_{i} {\hat{\bar{Y}}}_{i}^{YR}} . (3.5)$

Il s’ensuit facilement que ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{EBRat}$ et ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{YRat}$ satisfont tous deux l’équation (3.1) avec ${\hat{Y}}_{w} = {\hat{Y}}^{GREG} .$ Dans l’équation (3.5) et ci-après, l’indice $b$ indique que les estimateurs sont réconciliés à ${\hat{Y}}^{GREG} .$

Il convient de souligner que les ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{EBLUP}$ et les ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{YR}$ dans l’équation (3.5) sont multipliés par le même facteur peu importe leur précision et en ignorant les caractéristiques des petits domaines en particulier, comme la variabilité des unités dans un petit domaine ou la taille d’échantillon des petits domaines. En conséquence, les estimateurs réconciliés qui en résultent, ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{EBRat}$ et ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{YRat},$ d’après cette procédure simple, ne sont que des modifications proportionnelles des estimateurs ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{EBLUP}$ et ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{YR}$ respectivement, pour obtenir la concordance voulue. On peut éviter cette limite en utilisant le modèle pour petits domaines (2.2) afin de construire les estimateurs réconciliés.

Nous démontrons maintenant comment le modèle (2.2) peut être utilisé pour obtenir des estimateurs réconciliés à ${\hat{Y}}^{GREG} .$ Aux sections 3.1 et 3.2, nous adaptons les procédures décrites dans Stefan et Hidiroglou (2020) pour obtenir des estimateurs réconciliés au cas des taux d’échantillonnage non négligeables. Aux sections 3.3 et 3.4, nous présentons deux estimateurs réconciliés restreints d’après la procédure proposée par Ugarte et coll. (2009). Les estimateurs réconciliés des sections 3.1 et 3.2 reposent sur l’hypothèse selon laquelle $x_{i j} \subseteq x_{i j}^{*},$ tandis que les estimateurs des sections 3.3 et 3.4 peuvent être calculés pour n’importe quel vecteur $x_{i j}$ et $x_{i j}^{*} .$

3.1 Estimateurs réconciliés EBLUP augmentés

Les poids GREG $w_{i j}^{GREG}$ doivent être utilisés dans l’estimation pour réaliser la réconciliation à ${\hat{Y}}^{GREG} .$ Une façon possible d’intégrer $w_{i j}^{GREG}$ à l’estimation consiste à augmenter le modèle pour petits domaines (2.2) au moyen d’une variable auxiliaire adéquate qui est une fonction de $w_{i j}^{GREG} .$ Cette procédure repose sur l’approche de modèle augmenté adoptée par Wang et coll. (2008), dans laquelle les estimations obtenues au moyen du modèle FH au niveau du domaine ont pu être contraintes de correspondre à des totaux déterminés. Stefan et Hidiroglou (2020) ont adapté l’approche de Wang et coll. (2008) sous le modèle de base au niveau de l’unité et pour des taux d’échantillonnage négligeables. Ils ont démontré que la réconciliation à ${\hat{Y}}^{GREG}$ pouvait être obtenue en augmentant le modèle (2.2) avec les poids GREG $w_{i j}^{GREG} .$ Nous étendons l’approche de Stefan et Hidiroglou (2020) au cas des taux d’échantillonnage non négligeables. Dans ce cas, la réconciliation à ${\hat{Y}}^{GREG}$ est réalisée en augmentant le modèle (2.2) avec $q_{i j} = w_{i j}^{GREG} - 1.$ Il en résulte le modèle augmenté donné par

$y_{i j} = x_{i j}^{T} β_{1 a} + q_{i j} β_{2 a} + v_{i a} + e_{i j a}, i = 1, \dots, m; j \in s_{i} . (3.6)$

Les effets aléatoires $v_{i a}$ sont présumés i.i.d. $N (0, σ_{v a}^{2})$ et indépendants des erreurs au niveau de l’unité $e_{i j a},$ et les $e_{i j a}$ sont présumés i.i.d. $N (0, σ_{e a}^{2}) .$ Les estimateurs EBLUP de $β_{a} = {(β_{1 a}^{T}, β_{2 a})}^{T}$ et $v_{i a}$ sous l’équation (3.6) sont respectivement désignés ${\hat{β}}_{a} = {({\hat{β}}_{1 a}^{T}, {\hat{β}}_{2 a})}^{T}$ et ${\hat{v}}_{i a} .$ Nous pouvons maintenant démontrer le résultat 1 pour ${\hat{β}}_{a}$ et ${\hat{v}}_{i a} .$

