Estimation sur petits domaines réconciliée sous le modèle de base au niveau de l’unité lorsque les taux d’échantillonnage sont non négligeables
Section 4. Étude par simulations

Table des matières

Nous présentons dans cette section les résultats d’une étude par simulations fondée sur un plan de sondage, car une telle étude rejoint les mesures qui sont calculées par les organismes nationaux de statistique. Une étude fondée sur un plan de sondage en est une dans laquelle une population finie fixe est d’abord générée au moyen d’un modèle hypothétique puis, pour chaque exécution de la simulation, un échantillon est prélevé à partir de la population finie fixe. Le but de l’étude par simulations est d’évaluer les propriétés des estimateurs réconciliés décrits à la section 3 quant au biais sous le plan et à l’erreur quadratique moyenne du plan. Nous avons examiné deux scénarios : le Scénario 1 correspond au cas d’une modélisation exacte, tandis que le Scénario 2 correspond au cas d’une modélisation inexacte. Des diagnostics de modélisation comme ceux présentés dans Rao et Molina (2015, pages 114-118) peuvent être utilisés pour vérifier si les modèles sont exacts ou non. De tels diagnostics de modélisation comprennent l’analyse de résidus, pour détecter les écarts par rapport au modèle hypothétique, et les diagnostics de sélection des variables auxiliaires pour le modèle et de suppression de cas, pour détecter les observations influentes.

4.1 Configuration de la simulation pour générer les populations finies

Pour chaque scénario, nous avons considéré cinq populations. Chaque population comptait $m = 30$ petits domaines, $N_{i} = 100$ unités de population se trouvant dans chaque petit domaine. Les populations correspondant au Scénario 1 ont été créées au moyen du modèle suivant

$y_{i j} = β_{0} + x_{i j} β_{1} + v_{i} + e_{i j}, i = 1, \dots, m; j = 1, \dots, N_{i}, (4.1)$

où $β_{0} = 10$ et $β_{1} = 5.$ Pour générer les populations dans le Scénario 2, nous avons divisé 30 petits domaines en trois groupes égaux de petites domaines, désignés $G_{ℓ},$ pour $ℓ = 1, 2, 3.$ Le premier groupe $G_{1}$ contient les domaines $i = 1, \dots, 10,$ le deuxième groupe $G_{2}$ contient les domaines $i = 11, \dots, 20$ et le troisième groupe $G_{3}$ contient les domaines $i = 21, \dots, 30.$ Le modèle à l’intérieur d’un groupe donné est donné par

$y_{i j} = β_{0, ℓ} + x_{i j} β_{1, ℓ} + v_{i} + e_{i j}, i \in G_{ℓ}; j = 1, \dots, N_{i}, (4.2)$

où $(β_{0, 1} = 10, β_{1, 1} = 1)$ pour les domaines $i \in G_{1},$ $(β_{0, 2} = 20, β_{1, 2} = 5)$ pour les domaines $i \in G_{2}$ et $(β_{0, 3} = 30, β_{1, 3} = 10)$ pour les domaines $i \in G_{3} .$ Les équations (4.1) et (4.2) utilisent toutes deux la variable auxiliaire $x_{i j} = {(1, x_{i j})}^{T}$ dont les valeurs $x_{i j}, j = 1, \dots, N_{i}$ ont été générées à partir d’une loi exponentielle de moyenne égale à 5 et de variance égale à 25.

Les composantes aléatoires dans les équations (4.1) et (4.2) ont été générées à partir des lois normales $v_{i} ~ N (0, σ_{v}^{2})$ et $e_{i j} ~ N (0, σ_{e}^{2}) .$ Les cinq populations correspondant au Scénario 1, désignées A1, B1, C1, D1 et E1, ont été générées d’après l’équation (4.1) et les doublets de paramètres de variance suivants : i. $(σ_{A v}^{2} = 0, 2, σ_{e}^{2} = 20)$ pour la population A1; ii. $(σ_{B v}^{2} = 1, σ_{e}^{2} = 20)$ pour la population B1; iii. $(σ_{C v}^{2} = 2, σ_{e}^{2} = 20)$ pour la population C1; iv. $(σ_{D v}^{2} = 4, σ_{e}^{2} = 20)$ pour la population D1; et $(σ_{E v}^{2} = 20, σ_{e}^{2} = 20)$ pour la population E1. Il convient de souligner que, pour les populations A1 à E1, la valeur de $σ_{e}^{2}$ demeure fixe, tandis que les valeurs de $σ_{v}^{2}$ varient. Les $σ_{v}^{2}$ sont choisis pour obtenir les ratios de variance $δ = σ_{v}^{2} / σ_{e}^{2}$ à 0,01; 0,05; 0,1; 0,2 et 1. Les cinq populations dans le Scénario 2, désignées A2, B2, C2, D2 et E2, ont été générées d’après l’équation (4.2) avec les mêmes doublets de paramètres de variance que pour le Scénario 1.

