Mesure de l’incertitude associée aux estimateurs pour petits domaines basés sur un modèle
Section 5. Étude en simulation

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À la présente section, nous donnons les résultats d’études en simulation limitées des propriétés sous le plan des estimateurs composites proposés de l’EQM. La section 5.1 présente les résultats pour le modèle au niveau du domaine, et la section 5.2, pour le modèle au niveau de l’unité.

5.1  Modèle au niveau du domaine

En adoptant la configuration de simulation utilisée par Datta et coll. (2011), nous employons le modèle (2.1) avec $m=30$ domaines, $z_i={\left(1,z_{i1}\right)}^{\prime }$ pour $i=1,\dots ,m,$ où les valeurs des covariables $z_{i1},\dots ,z_{im}$ sont générées indépendamment à partir de la loi $N\left(-1,1\right)$ et maintenues fixes au cours des simulations. En outre, $\beta ={\left(1,1\right)}^{\prime },$ ${\sigma }_v^2=1$ et les valeurs de la variance d’échantillonnage sont (2,0; 0,6; 0,5; 0,4; 0,2), avec chaque valeur différente de ${\psi }_i$ attribuée à six domaines consécutifs. En notant que $v_i\sim N\left(0,1\right),$ nous générons $\left\{{\theta }_i;i=1,\dots ,m\right\}$ à partir du modèle de liaison ${\theta }_i=z_i^{\prime }\beta +v_i$ et maintenons les valeurs fixes au cours des simulations pour refléter l’approche basée sur le plan avec conditionnement sur les moyennes de domaine ${\theta }_i.$ Puis, $R=\text{100}\text{000}$ échantillons simulés $\left\{{\widehat{\theta }}_i^{\left(r\right)}:i=1,\dots ,m\right\},$ $r=1,\dots ,R$ sont générés à partir du modèle d’échantillonnage ${\widehat{\theta }}_i={\theta }_i+e_i$ avec l’erreur d’échantillonnage $e_i$ générée à partir de la loi $N\left(0,{\psi }_i\right)$ pour la variance d’échantillonnage spécifiée ${\psi }_i$ , qui est supposée fixe et connue. Nous notons que notre configuration de simulation n’est pas exactement basée sur le plan, mais qu’elle « s’en approche suffisamment » pour les besoins de notre étude.

Partant des données simulées $\left\{\left({\widehat{\theta }}_i^{\left(r\right)}\text{},z_i\right):i=1,\dots ,m\right\},$ nous calculons les estimations EB ${\widehat{\theta }}_i^{\text{EB}\left(r\right)}$ et obtenons une approximation de l’EQM de ${\widehat{\theta }}_i^{\text{EB}}$ sous la forme

$${\text{EQM}}_i^{\text{EB}}=R^{-1}{\displaystyle \sum _{r=1}^R{\left({\widehat{\theta }}_i^{\text{EB}\left(r\right)}-{\theta }_i\right)}^2}\text{}.(5.1)$$

Nous calculons les estimateurs de l’EQM pour chaque échantillon simulé et prenons leur moyenne sur les 100 000 simulations. Nous désignons les moyennes des estimateurs de l’EQM sur les simulations par ${\text{eqm}}_i^{\text{EB}}\text{}$ ${\text{eqm}}_{di}^{\text{EB}}\text{},$ ${\text{mod-eqm}}_{di}^{\text{EB}}\text{},$ ${\text{mod-eqm}}_{c1i}^{\text{EB}}$ et ${\text{mod-eqm}}_{c2i}^{\text{EB}},$ ce qui correspond aux estimateurs de l’EQM sous le modèle, sans biais sous le plan, sans biais sous le plan modifié, composite modifié 1 et composite modifié 2, respectivement. Le biais relatif (BR) de ${\text{eqm}}_i^{\text{EB}}$ est donné par

$${\text{BR}}_i^{\text{EB}}=\left({\text{eqm}}_i^{\text{EB}}-{\text{EQM}}_i^{\mathrm{EB}}\right)/{\text{EQM}}_i^{\text{EB}}(5.2)$$

où ${\text{EQM}}_i^{\text{EB}}$ est donné par (5.1). Le biais relatif absolu (BRA) est simplement défini comme étant ${\text{BRA}}_i^{\text{EB}}=\left|{\text{BR}}_i^{\text{EB}}\right|.$ Les termes ${\text{BRA}}_{di}^{\text{EB}},$ ${\text{BRA}}_{di-\mathrm{mod}}^{\text{EB}},$ ${\text{BRA}}_{c1i-\mathrm{mod}}^{\text{EB}}$ et ${\text{BRA}}_{c2i-\mathrm{mod}}^{\text{EB}}$ sont définis de la même manière.