Résultat 1. Les estimateurs EBLUP ${\hat{β}}_{a}$ et ${\hat{v}}_{i a}$ reposant sur le modèle (3.6) obéissent à l’équation suivante

$\sum_{i = 1}^{m} \sum_{j \in s_{i}} y_{i j} + {(\sum_{i = 1}^{m} x_{i r})}^{T} {\hat{β}}_{1 a} + \sum_{i = 1}^{m} q_{i w} {\hat{β}}_{2 a} + \sum_{i = 1}^{m} ({\hat{N}}_{i}^{GREG} - n_{i}) {\hat{v}}_{i a} = {\hat{Y}}^{GREG}, (3.7)$

où $q_{i w} = \sum_{j \in s_{i}} q_{i j}^{2} = \sum_{j \in s_{i}} {(w_{i j}^{GREG} - 1)}^{2} .$

Preuve : Voir l’annexe A.

Il découle de l’équation (3.7) que les estimateurs sur petits domaines réconciliés à ${\hat{Y}}^{GREG}$ sont donnés par

${\hat{\bar{Y}}}_{i a b}^{EBLUP} = \frac{1}{N_{i}} [\sum_{j \in s_{i}} y_{i j} + x_{i r}^{T} {\hat{β}}_{1 a} + q_{i w} {\hat{β}}_{2 a} + ({\hat{N}}_{i}^{GREG} - n_{i}) {\hat{v}}_{i a}] . (3.8)$

L’indice $a$ indique que ${\hat{\bar{Y}}}_{i a b}^{EBLUP}$ repose sur le modèle pour petits domaines augmenté.

3.2 Estimateurs réconciliés de You-Rao

On peut utiliser la procédure proposée par You et Rao (2002) avec des poids de sondage $w_{i j}$ quelconques. Cependant, il n’est pas garanti que l’estimateur YR qui en résultera sera réconcilié à ${\hat{Y}}^{GREG} .$ Pour des taux d’échantillonnage négligeables, Stefan et Hidiroglou (2020) ont obtenu des estimateurs réconciliés au moyen de la procédure de You et Rao (2002) d’après les poids $w_{i j} = w_{i j}^{GREG}$ de l’estimateur GREG. Pour des taux d’échantillonnage non négligeables, nous démontrons maintenant que les poids $w_{i j} = w_{i j}^{GREG} - 1$ permettent d’obtenir des estimateurs YR réconciliés.

Soient ${\hat{β}}^{YR}$ et ${\hat{v}}^{YR} = {({\hat{v}}_{1}^{YR}, \dots, {\hat{v}}_{m}^{YR})}^{T}$ des estimateurs YR de $β$ et $v$ respectivement, $w_{i j}$ étant remplacé par $w_{i j}^{GREG} - 1.$ En utilisant ${\hat{β}}^{YR},$ ${\hat{v}}_{i}^{YR}$ et les $N_{i} - n_{i}$ estimations ${\hat{y}}_{i j}^{YR} = x_{i j}^{T} {\hat{β}}^{YR} + {\hat{v}}_{i}^{YR}$ pour $j \in r_{i},$ on peut calculer un estimateur YR, désigné ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{YR},$ à l’aide de l’équation (2.13). Cependant, ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{YR}$ n’est pas réconcilié à ${\hat{Y}}^{GREG}$ même s’il utilise les poids $w_{i j}^{GREG} - 1.$ La procédure YR originale permet d’obtenir un estimateur autoréconcilié dans un nombre limité de cas.