Un plan d’échantillonnage stratifié a été utilisé en prélevant des échantillons probabilistes indépendants proportionnels à des tailles d’échantillon (PPT) de taille $n_{i}$ dans le $i^{e}$ petit domaine. Les tailles d’échantillon des petits domaines ont été prises $n_{i} = 3$ pour $i = 1, \dots, m .$ Les probabilités de sélection ont été calculées comme $p_{i j} = b_{i j} / \sum_{j = 1}^{N_{i}} b_{i j},$ où les mesures de taille sont $b_{i j} = x_{i j} .$ Nous avons utilisé l’échantillonnage de Poisson conditionnel (EPC) pour sélectionner les échantillons PPT dans chaque petit domaine (voir Tillé (2006), chapitre 5). Les poids de sondage de base sont donnés par $d_{i j} = 1 / (n_{i} p_{i j}) .$

Dans le Scénario 1, nous avons ajusté le modèle de régression à erreurs emboîtées (4.1) et sa version augmentée en fonction des données de l’échantillonnage PPT sélectionnées à partir d’une des cinq populations générées au moyen du modèle (4.1). Ce scénario représente une modélisation exacte, car le modèle ajusté et le modèle utilisé pour générer la population finie coïncident. Dans le Scénario 2, nous avons ajusté le modèle de régression à erreurs emboîtées (4.1) et sa version augmentée en fonction des données de l’échantillonnage PPT sélectionnées à partir d’une des cinq populations générées au moyen du modèle (4.2). Ce scénario représente une modélisation inexacte, car le modèle ajusté et le modèle utilisé pour générer la population finie ne coïncident pas.

Nous avons sélectionné $G =$ 30 000 échantillons PPT stratifiés à partir de chacune des dix populations finies : les populations A1 à E1 correspondant au Scénario 1 et les populations A2 à E2 correspondant au Scénario 2. Pour $g = 1, \dots, G,$ soient $({\hat{σ}}_{v}^{2 RE(g)}, {\hat{σ}}_{e}^{2 RE(g)})$ et $({\hat{σ}}_{v}^{2 reRE(g)}, {\hat{σ}}_{e}^{2 reRE(g)})$ désignant respectivement les estimations de $(σ_{v}^{2}, σ_{e}^{2})$ obtenues au moyen de la méthode du MVRE tronqué et de sa version reparamétrée, qui correspond au $g^{e}$ échantillon. Les valeurs de départ dans l’équation (B.2) étaient $α_{1}^{(0)} = \log (0,1 + {\hat{σ}}_{v}^{2 RE(g)})$ et $α_{2}^{(0)} = \log ({\hat{σ}}_{e}^{2 RE(g)}) .$ L’équation (B.2) a atteint la convergence en moins de 15 itérations pour l’ensemble des populations et dans les deux scénarios. D’après les échantillons simulés $G$ sélectionnés dans chacune des cinq populations correspondant au Scénario 1, nous avons calculé la valeur Monte-Carlo de la probabilité d’obtenir une estimation du MVRE tronquée à zéro pour $σ_{v}^{2},$ étant donné que

$P_{MC} ({\hat{σ}}_{v}^{2 RE} = 0) = \frac{1}{G} \sum_{g = 1}^{G} I ({\hat{σ}}_{v}^{2 RE (g)} = 0),$

où $I ( A )$ est une fonction indicatrice ayant la valeur 1 si la condition $A$ est vérifiée, et la valeur 0 autrement.

Le tableau 4.1 présente les valeurs Monte-Carlo de la probabilité d’obtenir une estimation nulle pour ${\hat{σ}}_{v}^{2 RE} .$ On peut constater que la probabilité simulée $P_{MC} ({\hat{σ}}_{v}^{2 RE} = 0)$ peut être aussi élevée que 0,47 pour $δ =$ 0,01. À mesure que $δ$ augmente, cette probabilité empirique diminue. Le tableau 4.1 montre clairement que les estimations $({\hat{σ}}_{v}^{2 RE}, {\hat{σ}}_{e}^{2 RE})$ ne peuvent servir à calculer les estimateurs EBLUP et YR restreints pour des échantillons sélectionnés dans les populations A1, B1, C1 et D1.

