Une évaluation de l’amélioration de l’exactitude au moyen d’un plan de sondage adaptatif
Section 2. Échantillonnage probabiliste suivi par une non-réponse

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2.1  Population, échantillon, ensemble de réponses, ensemble de non-réponses

Soit $U=\left\{1,2,\dots ,k,\dots ,N\right\}$ une population finie de taille $N$ dont a été tiré un échantillon probabiliste $s,$ en donnant à l’unité $k$ la probabilité d’inclusion $\text{}{\pi }_k$ et le poids d’échantillonnage $d_k=1/{\pi }_k\text{}.$ Soit $r$ l’ensemble de réponses, c’est-à-dire l’ensemble d’unités pour lesquelles la valeur $y_k$ de la variable d’enquête $y,$ qu’elle soit catégorique ou continue, est observée. Nous avons donc les observations $y_k$ pour $k\in r\subset s\subset U,$ mais elles sont manquantes pour l’ensemble de non-réponses noté $nr=s-r.$ Au moyen des valeurs $y_k$ observées, nous voulons estimer le total de population $y$ $Y={\displaystyle {\sum }_U{y}_k}.$ Une sommation ${\displaystyle {\sum }_{k\in A}\text{}}$ sur un ensemble d’unités $k\in A\subseteq U$ est écrite simplement comme suit : ${\displaystyle {\sum }_A\text{}.}$

Il est établi que « les non-répondants ne sont pas comme les répondants » et qu’aucun des deux groupes n’est suffisamment semblable à l’échantillon complet. Cela cause un biais dans les estimations du total de $Y.$ Le présent article s’intéresse au contraste entre l’ensemble de réponses et l’ensemble de non-réponses, car cette comparaison a porté ses fruits auparavant, notamment dans des concepts comme celui de fraction d’information manquante.

La collecte de données adaptative est un processus dynamique. Les ensembles de réponses et de non-réponses, ainsi que les quantités connexes comme les moyennes et les coefficients de régression, sont définis temporairement. Une notation plus complète distinguerait les ensembles de réponses $r^{\left(a\right)}\text{},$ $a=1,2,\dots ,$ dans l’ordre hiérarchique,

$$r^{\left(1\right)}\subseteq r^{\left(2\right)}\subseteq \dots \subseteq r^{\left(a\right)}\subseteq \dots$$

Ici, $r^{\left(a\right)}$ est l’ensemble d’unités ayant donné la valeur $y_k$ après $a$ tentatives d’appel (ou, sinon, après $a$ jours de collecte de données), et $n{r}^{\left(a\right)}=s-r^{\left(a\right)}$ est l’ensemble de non-réponses correspondant. Pour simplifier, $r$ désignera tout ensemble des ensembles de réponses de plus en plus grands. Des outils de collecte de données, comme le système WinDATI de Statistique Suède, permettent d’enregistrer toutes les tentatives de contact, puis d’intervenir et de rediriger les entrées de données afin d’obtenir un ensemble de réponses final mieux équilibré.

Le taux de réponse et le taux de non-réponse correspondant (les deux pondérés par  $d)$ sont les suivants :

$$P={\displaystyle {\sum }_r{d}_k}/{\displaystyle {\sum }_s{d}_k};Q=1-P={\displaystyle {\sum }_{nr}{d}_k}/{\displaystyle {\sum }_s{d}_k}.$$

De plus, des notations de la réponse, la non-réponse et de l’échantillon complet sont données pour le vecteur auxiliaire $x$ à la section 2.2, pour la variable d’enquête $y$ et pour le vecteur de régression $y$ sur $x$ à la section 2.3.

2.2  Vecteur auxiliaire et déséquilibre de la réponse

Un vecteur auxiliaire $x$ est choisi à la suite d’un choix structuré de variables auxiliaires parmi les variables de ce type disponibles. Dans les pays scandinaves, les variables disponibles sont nombreuses et proviennent de sources administratives ainsi que d’enquêtes auprès des particuliers et des ménages. On pourrait s’étendre sur les principes ou les « tentatives d’optimalité » susceptibles de guider ce choix, mais le présent article ne porte pas sur la procédure de sélection.