Pour réaliser la réconciliation à ${\hat{Y}}^{GREG},$ un estimateur YR modifié, désigné ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{YR},$ est défini comme suit :

${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{YR} = \frac{1}{N_{i}} [\sum_{j \in s_{i}} y_{i j} + x_{i r}^{T} {\hat{β}}^{YR} + ({\hat{N}}_{i}^{GREG} - n_{i}) {\hat{v}}_{i}^{YR}] . (3.9)$

Ce qui suit démontre que ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{YR}$ défini au moyen de l’équation (3.9) est réconcilié à ${\hat{Y}}^{GREG} .$

Résultat 2. Soient ${\hat{β}}^{YR}$ et ${\hat{v}}^{YR} = {({\hat{v}}_{1}^{YR}, \dots, {\hat{v}}_{m}^{YR})}^{T}$ les estimateurs YR de $β$ et $v$ respectivement, construits avec les poids $w_{i j}^{GREG} - 1.$ Alors, $({\hat{β}}^{YR}, {\hat{v}}^{YR})$ satisfait l’équation suivante :

$\sum_{i = 1}^{m} \sum_{j \in s_{i}} y_{i j} + \sum_{i = 1}^{m} x_{i r}^{T} {\hat{β}}^{YR} + \sum_{i = 1}^{m} ({\hat{N}}_{i}^{GREG} - n_{i}) {\hat{v}}_{i}^{YR} = {\hat{Y}}^{GREG} .$

Preuve : Voir l’annexe A.

Étant donné $x_{i j}^{*},$ les poids $w_{i j}^{GREG}$ sont calés sur $x_{i j}^{*}$ au niveau du petit domaine s’ils satisfont les équations suivantes

$\sum_{j \in s_{i}} w_{i j}^{GREG} x_{i j}^{*} = X_{i}^{*}, pour i = 1, \dots, m . (3.10)$

Les équations (3.10) supposent l’équation (3.3), mais l’inverse n’est pas vrai. Si les poids $w_{i j}^{GREG}$ satisfont les équations (3.10), et étant donné que $x_{i j} \subseteq x_{i j}^{*},$ il s’ensuit que les poids $w_{i j}^{GREG}$ sont également calés sur $x_{i j}$ au niveau du petit domaine. Du même coup, cela suppose que ${\hat{N}}_{i}^{GREG} = N_{i},$ car nous présumons que le vecteur $x_{i j}$ contient le régresseur constant égal à 1. Il s’ensuit que ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{YR} = {\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{YR} .$ Ainsi, l’estimateur YR ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{YR}$ construit avec $w_{i j}^{GREG} - 1$ est autoréconcilié à ${\hat{Y}}^{GREG}$ dans le cas particulier où les poids GREG sont calés au niveau du petit domaine (voir You et Rao, 2002).

3.3 Estimateur réconcilié EBLUP restreint

À la section 2, nous avons démontré qu’on peut obtenir les estimateurs EBLUP de $(β, v)$ si la fonction $ϕ$ définie dans l’équation (2.5) est minimisée en ce qui concerne $(β, v) .$ Il s’ensuit par conséquent qu’on peut considérer un estimateur EBLUP comme la solution à un problème de minimisation non restreinte. L’idée des estimateurs EBLUP restreints est d’obtenir de nouveaux estimateurs de $(β, v)$ en minimisant $ϕ$ sous la restriction donnée par la condition de réconciliation. La procédure a été utilisée par Pfeffermann et Barnard (1991) sous le modèle FH au niveau du domaine. Plus récemment, Ugarte et coll. (2009) ont appliqué la procédure sous le modèle BHF au niveau de l’unité pour obtenir la réconciliation à un estimateur synthétique. Ugarte et coll. (2009) ont décrit l’estimateur restreint comme un estimateur par les moindres carrés généralisés sous une restriction en constatant que la minimisation peut être réalisée comme dans la théorie économétrique de l’estimation par régression sous contraintes linéaires. Nous décrivons maintenant la procédure présentée dans Ugarte et coll. (2009).

Nous désignons ${\hat{β}}^{R}$ et ${\hat{v}}^{R} = {({\hat{v}}_{1}^{R}, \dots, {\hat{v}}_{m}^{R})}^{T}$ les nouveaux estimateurs EBLUP restreints de $(β, v) .$ Ensuite, l’estimateur EBLUP restreint de ${\bar{Y}}_{i},$ désigné ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{REBLUP},$ est donné par l’équation (2.4), où ${\hat{y}}_{i j}$ sont remplacés par ${\hat{y}}_{i j}^{R} = x_{i j}^{T} {\hat{β}}^{R} + {\hat{v}}_{i}^{R},$ pour $j \in r_{i} .$ Nous imposons la condition que les estimateurs ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{REBLUP}, i = 1, \dots, m$ soient réconciliés à ${\hat{Y}}^{GREG},$ c’est-à-dire qu’ils satisfassent l’équation (3.1) avec ${\hat{Y}}_{w} = {\hat{Y}}^{GREG} .$ Après avoir fait quelques calculs algébriques, on peut démontrer que la réconciliation à ${\hat{Y}}^{GREG}$ des estimateurs ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{REBLUP}, i = 1, \dots, m$ équivaut à l’équation de contrainte linéaire suivante