Tableau 4.1
Valeurs de $P ({\hat{σ}}_{v}^{2 RE} = 0) :$ Scénario 1
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Valeurs de $P ({\hat{σ}}_{v}^{2 RE} = 0) :$ Scénario 1 Pop A1
$δ = 0,01$ , Pop B1
$δ = 0,05$ , Pop C1
$δ = 0,1$ , Pop D1
$δ = 0,2$ et Pop E1
$δ = 1$ (figurant comme en-tête de colonne).
	Pop A1 $δ = 0,01$	Pop B1 $δ = 0,05$	Pop C1 $δ = 0,1$	Pop D1 $δ = 0,2$	Pop E1 $δ = 1$
$P_{MC} ({\hat{σ}}_{v}^{2 RE} = 0)$	0,47	0,40	0,21	0,06	0,00

La figure 4.1 présente le nombre d’itérations pour atteindre la convergence de l’algorithme de cotation de Fisher pour l’estimation ${\hat{σ}}_{v}^{2 reRE}$ de $σ_{v}^{2} .$ L’algorithme s’arrête lorsque la valeur de $| {\hat{σ}}_{v}^{2 reRE(r + 1)} - {\hat{σ}}_{v}^{2 reRE(r)} |$ est inférieure à $10^{- 5},$ où ${\hat{σ}}_{v}^{2 reRE(r)}$ représente la $r^{e}$ itération calculée au moyen de l’équation (B.2) à l’annexe B. Les pourcentages présentés dans la figure 4.1 reposent uniquement sur les échantillons ayant une estimation du MVRE tronquée de $σ_{v}^{2},$ c’est-à-dire ${\hat{σ}}_{v}^{2 RE} = 0.$ Nous avons uniquement considéré les populations A1, B1, C1 et D1, car ces quatre populations présentent des probabilités non négligeables que ${\hat{σ}}_{v}^{2 RE}$ soit nul. La figure 4.1 montre clairement que la convergence est atteinte en un maximum de 11 itérations.

Figure 4.1 Pourcentage d’itérations pour atteindre la convergence dans les échantillons avec équation

Description de la figure 4.1

Figure montrant le pourcentage d’itérations pour atteindre la convergence dans les échantillons avec ${\hat{σ}}_{ν}^{2 RE} = 0.$ Quatre diagrammes à bandes sont présentés pour Pop A1, Pop B1, Pop C1 et Pop D1. Le pourcentage de 0 à 100 est sur les axes des y. Le nombre d’itérations pour atteindre la convergence se trouve sur les axes des x allant de 4 à 10 pour Pop A1 et Pop B1, de 4 à 11 pour Pop C1 et de 4 à 9 pour Pop D1. La convergence est atteinte en un maximum de 11 itérations. La convergence semble plus rapide pour Pop A1 et Pop B1 et légèrement plus lente pour Pop D1.

4.2 Comparaison des estimateurs réconciliés

Le but de l’étude par simulations est de comparer les estimateurs réconciliés décrits à la section 3 quant au biais sous le plan et à l’erreur quadratique moyenne du plan. Nous avons utilisé les deux scénarios, car nous voulions vérifier la protection qu’offre la réconciliation contre une modélisation inexacte. De plus, nous avons examiné la réconciliation à deux estimateurs GREG : ${\hat{Y}}_{1}^{GREG}$ et ${\hat{Y}}_{2}^{GREG} .$ L’estimateur ${\hat{Y}}_{1}^{GREG}$ a des poids donnés par l’équation (3.2) calés sur le vecteur auxiliaire $x_{i j} = (1, x_{i j})$ associé au modèle pour petits domaines. Il s’ensuit que l’estimateur ${\hat{Y}}_{1}^{GREG}$ correspond au cas de $x_{i j} \subseteq x_{i j}^{*} .$ Le second estimateur GREG ${\hat{Y}}_{2}^{GREG}$ a des poids donnés par l’équation (3.2) d’après le vecteur auxiliaire $x_{i j}^{*} = (1, x_{i j}^{*}),$ où les valeurs $x_{i j}^{*}, j = 1, \dots, N_{i}$ ont été générées à partir d’une loi exponentielle de moyenne égale à 5 et de variance égale à 25, et indépendamment des valeurs $x_{i j}, j = 1, \dots, N_{i} .$ Il s’ensuit que l’estimateur ${\hat{Y}}_{2}^{GREG}$ correspond au cas de $x_{i j} ⊄ x_{i j}^{*},$ car la variable auxiliaire $x_{i j}$ associée au modèle au niveau de l’unité (4.1) n’appartient pas au vecteur $x_{i j}^{*}$ utilisé pour obtenir les poids associés à ${\hat{Y}}_{2}^{GREG} .$

Pour une population finie fixe, soient ${\bar{Y}}_{i}$ la moyenne du petit domaine $i$ et ${\hat{\bar{Y}}}_{i}$ un estimateur générique de ${\bar{Y}}_{i} .$ Nous désignons ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{(g)}$ la valeur de ${\hat{\bar{Y}}}_{i}$ d’après le $g^{e}$ échantillon simulé, pour $g = 1, \dots, G .$ Les estimateurs décrits à la section 3 respectent la propriété de réconciliation peu importe la méthode utilisée pour estimer les composantes de la variance. Étant donné que les estimateurs réconciliés restreints reposent sur des estimations $({\hat{σ}}_{v}^{2 reRE (g)}, {\hat{σ}}_{e}^{2 reRE (g)}),$ nous avons décidé d’utiliser le MVREre dans le calcul de ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{(g)}$ pour chaque estimateur ${\hat{\bar{Y}}}_{i}$ évalué dans cette étude par simulations.