Soit le vecteur auxiliaire désigné $x$ de dimension $J\ge 1.$ On suppose sa valeur $x_k$ connue pour toutes les unités $k\in s.$ (Le cas où la population totale de $x_k$ est connue n’est pas pris en compte.) Dans un cas particulier important, $x$ est un vecteur de groupes de dimension $J,$ sous la forme $x_k={\left(0,\dots ,1,\dots ,0\right)}^{\prime }\text{},$ c’est-à-dire avec $J-1$ entrées « 0 » et une seule entrée « 1 » pour identifier le groupe contenant l’unité $k.$ Les groupes ne se chevauchent pas et sont exhaustifs, le vecteur de groupes encode $J$ propriétés des unités. Par exemple, deux catégories Instruction croisées avec trois catégories Revenu donnent $J=2\times 3=6$ groupes. Mais les variables catégoriques $x$ utilisées dans le vecteur $x$ n’ont pas toutes besoin d’être entièrement croisées, et elles ne le sont pas dans plusieurs applications.

Nous utilisons des vecteurs $x$ avec une propriété pratique du point de vue mathématique dans de nombreux calculs : Il existe un vecteur $\mu$ qui ne dépend pas de $k$ de sorte que :

$${\mu }^{\prime }{x}_k=1\text{pour}\text{tous}\text{les}k.(2.1)$$

La majorité des vecteurs d’intérêt $x$ satisfont à cette condition ou peuvent la vérifier. Par exemple, s’il y a une seule variable auxiliaire continue $x,$ et $x_k={\left(1,x_k\right)}^{\prime }\text{},$ alors $\mu ={\left(1,0\right)}^{\prime }$ satisfait à la contrainte. Dans le cas du vecteur de groupes, la condition est satisfaite par $\mu ={\left(1,\dots ,1,\dots ,1\right)}^{\prime }.$ Dans un exemple où $x$ est catégorique, mais n’est pas un vecteur de groupes, supposons que deux catégories Études sont croisées avec trois catégories Revenu et que Sexe est ajouté au vecteur $x_k$ comme variable univariée 0/1, alors la dimension est $J=6+1=7,$ le nombre de valeurs distinctes $x_k$ est $6\times 2=12,$ et $\mu ={\left(1,1,1,1,1,1,0\right)}^{\prime }$ satisfait à la contrainte (2.1).

Les moyennes − toutes calculables − du vecteur $x$ pondéré par $(d)$ sont

$${\overline{x}}_r={\displaystyle {\sum }_r{d}_k{x}_k}/{\displaystyle {\sum }_r{d}_k;}{\overline{x}}_{nr}={\displaystyle {\sum }_{nr}{d}_k{x}_k}/{\displaystyle {\sum }_{nr}{d}_k;}{\overline{x}}_s={\displaystyle {\sum }_s{d}_k{x}_k}/{\displaystyle {\sum }_s{d}_k.}(2.2)$$

Nous avons besoin des moments du second ordre; les matrices $J\times J$ calculables sont supposées non singulières :

$${\Sigma }_r={\displaystyle {\sum }_r{d}_k{x}_k{x}_k^{\prime }}/{\displaystyle {\sum }_r{d}_k;}{\Sigma }_{nr}={\displaystyle {\sum }_{nr}{d}_k{x}_k{x}_k^{\prime }}/{\displaystyle {\sum }_{nr}{d}_k;}{\Sigma }_s={\displaystyle {\sum }_s{d}_k{x}_k{x}_k^{\prime }}/{\displaystyle {\sum }_s{d}_k.}(2.3)$$

Le déséquilibre (IMB) de la réponse est calculé sur les valeurs du vecteur auxiliaire $x_k$ connues pour $k\in s,$ voir Särndal (2011a). Il s’agit d’une mesure du contraste entre la réponse et l’échantillon complet, ou autrement entre la réponse et la non-réponse. Pour un vecteur donné $x$ et un échantillon $s,$ le déséquilibre est défini comme suit :

$$\text{IMB}=P^2{\left({\overline{x}}_r-{\overline{x}}_s\right)}^{\prime }{\Sigma }_s^{-1}\left({\overline{x}}_r-{\overline{x}}_s\right).$$

Une notation plus explicite serait $\text{IMB}\left(r,x|s\right)$ mais pour simplifier, nous utilisons seulement IMB. Étant donné que ${\overline{x}}_r-{\overline{x}}_s=\left(1-P\right)\left({\overline{x}}_r-{\overline{x}}_{nr}\right),$ nous pouvons exprimer IMB comme un contraste entre la réponse et la non-réponse :

$$\text{IMB}={\left\{P\left(1-P\right)\right\}}^2{\left({\overline{x}}_r-{\overline{x}}_{nr}\right)}^{\prime }{\Sigma }_s^{-1}\left({\overline{x}}_r-{\overline{x}}_{nr}\right).(2.4)$$