$a_{1}^{T} {\hat{β}}^{R} + a_{2}^{T} {\hat{v}}^{R} = {\hat{Y}}_{r}^{GREG}, (3.11)$

où $a_{1} = \sum_{i = 1}^{m} x_{i r},$ $a_{2} = {(N_{1} - n_{1}, \dots, N_{m} - n_{m})}^{T},$ $Y_{r} = Y - \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j \in s_{i}} y_{i j}$ est le total des valeurs de $y_{i j}$ non observées avec $i = 1, \dots, m; j \in r_{i},$ et ${\hat{Y}}_{r}^{GREG} = {\hat{Y}}^{GREG} - \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j \in s_{i}} y_{i j}$ est un estimateur de $Y_{r}$ d’après ${\hat{Y}}^{GREG} .$ Les estimateurs EBLUP restreints $({\hat{β}}^{R}, {\hat{v}}^{R})$ sont par conséquent obtenus comme la solution à la fonction de minimisation $ϕ$ donnée par l’équation (2.5) sous la contrainte linéaire (3.11).

On peut utiliser la méthode des multiplicateurs de Lagrange pour résoudre la minimisation sous contrainte de $ϕ .$ Après des calculs algébriques simples, on peut démontrer que des estimateurs $({\hat{β}}^{R}, {\hat{v}}^{R}) .$ sont donnés par

$(\begin{array}{l} {\hat{β}}^{R} \\ {\hat{v}}^{R} \end{array}) = (\begin{array}{l} \hat{β} \\ \hat{v} \end{array}) + \frac{1}{a^{T} \hat{A} a} {\hat{A}}^{- 1} a [{\hat{Y}}_{r}^{GREG} - a^{T} (\begin{array}{l} \hat{β} \\ \hat{v} \end{array})], (3.12)$

où $(\hat{β}, \hat{v})$ sont les estimateurs EBLUP (non contraints) de $(β, v),$ $\hat{A}$ est la version empirique de la matrice $A$ définie dans l’équation (2.7) et $a = {(a_{1}^{T} a_{2}^{T})}^{T} .$ Ensuite, en utilisant ${\hat{y}}_{i j}^{R}$ dans l’équation (2.4), on peut réécrire l’estimateur ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{REBLUP}$ sous la forme

${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{REBLUP} = \frac{1}{N_{i}} [\sum_{j \in s_{i}} y_{i j} + x_{i r}^{T} {\hat{β}}^{R} + (N_{i} - n_{i}) {\hat{v}}_{i}^{R}] . (3.13)$

Remarque 2. La matrice $\hat{A}$ n’existe pas pour les échantillons lorsque ${\hat{σ}}_{v}^{2} = 0.$ En pareil cas, nous avons constaté que l’équation (2.8) ne peut servir à calculer les estimateurs non contraints $(\hat{β}, \hat{v}) .$ Cependant, on peut tout de même calculer $(\hat{β}, \hat{v})$ lorsque ${\hat{σ}}_{v}^{2} = 0$ parce que l’autre équation (2.9) peut être utilisée pour $(\hat{β}, \hat{v}) .$ L’équation (3.12) démontre clairement que l’estimateur contraint $({\hat{β}}^{R}, {\hat{v}}^{R})$ ne peut être calculé pour des échantillons lorsque l’estimateur ${\hat{σ}}_{v}^{2}$ est tronqué à zéro, et aucune autre équation n’existe en pareil cas.

Il s’ensuit par conséquent que les méthodes d’estimation des composantes de la variance couramment utilisées dans l’EPD ne peuvent être utilisées pour calculer l’estimateur EBLUP restreint. À la section 3.4 et à l’annexe B, nous décrivons une autre méthode permettant de produire une estimation strictement positive de $σ_{v}^{2}$ pouvant être appliquée de pair avec $({\hat{β}}^{R}, {\hat{v}}^{R}),$ de sorte qu’un estimateur réconcilié restreint de ${\bar{Y}}_{i}$ existe toujours.