Nous avons examiné les mesures de rendement suivantes :

Biais relatif absolu moyen

$\bar{BRA} = \frac{1}{m} \sum_{i = 1}^{m} {BRA}_{i} avec {BRA}_{i} = | \frac{1}{G} \sum_{g = 1}^{G} \frac{{\hat{\bar{Y}}}_{i}^{(g)}}{{\bar{Y}}_{i}} - 1 |$

Racine de l’erreur quadratique moyenne relative

$\bar{REQMR} = \frac{1}{m} \sum_{i = 1}^{m} {REQMR}_{i} avec {REQMR}_{i} = \sqrt{\frac{1}{G} \sum_{g = 1}^{G} {(\frac{{\hat{\bar{Y}}}_{i}^{(g)}}{{\bar{Y}}_{i}} - 1)}^{2}} .$

Cette partie de la simulation est résumée dans quatre tableaux. Nous présentons les résultats séparément pour les Scénarios 1 et 2. Les résultats dans le cas où la réconciliation est pour ${\hat{Y}}_{1}^{GREG}$ (le cas de $x_{i j} \subseteq x_{i j}^{*})$ sont résumés dans les tableaux 4.2 (Scénario 1) et 4.3 (Scénario 2). Les résultats dans le cas où la réconciliation est pour ${\hat{Y}}_{2}^{GREG}$ (le cas de $x_{i j} ⊄ x_{i j}^{*})$ sont résumés dans les tableaux 4.4 (Scénario 1) et 4.5 (Scénario 2).

Réconciliation à ${\hat{Y}}_{1}^{GREG}$ (le cas de $x_{i j} \subseteq x_{i j}^{*}$ )

Nous avons calculé le $\bar{BRA}$ et la $\bar{REQMR}$ pour deux estimateurs non réconciliés, ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{EBLUP}$ et ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{YR},$ ainsi que leurs estimateurs correspondants réconciliés à ${\hat{Y}}_{1}^{GREG} .$ Pour ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{EBLUP},$ nous avons trois estimateurs réconciliés, ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{EBRat},$ ${\hat{\bar{Y}}}_{i a b}^{EBLUP}$ et ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{REBLUP},$ donnés respectivement par les équations (3.5), (3.8) et (3.13). Pour ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{YR},$ les estimateurs réconciliés correspondants sont ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{YRat},$ ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{YR}$ et ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{RYR},$ donnés respectivement par les équations (3.5), (3.9) et (3.15).

Nous examinons d’abord leurs propriétés lorsque le modèle est exact (Scénario 1). En comparant les $\bar{BRA}$ de l’ensemble des estimateurs au tableau 4.2, nous constatons qu’il n’y a pas de grande différence entre les estimateurs. Les estimateurs EBLUP présentent des $\bar{BRA}$ un peu plus faibles que les estimateurs reposant sur la procédure YR. L’estimateur réconcilié ${\hat{\bar{Y}}}_{i a b}^{EBLUP}$ présente les $\bar{BRA}$ les plus faibles, tandis que les $\bar{BRA}$ des estimateurs réconciliés ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{EBRat}$ et ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{REBLUP}$ sont identiques à ceux de ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{EBLUP} .$ Les valeurs du $\bar{BRA}$ associées aux estimateurs ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{YR},$ ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{YRat}$ et ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{RYR}$ se rapprochent, tandis que l’estimateur ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{YR}$ présente un biais relatif un peu plus élevé, surtout pour des valeurs plus grandes de $δ = σ_{v}^{2} / σ_{e}^{2} .$ Pour l’ensemble des estimateurs, les $\bar{BRA}$ augmentent à mesure que $δ$ augmente : de légères exceptions se produisent lorsque $δ = 1.$