L’un des objectifs d’un plan de collecte de données adaptatif est de créer un ensemble de réponses final $r$ ayant un IMB faible, pour l’échantillon probabiliste donné $s.$

La dimension et la composition du vecteur $x$ sont des déterminants importants de la valeur du déséquilibre IMB. IMB a comme propriété, pour les variables fixes $r$ et $s,$ d’augmenter si on étend un vecteur $x$ donné en y ajoutant d’autres variables $x.$ L’augmentation reflète l’intuition selon laquelle il est plus difficile de rapprocher un nombre plus élevé de moyennes de variables $x.$ Le vecteur $x$ trivial, $x_k=1$ pour tous les $k,$ donne $\text{IMB}=0,$ mais ne présente presque aucun intérêt en pratique. Nous avons $0\le \text{IMB}\le P\left(1-P\right)\le \text{0,25}$ pour tout vecteur $s,$ $r,$ et $x.$ Ce sont des conditions générales. Pour la plupart des ensembles de données d’enquête, la valeur calculée IMB est bien inférieure à la borne supérieure, souvent entre 0,01 et 0,05.

2.3  La variable d’enquête et sa régression sur $x$

Passons à la variable d’enquête $y.$ Sa valeur $y_k$ est observée pour $k\in r$ de sorte que le modèle de régression linéaire de $y$ sur $x$ puisse être réalisé pour l’ensemble $r.$ Bien que non faisable en cas d’enquête avec non-réponse, un modèle de régression linéaire de $y$ sur $x$ existe aussi, théoriquement, pour $nr=s-r$ et pour $s.$ Ajusté à la réponse $r,$ le vecteur de coefficient de régression linéaire (par moindres carrés pondérés par $d)$ est $b_r={\left({\displaystyle {\sum }_r{d}_k{x}_k{x}_k^{\prime }}\right)}^{-1}{\displaystyle {\sum }_r{d}_k{x}_k{y}_k}.$ De manière analogue, les deux autres modèles de régression donnent les vecteurs de régression $b_{nr}$ et $b_s.$ Exprimés en fonction des matrices $x$ de moment du second ordre dans (2.3), les trois vecteurs de régression sont

$$b_r={\Sigma }_r^{-1}{\displaystyle {\sum }_r{d}_k{x}_k{y}_k}/{\displaystyle {\sum }_r{d}_k};b_{nr}={\Sigma }_{nr}^{-1}{\displaystyle {\sum }_{nr}{d}_k{x}_k{y}_k}/{\displaystyle {\sum }_{nr}{d}_k};b_s={\Sigma }_s^{-1}{\displaystyle {\sum }_s{d}_k{x}_k{y}_k}/{\displaystyle {\sum }_s{d}_k\text{}.}(2.5)$$

Les moyennes $y$ sont

$${\overline{y}}_r={\displaystyle {\sum }_r{d}_k{y}_k}/{\displaystyle {\sum }_r{d}_k};{\overline{y}}_{nr}={\displaystyle {\sum }_{nr}{d}_k{y}_k}/{\displaystyle {\sum }_{nr}{d}_k};{\overline{y}}_s={\displaystyle {\sum }_s{d}_k{y}_k}/{\displaystyle {\sum }_s{d}_k}\text{}.$$

Les propriétés suivantes sont vérifiées à la suite de (2.1) :

$${\overline{y}}_r={\overline{x}}_r^{\prime }{b}_r;{\overline{y}}_{nr}={\overline{x}}_{nr}^{\prime }{b}_{nr};{\overline{y}}_s={\overline{x}}_s^{\prime }{b}_s.(2.6)$$

Un estimateur rudimentaire, en présence de non-réponse, du total de la population $Y={\displaystyle {\sum }_U{y}_k}=N{\overline{y}}_U$ utilise l’extension directe (EXP) de la moyenne de la réponse :

$${\widehat{Y}}_{\text{EXP}}=\widehat{N}{\displaystyle {\sum }_r{d}_k{y}_k}/{\displaystyle {\sum }_r{d}_k}=\widehat{N}{\overline{y}}_r,$$