3.4 Estimateur réconcilié de You-Rao restreint

Nous avons démontré à la section 2.2 qu’on peut obtenir des estimateurs YR de $β$ et $v$ comme une solution aux équations d’un modèle mixte obtenues en minimisant la fonction pondérée de l’échantillon $ϕ_{w}$ donnée par l’équation (2.14). Autrement dit, nous avons démontré que, en définissant une fonction $ϕ_{w}$ avec des poids ${w_{i j}}, i = 1, \dots, m; j \in s_{i}$ et ${ω_{i}}, i = 1, \dots, m,$ puis en minimisant $ϕ_{w},$ nous obtenons les mêmes estimateurs que ceux donnés par la procédure de You et Rao (2002). Nous minimisons maintenant la fonction $ϕ_{w}$ sous la contrainte de réconciliation donnée par l’équation (3.11). Il en résulte un estimateur YR restreint qui est réconcilié à ${\hat{Y}}^{GREG} .$

La minimisation de $ϕ_{w}$ compte tenu de la restriction de réconciliation (3.11) permet d’obtenir des estimateurs de ${\bar{Y}}_{i}, i = 1, \dots, m$ dont la réconciliation est garantie pour des poids quelconques qui définissent la fonction $ϕ_{w} .$ Ainsi, on peut choisir un ensemble de poids $w_{i j}$ quelconque dans $ϕ_{w} .$ Dans une étude par simulations limitée fondée sur un plan de sondage, nous avons comparé trois estimateurs YR restreints en fonction de trois options pour $w_{i j} :$ i. $w_{i j} = w_{i j}^{GREG} - 1;$ ii. $w_{i j} = w_{i j}^{GREG};$ et iii. $w_{i j} = d_{i j} .$ Nous n’avons constaté aucune différence significative entre ces trois estimateurs pour ce qui est de l’erreur quadratique moyenne du plan. Compte tenu de ce dernier point et étant donné que les estimateurs YR réconciliés non restreints décrits à la section 3.2 reposaient sur $w_{i j} = w_{i j}^{GREG} - 1,$ nous avons choisi de définir l’estimateur YR restreint en fonction de ces poids.

Soit $ϕ_{w}$ défini en fonction de $w_{i j} = w_{i j}^{GREG} - 1$ et $ω_{i} = \sum_{j \in s_{i}} w_{i j}^{2} / \sum_{j \in s_{i}} w_{i j} .$ La minimisation de $ϕ_{w}$ en ce qui concerne $(β, v)$ sous la contrainte de réconciliation (3.11) permet d’obtenir les estimateurs YR restreints de $(β, v),$ désignés $({\hat{β}}^{RYR}, {\hat{v}}^{RYR}) .$ Ces estimateurs sont donnés par :

$(\begin{array}{l} {\hat{β}}^{RYR} \\ {\hat{v}}^{RYR} \end{array}) = (\begin{array}{l} {\hat{β}}^{YR} \\ {\hat{v}}^{YR} \end{array}) + \frac{1}{a^{T} {\hat{A}}_{w} a} {\hat{A}}_{w}^{- 1} a [{\hat{Y}}_{r}^{GREG} - a^{T} (\begin{array}{l} {\hat{β}}^{YR} \\ {\hat{v}}^{YR} \end{array})], (3.14)$

où les estimateurs $({\hat{β}}^{YR}, {\hat{v}}^{YR})$ sont donnés par l’équation (2.15) et ${\hat{A}}_{w}$ est la version empirique de $A_{w}$ donnée par l’équation (2.16). En utilisant ${\hat{β}}^{RYR}$ et ${\hat{v}}_{i}^{RYR}$ de ${\hat{v}}^{RYR} = {({\hat{v}}_{1}^{RYR}, \dots, {\hat{v}}_{m}^{RYR})}^{T},$ les estimations YR restreintes ${\hat{y}}_{i j}^{RYR} = x_{i j}^{T} {\hat{β}}^{RYR} + {\hat{v}}_{i}^{RYR}$ de $y_{i j}$ non observé pour $j \in r_{i}$ sont ensuite utilisées pour calculer un estimateur YR restreint réconcilié :

${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{RYR} = \frac{1}{N_{i}} [\sum_{j \in s_{i}} y_{i j} + x_{i r}^{T} {\hat{β}}^{RYR} + (N_{i} - n_{i}) {\hat{v}}_{i}^{RYR}] . (3.15)$