Ensuite, nous nous penchons sur les $\bar{REQMR} .$ Comme on pouvait s’y attendre, les $\bar{REQMR}$ les plus faibles sont associées à ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{EBLUP},$ tandis que l’estimateur ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{YR}$ présente des valeurs de la $\bar{REQMR}$ un peu plus grandes en raison de l’utilisation de poids de sondage sous une modélisation exacte. La réconciliation entraîne une augmentation de la $\bar{REQMR} .$ Il convient de souligner que les $\bar{REQMR}$ des estimateurs réconciliés ${\hat{\bar{Y}}}_{i a b}^{EBLUP}$ et ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{YR},$ donnés aux sections 3.1 et 3.2 respectivement, sont plus élevées que celles associées aux méthodes restreintes ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{REBLUP}$ et ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{RYR},$ données aux sections 3.3 et 3.4 respectivement. Les procédures par le ratio simplistes ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{EBRat}$ et ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{YRat}$ présentent des $\bar{REQMR}$ qui sont assez comparables à celles réconciliées qui utilisent les méthodes restreintes. Les $\bar{REQMR}$ augmentent à mesure que $δ$ augmente.

Nous concluons ce qui suit dans le cas de $x_{i j} \subseteq x_{i j}^{*}$ et lorsque le modèle pour petits domaines est correctement spécifié. Les estimateurs réconciliés restreints ou réconciliés par le ratio donnent de meilleurs résultats que ceux qui utilisent un modèle augmenté pour l’estimation EBLUP ou une méthode YR modifiée. Lorsque les techniques restreintes ou de réconciliation par le ratio sont utilisées, les estimateurs résultants ont des valeurs du biais semblables à celles associées à leurs versions non réconciliées, tandis que leurs valeurs de l’erreur quadratique moyenne sont légèrement plus élevées que celles des versions non réconciliées. Les estimateurs sur petits domaines et l’estimateur GREG ${\hat{Y}}_{1}^{GREG}$ reposent sur les mêmes variables auxiliaires, tandis que le modèle est exact. En conséquence, ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{EBLUP}$ et ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{YR}$ n’ont pas à être modifiés considérablement pour réaliser la réconciliation à ${\hat{Y}}_{1}^{GREG} .$

Tableau 4.2
$\bar{BRA}$ (%) et $\bar{REQMR}$ (%) pour le *Scénario 1* : la réconciliation à ${\hat{Y}}_{1}^{GREG}$ $(x_{i j} \subseteq x_{i j}^{*})$
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de $\bar{BRA}$ (%) et $\bar{REQMR}$ (%) pour le Scénario 1 : la réconciliation à ${\hat{Y}}_{1}^{GREG}$ $(x_{i j} \subseteq x_{i j}^{*})$ . Les données sont présentées selon Estimateur (titres de rangée) et Mesure, Pop A1
$δ = 0,01$ , Pop B1
$δ = 0,05$ , Pop C1
$δ = 0,1$ , Pop D1
$δ = 0,2$ et Pop E1
$δ = 1$ (figurant comme en-tête de colonne).
Estimateur	Mesure	Pop A1 $δ = 0,01$	Pop B1 $δ = 0,05$	Pop C1 $δ = 0,1$	Pop D1 $δ = 0,2$	Pop E1 $δ = 1$
${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{EBLUP}$	$\bar{BRA}$	1,1	1,9	2,3	2,7	2,6
${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{EBLUP}$	$\bar{REQMR}$	2,7	3,4	3,9	4,9	6,5
${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{YR}$	$\bar{BRA}$	1,2	2,0	2,4	2,9	3,1
${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{YR}$	$\bar{REQMR}$	3,1	3,7	4,2	5,3	7,2
${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{EBRat}$	$\bar{BRA}$	1,1	1,9	2,3	2,7	2,6
${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{EBRat}$	$\bar{REQMR}$	3,2	3,8	4,3	5,2	6,9
${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{YRat}$	$\bar{BRA}$	1,2	2,0	2,4	2,9	3,1
${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{YRat}$	$\bar{REQMR}$	3,1	3,7	4,3	5,3	7,4
${\hat{\bar{Y}}}_{i a b}^{EBLUP}$	$\bar{BRA}$	1,0	1,6	2,1	2,4	2,3
${\hat{\bar{Y}}}_{i a b}^{EBLUP}$	$\bar{REQMR}$	9,6	9,8	10,1	11,1	13,9
${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{YR}$	$\bar{BRA}$	1,2	2,0	2,5	3,0	3,7
${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{YR}$	$\bar{REQMR}$	3,5	4,8	5,4	11,7	14,5
${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{REBLUP}$	$\bar{BRA}$	1,1	1,9	2,3	2,7	2,6
${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{REBLUP}$	$\bar{REQMR}$	3,2	3,8	4,3	5,3	7,0
${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{RYR}$	$\bar{BRA}$	1,2	2,0	2,4	2,9	3,2
${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{RYR}$	$\bar{REQMR}$	3,1	3,7	4,3	5,3	7,5