où $\widehat{N}={\displaystyle {\sum }_s{d}_k}.$ Dans ${\widehat{Y}}_{\text{EXP}},$ la pondération est uniforme, sans utilisation d’information auxiliaire. Le biais est susceptible d’être élevé. L’utilisation des valeurs auxiliaires $x_k$ connues pour $k\in s$ apporte habituellement une amélioration; ${\displaystyle {\sum }_s{d}_k{x}_k}$ est un estimateur connu et sans biais (Horvitz-Thompson) du total de la population ${\displaystyle {\sum }_U{x}_k},$ et nous cherchons donc les poids $d_k{w}_k$ pour satisfaire l’équation de calage ${\displaystyle {\sum }_r{d}_k{w}_k{x}_k}={\displaystyle {\sum }_s{d}_k{x}_k}.$ Voici une solution (qui n’est pas la seule)

$$w_k={\left({\displaystyle {\sum }_s{d}_k{x}_k}\right)}^{\prime }{\left({\displaystyle {\sum }_r{d}_k{x}_k}{x}_k^{\prime }\right)}^{-1}{x}_k=\left(1/P\right){\overline{x}}_s^{\prime }{\Sigma }_r^{-1}{x}_k.$$

L’estimateur par calage linéaire (CAL) de $Y={\displaystyle {\sum }_U{y}_k}$ est ${\widehat{Y}}_{\text{CAL}}={\displaystyle {\sum }_r{d}_k{w}_k{y}_k},$ ou de façon équivalente

$${\widehat{Y}}_{\text{CAL}}=\widehat{N}{\overline{x}}_s^{\prime }{b}_r.$$

Une des raisons pour lesquelles nous nous attendons à ce que ${\widehat{Y}}_{\text{CAL}}$ soit moins biaisé que ${\widehat{Y}}_{\text{EXP}},$ surtout quand $y$ et $x$ sont bien liés, est que les poids $d_k{w}_k$ doivent respecter la contrainte de quantité calculable non biaisée ${\displaystyle {\sum }_s{d}_k{x}_k},$ dans le deuxième membre de l’équation de calage. Cependant, malgré la pondération de l’ajustement, ${\widehat{Y}}_{\text{CAL}}$ a un biais restant non négligeable, peut-être considérable.

Comme repère, nous utilisons l’estimateur sans biais de $Y$ exigeant une réponse complète (FUL), qui est donc hypothétique en présence de non-réponse, à savoir l’estimateur de Horwitz-Thompson

$$Y_{\text{FUL}}={\displaystyle {\sum }_s{d}_k{y}_k}=\widehat{N}{\overline{y}}_s.$$

Les trois types d’estimateurs sont désignés par EXP, CAL et FUL. En fait, CAL représente une famille d’estimateurs, correspondant à tous les choix possibles de vecteur  $x.$ Pour un vecteur  $x$ approprié donné, nous devons examiner de près l’écart de CAL ${\Delta }_{\text{CAL}},$ défini comme étant la différence entre le CAL avec biais et le FUL sans biais, cadrée en divisant par la taille de la population (estimée au besoin) :

$$\left({\widehat{Y}}_{\text{CAL}}-{\widehat{Y}}_{\text{FUL}}\right)/\widehat{N}={\Delta }_{\text{CAL}},$$

où

$${\Delta }_{\text{CAL}}={\overline{x}}_s^{\prime }{b}_r-{\overline{y}}_s={\overline{x}}_s^{\prime }\left(b_r-b_s\right).(2.7)$$

L’écart n’est pas un biais. L’écart ${\Delta }_{\text{CAL}}$ est un résultat pour un ensemble de réponses $r$ d’un échantillon particulier $s.$ Par ailleurs, le biais de l’estimateur CAL est la valeur prévue de ${\Delta }_{\text{CAL}}$ sur tous les $r$ d’une valeur $s,$ donnée et tous les $s$ de $U.$ Si on peut obtenir une réponse $r$ avec un écart nul ${\Delta }_{\text{CAL}}$ quel que soit l’échantillon $s,$ alors l’estimateur CAL a un biais nul, car il est alors toujours égal à l’estimateur de Horvitz-Thompson sans biais. Il n’est cependant pas réaliste de penser qu’on obtiendra en pratique un écart nul par une collecte de données adaptative ou un autre moyen. Il est toutefois judicieux de chercher à réduire l’écart pour l’échantillon donné $s,$ puisque cela permettrait de se rapprocher d’une estimation sans biais. On peut dire que l’objectif ne consiste pas à obtenir une estimation sans biais, parce que cela est impossible en présence de non-réponse, mais qu’il est réaliste de chercher à réduire l’écart par rapport à une estimation sans biais.

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