Estimation sur petits domaines réconciliée sous le modèle de base au niveau de l’unité lorsque les taux d’échantillonnage sont non négligeables
Section 1. Introduction
L’estimation sur petits domaines (EPD) a gagné en importance au cours des dernières années en raison de la demande pour des statistiques fiables sur les petits domaines. Des estimateurs directs sont utilisés pour estimer des paramètres d’intérêt lorsque la taille de l’échantillon est suffisamment grande. Cependant, ils présentent des erreurs-types et des coefficients de variation importants lorsque vient le temps de les appliquer aux petits domaines, car la taille d’échantillon réalisée sera assez limitée. Il est par conséquent nécessaire d’utiliser des modèles qui empruntent de l’information à d’autres domaines adjacents ou à des enquêtes précédentes pour obtenir des estimateurs stables pour ces petits domaines. Les estimations fondées sur un modèle présentent généralement une amélioration considérable par rapport aux estimations directes quant à l’erreur quadratique moyenne (EQM).
La théorie disponible pour l’estimation sur petits domaines repose sur des modèles au niveau du domaine ou au niveau de l’unité, selon le niveau des données auxiliaires disponibles. Les méthodes fondées sur des modèles au niveau de l’unité utilisent les données de chacune des unités comme données auxiliaires, tandis que les méthodes fondées sur des modèles au niveau du domaine utilisent des agrégats ou des moyennes des données sur les unités dans les petits domaines. Le modèle de Fay et Herriot (1979), désigné ci-après le modèle FH, est le modèle au niveau du domaine le plus utilisé dans l’estimation sur petits domaines. Le modèle de régression à erreurs emboîtées simple proposé dans Battese, Harter et Fuller (1988), également appelé le modèle de base au niveau de l’unité, est fréquemment utilisé lorsque des données sont disponibles au niveau de l’unité. Nous désignons ce modèle le modèle BHF. Il s’agit de deux cas particuliers d’un modèle linéaire mixte général dans l’EPD (voir Rao et Molina, 2015 pour consulter un excellent exposé sur l’estimation sur petits domaines).
Les moyennes ou les totaux de petits domaines sont les paramètres linéaires les plus fréquemment estimés dans l’EPD. En pareil cas, la méthode d’estimation sur petits domaines la plus populaire est l’utilisation de modèles linéaires mixtes afin de calculer les meilleurs prédicteurs linéaires sans biais (BLUP) pour la moyenne ou le total de petits domaines. Les estimateurs BLUP minimisent l’EQM dans la catégorie des estimateurs linéaires sans biais. Par ailleurs, on peut démontrer que l’estimateur BLUP peut être obtenu par la résolution des équations d’un modèle mixte comportant des inconnues données par les paramètres fixes et aléatoires du modèle. Les équations du modèle mixte résultent de la maximisation de la densité conjointe des données et du vecteur des effets aléatoires de petit domaine. Un estimateur BLUP dépend des variances (et des covariances) des effets aléatoires qu’on peut estimer à l’aide de la méthode d’ajustement de constantes (FC) d’Henderson, du maximum de vraisemblance (MV) ou du maximum de vraisemblance restreint (MVRE). L’utilisation de ces composantes estimées dans l’estimateur BLUP permet d’obtenir un estimateur à deux degrés appelé le meilleur prédicteur linéaire sans biais empirique (EBLUP).
Une difficulté potentielle avec les estimateurs EBLUP est que, lorsqu’ils sont agrégés pour l’ensemble des petits domaines, ils peuvent ne pas correspondre à l’estimation globale pour un plus grand domaine obtenue au moyen d’une estimation directe. Les organismes statistiques favorisent la correspondance globale entre la somme des estimations sur petits domaines fondées sur un modèle et l’estimation directe à un niveau supérieur qui correspond à l’agrégation des petits domaines. La réconciliation est une méthode permettant de modifier les estimations fondées sur un modèle pour qu’elles correspondent à l’estimateur direct pour le plus grand domaine.
Les méthodes de réconciliation actuelles sont fréquentistes ou bayésiennes. Dans le présent document, nous nous attardons à l’approche de réconciliation fréquentiste (pour connaître les procédures de réconciliation bayésiennes, voir You, Rao et Dick, 2004; Datta, Ghosh, Steorts et Maples, 2011 et Nandram et Sayit, 2011). On peut appliquer les méthodes fréquentistes afin d’obtenir des estimations sur petits domaines réconciliées pour les modèles tant au niveau du domaine et qu’au niveau de l’unité.