Les résultats lorsqu’un modèle exact n’est pas utilisé sont présentés au tableau 4.3. La valeur de $δ$ n’a pas une grande incidence sur les $\bar{BRA}$ et les $\bar{REQMR}$ pour l’ensemble des estimateurs. Les $\bar{BRA}$ et les $\bar{REQMR}$ des estimateurs EBLUP, qu’ils soient réconciliés ou non, sont plus élevés que ceux associés aux estimateurs YR. Il s’ensuit que, pour une modélisation inexacte, l’utilisation des estimateurs YR est recommandée. Étant donné que ${\hat{Y}}_{1}^{GREG}$ et les estimateurs fondés sur la procédure YR utilisent le même vecteur de données auxiliaires, il s’ensuit qu’il n’y a pas de grande différence quant au $\bar{BRA}$ et à la $\bar{REQMR}$ entre l’estimateur non réconcilié ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{YR}$ et ses versions réconciliées, ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{YRat},$ ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{YR}$ et ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{RYR} .$ Cependant, on peut constater que l’estimateur réconcilié ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{YR}$ présente les valeurs du $\bar{BRA}$ les plus faibles, tandis que l’estimateur réconcilié restreint ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{RYR}$ présente les $\bar{REQMR}$ les plus faibles.

Tableau 4.3
$\bar{BRA}$ (%) et $\bar{REQMR}$ (%) pour le *Scénario 2* : la réconciliation à ${\hat{Y}}_{1}^{GREG}$ $(x_{i j} \subseteq x_{i j}^{*})$
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de $\bar{BRA}$ (%) et $\bar{REQMR}$ (%) pour le Scénario 1 : la réconciliation à ${\hat{Y}}_{1}^{GREG}$ $(x_{i j} \subseteq x_{i j}^{*})$ . Les données sont présentées selon Estimateur (titres de rangée) et Mesure, Pop A1
$δ = 0,01$ , Pop B1
$δ = 0,05$ , Pop C1
$δ = 0,1$ , Pop D1
$δ = 0,2$ et Pop E1
$δ = 1$ (figurant comme en-tête de colonne).
Estimateur	Mesure	Pop A2 $δ = 0,01$	Pop B2 $δ = 0,05$	Pop C2 $δ = 0,1$	Pop D2 $δ = 0,2$	Pop E2 $δ = 1$
${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{EBLUP}$	$\bar{BRA}$	42,3	42,7	43,2	43,0	41,5
${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{EBLUP}$	$\bar{REQMR}$	59,8	60,5	61,1	60,6	59,0
${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{YR}$	$\bar{BRA}$	13,5	13,8	13,8	13,6	13,5
${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{YR}$	$\bar{REQMR}$	42,8	43,2	43,5	43,2	42,4
${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{EBRat}$	$\bar{BRA}$	42,9	43,4	43,9	43,6	42,1
${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{EBRat}$	$\bar{REQMR}$	61,2	61,9	62,7	62,1	60,3
${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{YRat}$	$\bar{BRA}$	13,8	14,1	14,1	13,9	13,8
${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{YRat}$	$\bar{REQMR}$	43,9	44,4	44,7	44,4	43,5
${\hat{\bar{Y}}}_{i a b}^{EBLUP}$	$\bar{BRA}$	19,8	20,2	20,2	20,2	19,6
${\hat{\bar{Y}}}_{i a b}^{EBLUP}$	$\bar{REQMR}$	66,2	66,7	67,6	67,3	66,6
${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{YR}$	$\bar{BRA}$	10,9	10,6	11,5	12,5	10,7
${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{YR}$	$\bar{REQMR}$	47,3	47,6	48,1	47,9	47,8
${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{REBLUP}$	$\bar{BRA}$	41,2	41,8	41,8	41,7	40,6
${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{REBLUP}$	$\bar{REQMR}$	58,2	59,0	59,1	58,9	57,4
${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{RYR}$	$\bar{BRA}$	12,5	12,7	12,6	12,5	12,5
${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{RYR}$	$\bar{REQMR}$	42,4	42,9	43,1	42,9	42,1

Réconciliation à ${\hat{Y}}_{2}^{GREG}$ (le cas de $x_{i j} ⊄ x_{i j}^{*}$ )

Les résultats dans ce cas sont présentés aux tableaux 4.4 et 4.5 pour les Scénarios 1 et 2, respectivement. La pondération se rapporte à l’estimateur $w_{i j}^{GREG}$ donné par l’équation (3.2). Nous avons examiné les quatre estimateurs suivants $({\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{EBRat},$ ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{REBLUP},$ ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{YRat}$ et ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{RYR})$ qui sont réconciliés à ${\hat{Y}}_{2}^{GREG} .$ Les deux premiers estimateurs, ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{EBRat}$ et ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{REBLUP},$ sont donnés par les équations (3.5) et (3.13) respectivement, tandis que les deux derniers, ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{YRat}$ et ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{RYR},$ sont donnés par les équations (3.5) et (3.15).