Comme dans le cas de l’estimateur EBLUP restreint, les estimateurs $({\hat{β}}^{RYR}, {\hat{v}}^{RYR})$ donnés par l’équation (3.14) n’existent pas si la méthode FC, le MV et le MVRE permettent d’obtenir une estimation tronquée pour $σ_{v}^{2} .$ En conséquence, ${\bar{Y}}_{i}$ peut seulement être estimé par ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{RYR}$ au moyen d’une méthode d’estimation des composantes de la variance qui permet toujours d’obtenir des estimations strictement positives pour $σ_{v}^{2} .$

Une estimation nulle de $σ_{v}^{2}$ ne pose pas de problème dans le calcul des estimateurs EBLUP et YR. Cependant, nous avons constaté que les estimateurs EBLUP et YR restreints ne peuvent être calculés si ${\hat{σ}}_{v}^{2} = 0.$ Pour contourner ce problème, nous utilisons une méthode proposée par Moghtased-Azar, Tehranchi et Amiri-Simkooei (2014) qui garantit que l’estimateur de $σ_{v}^{2}$ sera strictement positif. Cette méthode repose sur le concept d’un maximum de vraisemblance restreint reparamétré (MVREre). L’idée est d’utiliser des fonctions dont l’intervalle est l’ensemble de tous les nombres réels positifs, à savoir des fonctions à valeur positive (FVP), pour des composantes inconnues de la variance dans le modèle stochastique plutôt que d’utiliser les composantes de la variance elles-mêmes. Leurs résultats numériques ont démontré l’estimation réussie sous contrainte de non-négativité des composantes de la variance (comme des valeurs positives) ainsi que des composantes de la covariance (comme des valeurs négatives ou positives).

Nous avons utilisé un algorithme de cotation de Fisher pour obtenir de manière itérative des estimations par le MVREre des composantes de la variance du modèle de base au niveau de l’unité donné par l’équation (2.2) (voir l’annexe B pour plus de détails). Nous avons également effectué une petite simulation et constaté que, pour des tailles d’échantillon de petits domaines égales ou supérieures à 3, l’algorithme de cotation de Fisher convergeait en moins de 15 itérations. Lorsque nous avons uniquement considéré les échantillons qui permettaient de produire une estimation nulle ${\hat{σ}}_{v}^{2} = 0,$ nous avons observé que l’algorithme convergeait encore plus rapidement (voir la figure 4.1 à la section 4).

ISSN : 1712-5685

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Le succès du système statistique du Canada repose sur un partenariat bien établi entre Statistique Canada et la population, les entreprises, les administrations canadiennes et les autres organismes. Sans cette collaboration et cette bonne volonté, il serait impossible de produire des statistiques précises et actuelles.

Normes de service à la clientèle

Statistique Canada s'engage à fournir à ses clients des services rapides, fiables et courtois. À cet égard, notre organisme s'est doté de normes de service à la clientèle qui doivent être observées par les employés lorsqu'ils offrent des services à la clientèle.

Droit d'auteur

Publication autorisée par le ministre responsable de Statistique Canada.

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N° 12-001-X au catalogue

Périodicité : semi-annuel

Ottawa

Date de modification :: 2021-06-24

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Estimation sur petits domaines réconciliée sous le modèle de base au niveau de l’unité lorsque les taux d’échantillonnage sont non négligeables
Section 3. Estimateurs réconciliés

3.1 Estimateurs réconciliés EBLUP augmentés

3.2 Estimateurs réconciliés de You-Rao

3.3 Estimateur réconcilié EBLUP restreint

3.4 Estimateur réconcilié de You-Rao restreint

Estimation sur petits domaines réconciliée sous le modèle de base au niveau de l’unité lorsque les taux d’échantillonnage sont non négligeables Section 3. Estimateurs réconciliés

3.1 Estimateurs réconciliés EBLUP augmentés

3.2 Estimateurs réconciliés de You-Rao

3.3 Estimateur réconcilié EBLUP restreint

3.4 Estimateur réconcilié de You-Rao restreint

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Estimation sur petits domaines réconciliée sous le modèle de base au niveau de l’unité lorsque les taux d’échantillonnage sont non négligeables
Section 3. Estimateurs réconciliés