Nous passons brièvement en revue la documentation actuelle sur les deux types de modèle. Nous décrivons en premier lieu les procédures élaborées pour réconcilier les estimations au niveau du domaine. Pfeffermann et Barnard (1991) ont obtenu un estimateur réconcilié contraint en maximisant la densité conjointe des données et le vecteur des effets aléatoires de petit domaine compte tenu de la restriction de réconciliation. Leur estimateur réconcilié a été construit à l’aide d’estimations ajustées des effets fixes et de petit domaine qui solutionnent le problème de maximisation sous contrainte. Wang, Fuller et Qu (2008) ont élaboré un estimateur EBLUP réconcilié pour le modèle FH au niveau du domaine, en minimisant une fonction de perte sous la contrainte donnée par la condition de réconciliation. Ils ont obtenu un second estimateur réconcilié en ajoutant une variable auxiliaire adéquate au modèle FH sans imposer de contrainte. Ils ont démontré que l’estimateur EBLUP fondé sur le modèle FH augmenté est autoréconcilié: l’estimateur a satisfait la condition de réconciliation sans autres rajustements. Bell, Datta et Ghosh (2013) ont généralisé les résultats présentés dans Wang et coll. (2008) au cas de multiples contraintes de réconciliation en considérant une fonction de perte plus générale. You, Rao et Hidiroglou (2013) ont obtenu un autre estimateur autoréconcilié sous le modèle FH en remplaçant le vecteur de régression utilisé dans l’estimateur EBLUP par un autre estimateur qui dépend des poids de réconciliation.
Nous décrivons maintenant les procédures qui permettent de réconcilier les estimations fondées sur un modèle au niveau de l’unité. L’objectif est d’obtenir des estimateurs sur petits domaines qui sont réconciliés à un estimateur direct à un niveau d’agrégation donné des petits domaines. Les estimateurs directs principalement utilisés par les organismes statistiques sont l’estimateur par la régression généralisée (GREG) décrit dans Särndal, Swensson et Wretman (1989) ou plus généralement l’estimateur par calage fondé sur les procédures décrites dans Deville et Särndal (1992). You et Rao (2002) ont élaboré un prédicteur pseudo-EBLUP (prédicteur YR) qui intègre des poids de sondage. Une propriété de cet estimateur est qu’il est autoréconcilié, c’est-à-dire que la somme des estimations sur petits domaines correspond à un estimateur ayant la même forme que l’estimateur GREG. Cependant, il ne s’agit pas d’un estimateur direct, car le vecteur de régression estimé faisant partie de cet estimateur témoigne de la structure des erreurs du modèle à erreurs emboîtées. En supposant que les taux d’échantillonnage sont négligeables, Stefan et Hidiroglou (2020) ont proposé plusieurs procédures pour assurer que les estimateurs EBLUP et pseudo-EBLUP soient réconciliés à l’estimateur GREG, étant donné que le modèle et l’estimateur GREG utilisaient tous deux le même vecteur de variables auxiliaires. Ugarte, Militino et Goicoa (2009) ont élaboré un estimateur EBLUP restreint pour un total de petits domaines satisfaisant la propriété de réconciliation à un estimateur synthétique.
Le présent document a pour objectif de comparer plusieurs estimateurs réconciliés d’une moyenne de petits domaines pour le modèle de base au niveau de l’unité lorsque les taux d’échantillonnage sont non négligeables. Nous comparons six estimateurs réconciliés : deux estimateurs réconciliés fondés sur les procédures proposées par Stefan et Hidiroglou (2020), deux estimateurs restreints fondés sur la procédure proposée par Ugarte et coll. (2009) et deux estimateurs par le ratio obtenus en multipliant les estimateurs EBLUP et YR de chaque petit domaine par un facteur d’ajustement commun. Le document est structuré de la manière suivante. La section 2 présente un résumé des estimateurs EBLUP et pseudo-EBLUP sous le modèle de base au niveau de l’unité. La section 3 décrit les six estimateurs réconciliés. Les deux premiers estimateurs sont fondés sur des ajustements par le ratio simples. Ensuite, nous démontrons comment on peut adapter les deux procédures de réconciliation proposées par Stefan et Hidiroglou (2020) dans le cas de taux d’échantillonnage négligeables pour produire des estimateurs de la moyenne de petits domaines réconciliés lorsque les taux d’échantillonnage sont non négligeables. Enfin, nous décrivons l’estimateur EBLUP restreint d’Ugarte et coll. (2009) et nous proposons un pseudo-estimateur restreint qui est une variante de l’estimateur EBLUP restreint intégrant des poids de sondage. Nous proposons également une méthode utilisant le maximum de vraisemblance restreint reparamétré (MVREre) pour estimer les composantes de la variance. Cette méthode d’estimation est utile pour calculer des estimateurs EBLUP restreints de la moyenne de petits domaines, car elle permet d’obtenir des estimations des composantes de la variance strictement positives. La section 4 présente les résultats d’une simulation de Monte-Carlo fondée sur des ensembles de données générés, tandis que la section 5 présente les résultats d’une étude par simulations fondée sur un ensemble de données réel. Enfin, la section 6 présente quelques observations finales.
- Date de modification :