Au tableau 4.4, nous résumons les valeurs moyennes du BRA et de la REQMR lorsque le modèle est exact. Autrement dit, tant l’échantillon que les données sur la population respectent le modèle (4.1). Nous discutons en premier lieu de leurs propriétés quant aux $\bar{BRA} .$ En comparant les $\bar{BRA}$ de l’ensemble des estimateurs au tableau 4.4, nous constatons encore une fois que, sous une modélisation exacte, l’estimateur EBLUP original, ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{EBLUP},$ présente les $\bar{BRA}$ les plus faibles. Les $\bar{BRA}$ augmentent lorsque la réconciliation est nécessaire, ce qui est différent de ce que nous avons constaté au tableau 4.2. Il n’y a pas de grande différence quant au $\bar{BRA}$ entre les estimateurs réconciliés obtenus au moyen des méthodes fondées sur des ajustements par le ratio, ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{EBRat}$ et ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{YRat},$ et ceux obtenus au moyen des méthodes restreintes, ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{REBLUP}$ et ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{RYR} .$ Les $\bar{BRA}$ augmentent à mesure que $δ$ augmente : de légères exceptions se produisent lorsque $δ = 1.$

Ensuite, nous nous penchons sur les $\bar{REQMR} .$ Comme on pouvait s’y attendre, les $\bar{REQMR}$ les plus faibles sont associées à ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{EBLUP},$ ce qui est optimal sous une modélisation exacte. La réconciliation entraîne une augmentation de la $\bar{REQMR} .$ Il convient de souligner que les $\bar{REQMR}$ associées à l’ensemble des quatre procédures de réconciliation au tableau 4.4 sont assez élevées comparativement aux $\bar{REQMR}$ associées aux estimateurs non réconciliés ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{EBLUP}$ et ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{YR} .$ Les estimateurs ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{EBRat}$ et ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{YRat}$ ont une efficacité semblable, tandis que ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{REBLUP}$ et ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{RYR}$ présentent des valeurs de la $\bar{REQMR}$ qui sont un peu plus élevées que celles de ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{EBRat}$ et ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{YRat} .$ Les $\bar{REQMR}$ augmentent à mesure que $δ$ augmente.

Lorsque $x_{i j} ⊄ x_{i j}^{*},$ il existe des différences plus grandes entre les estimateurs sur petits domaines fondés sur le modèle (2.2), qui utilise le vecteur $x_{i j},$ et l’estimateur GREG, qui utilise $x_{i j}^{*} .$ Il convient de souligner que nous avons examiné une situation un peu extrême alors que $x_{i j}$ et $x_{i j}^{*}$ n’ont pas de variable en commun. Il s’ensuit que les modifications nécessaires pour obtenir des estimateurs réconciliés sont plus importantes dans ce cas comparativement au cas de $x_{i j} \subseteq x_{i j}^{*} .$ Cela explique pourquoi, au tableau 4.4, les estimateurs réconciliés présentent des valeurs du $\bar{BRA}$ et de la $\bar{REQMR}$ significativement plus élevées que les estimateurs qui ne sont pas réconciliés à ${\hat{Y}}_{2}^{GREG} .$

Tableau 4.4
$\bar{BRA}$ (%) et $\bar{REQMR}$ (%) pour le *Scénario 1* : la réconciliation à ${\hat{Y}}_{2}^{GREG}$ $(x_{i j} ⊄ x_{i j}^{*})$
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de $\bar{BRA}$ (%) et $\bar{REQMR}$ (%) pour le Scénario 1 : la réconciliation à ${\hat{Y}}_{2}^{GREG}$ $(x_{i j} ⊄ x_{i j}^{*})$ . Les données sont présentées selon Estimateur (titres de rangée) et Mesure, Pop A1
$δ = 0,01$ , Pop B1
$δ = 0,05$ , Pop C1
$δ = 0,1$ , Pop D1
$δ = 0,2$ et Pop E1
$δ = 1$ (figurant comme en-tête de colonne).
Estimateur	Mesure	Pop A1 $δ = 0,01$	Pop B1 $δ = 0,05$	Pop C1 $δ = 0,1$	Pop D1 $δ = 0,2$	Pop E1 $δ = 1$
${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{EBLUP}$	$\bar{BRA}$	1,1	1,9	2,3	2,7	2,6
${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{EBLUP}$	$\bar{REQMR}$	2,7	3,4	3,9	4,9	6,5
${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{YR}$	$\bar{BRA}$	1,2	2,0	2,4	2,9	3,1
${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{YR}$	$\bar{REQMR}$	3,1	3,7	4,2	5,3	7,2
${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{EBRat}$	$\bar{BRA}$	4,2	4,3	4,5	4,9	4,6
${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{EBRat}$	$\bar{REQMR}$	13,0	13,2	13,5	14,0	14,6
${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{YRat}$	$\bar{BRA}$	4,2	4,3	4,5	5,0	4,8
${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{YRat}$	$\bar{REQMR}$	13,0	13,2	13,5	14,0	14,0
${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{REBLUP}$	$\bar{BRA}$	4,2	4,3	4,5	5,0	4,8
${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{REBLUP}$	$\bar{REQMR}$	13,1	13,3	13,5	14,1	15,0
${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{RYR}$	$\bar{BRA}$	4,2	4,3	4,6	5,1	5,0
${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{RYR}$	$\bar{REQMR}$	13,5	13,7	13,8	14,5	16,2

L’incidence d’utiliser un modèle inexact est présentée au tableau 4.5. Nous constatons que l’estimateur ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{EBLUP}$ est le plus touché en ce qui a trait au $\bar{BRA}$ et à la $\bar{REQMR},$ car la procédure EBLUP suppose que le modèle est exact. Les versions réconciliées de l’estimateur EBLUP, ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{EBRat}$ et ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{REBLUP},$ présentent aussi des $\bar{BRA}$ et des $\bar{REQMR}$ élevés. Bien que l’estimateur original de You et Rao (2002), ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{YR},$ présente un $\bar{BRA}$ beaucoup plus faible que l’estimateur EBLUP, sa $\bar{REQMR}$ est assez élevée. Le $\bar{BRA}$ et la $\bar{REQMR}$ associés à la version réconciliée par le ratio de ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{YR},$ ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{YRat},$ sont un peu plus élevés que ceux associés à ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{YR} .$ L’estimateur YR réconcilié, ${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{RYR},$ qui repose sur la procédure restreinte donnée à la section 3.4, présente le $\bar{BRA}$ le plus faible parmi les estimateurs présentés au tableau 4.5. En raison de la réconciliation, sa $\bar{REQMR}$ est légèrement plus élevée que celle associée à ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{YR} .$

Tableau 4.5
$\bar{BRA}$ (%) et $\bar{REQMR}$ (%) pour le *Scénario 2* : la réconciliation à ${\hat{Y}}_{2}^{GREG}$ $(x_{i j} ⊄ x_{i j}^{*})$
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de $\bar{BRA}$ (%) et $\bar{REQMR}$ (%) pour le Scénario 2 : la réconciliation à ${\hat{Y}}_{2}^{GREG}$ $(x_{i j} ⊄ x_{i j}^{*})$ . Les données sont présentées selon Estimateur (titres de rangée) et Mesure, Pop A2
$δ = 0,01$ , Pop B2
$δ = 0,05$ , Pop C2
$δ = 0,1$ , Pop D2
$δ = 0,2$ et Pop E2
$δ = 1$ (figurant comme en-tête de colonne).
Estimateur	Mesure	Pop A2 $δ = 0,01$	Pop B2 $δ = 0,05$	Pop C2 $δ = 0,1$	Pop D2 $δ = 0,2$	Pop E2 $δ = 1$
${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{EBLUP}$	$\bar{BRA}$	42,3	42,6	43,2	43,0	41,6
${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{EBLUP}$	$\bar{REQMR}$	59,8	60,4	61,1	60,7	59,1
${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{YR}$	$\bar{BRA}$	13,6	13,6	13,9	13,7	13,5
${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{YR}$	$\bar{REQMR}$	42,8	43,1	43,5	43,3	42,4
${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{EBRat}$	$\bar{BRA}$	43,8	44,4	44,9	44,6	43,3
${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{EBRat}$	$\bar{REQMR}$	65,4	66,1	67,0	66,4	64,5
${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{YRat}$	$\bar{BRA}$	15,0	15,2	15,6	15,2	14,9
${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{YRat}$	$\bar{REQMR}$	47,9	48,2	48,7	48,3	47,3
${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{REBLUP}$	$\bar{BRA}$	37,3	38,0	38,1	37,8	37,1
${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{REBLUP}$	$\bar{REQMR}$	57,4	58,2	58,5	58,2	56,7
${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{RYR}$	$\bar{BRA}$	9,9	10,1	10,4	10,0	10,1
${\hat{\bar{Y}}}_{i b}^{RYR}$	$\bar{REQMR}$	43,4	43,8	44,2	43,9	43,1

ISSN : 1712-5685

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Date de modification :: 2021-06-24

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