Nous calculons aussi la racine carrée de l’erreur quadratique moyenne relative (REQMR) des estimateurs de l’EQM sur les simulations. Nous désignons ces valeurs par ${\text{REQMR}}_i^{\text{EB}}\text{},$ ${\text{REQMR}}_{di}^{\text{EB}}\text{},$ ${\text{REQMR}}_{di-\mathrm{mod}}^{\text{EB}}\text{},$ ${\text{REQMR}}_{c1i-\mathrm{mod}}^{\text{EB}}$ et ${\text{REQMR}}_{c2i-\mathrm{mod}}^{\text{EB}}$ pour les estimateurs de l’EQM sous le modèle, sans biais sous le plan, sans biais sous le plan modifié, composite modifié 1 et composite modifié 2, respectivement. Ici, la REQMR de l’estimateur de l’EQM sous le modèle est définie comme étant

$${\text{REQMR}}_i^{\text{EB}}={\left\{R^{-1}{\displaystyle \sum _{r=1}^R{\left({\text{eqm}}_i^{\text{EB}\left(r\right)}-{\text{EQM}}_i^{\text{EB}}\right)}^2}\right\}}^{1/2}/{\text{EQM}}_i^{\text{EB}}\text{}.(5.3)$$

Les REQMR des autres estimateurs de l’EQM sont définies de manière similaire.

Nous commençons par comparer la moyenne des ${\text{eqm}}_i^{\text{EB}}$ sur l’ensemble des domaines à la moyenne des ${\text{eqm}}_{di}^{\text{EB}}\text{}$ sur l’ensemble des domaines. Nous obtenons les valeurs 0,42 et 0,35, respectivement, ce qui montre que la moyenne de l’estimateur de l’EQM sous le modèle, 0,42, est assez proche de la moyenne des EQM sous le plan des estimateurs EB, 0,35, ce qui confirme le résultat théorique mentionné à la section 4.1. Le résultat théorique s’appuie sur l’hypothèse que les paramètres du modèle sont connus, tandis que la simulation traite le cas général de paramètres du modèle inconnus.

Nous examinons ensuite la probabilité d’obtenir une valeur négative pour les trois estimateurs de l’EQM suivants : sans biais sous le plan, composite 1 et composite 2. La figure 5.1 montre le pourcentage de valeurs négatives sur l’ensemble des simulations pour chacun des 30 domaines. Cette figure montre clairement que la probabilité d’obtenir une valeur négative pour l’estimateur de l’EQM sans biais sous le plan peut être aussi élevée que 50 % pour les six premiers domaines (groupe 1), avec une variance d’échantillonnage beaucoup plus grande que pour les domaines restants (groupe 2). Par ailleurs, cette probabilité est négligeable pour les domaines du groupe 2. La probabilité moyenne sur les domaines du groupe 1 est de 45,67 % comparativement à 0,03 % pour le groupe 2. La probabilité d’obtenir une valeur négative pour l’estimateur composite 1 de l’EQM est nulle sur l’ensemble des 30 domaines, tandis que la probabilité moyenne pour l’estimateur composite 2 de l’EQM est de 9,15 % sur les domaines du groupe 1 et nulle sur les domaines du groupe 2. Les résultats susmentionnés donnent à penser que l’estimateur composite 1 de l’EQM pourrait ne pas nécessiter de modification, même pour des domaines pour lesquels la variance d’échantillonnage est grande. Notons que, dans la présente étude en simulation, les estimateurs composite 1 et composite modifié 1 de l’EQM sont identiques, parce qu’aucune valeur nulle n’a été décelée pour l’estimateur composite 1 de l’EQM.

Examinons maintenant le BRA des estimateurs de l’EQM. La figure 5.2 donne les valeurs du BRA pour chacun des 30 domaines pour les estimateurs de l’EQM suivants : sous le modèle, sans biais sous le plan, sans biais sous le plan modifié, composite 1 modifié et composite 2 modifié. Le tableau 5.1 donne le BRA sous le plan moyen en %, ainsi que la REQMR sous le plan moyenne en % sur les domaines du groupe 1 et du groupe 2.

Comme prévu, la figure 5.2 montre que le BRA de l’estimateur sans biais sous le plan est nul (hormis les erreurs de simulation) dans tous les domaines. Par ailleurs, étonnamment, le BRA de l’estimateur sans biais sous le plan modifié de l’EQM est grand pour les six premiers domaines, la valeur moyenne étant de 93,49 %, mais il est négligeable pour les autres domaines (0,38 %). L’estimateur de l’EQM sous le modèle présente aussi un grand BRA pour les six premiers domaines, la moyenne étant de 51,66 %, mais passe à 25,76 % pour les autres domaines. Dans le cas de l’estimateur composite 1 de l’EQM, la valeur moyenne du BRA est réduite à 34,08 % pour le groupe 1 et est petite pour le groupe 2 (7,60 %). L’estimateur composite 2 modifié de l’EQM, qui donne plus de poids à l’estimateur sans biais sous le plan de l’EQM, réduit le BRA moyen à 32,00 % pour le groupe 1 et à 4,13 % pour le groupe 2.

La figure 5.3 donne le tracé de la REQMR des estimateurs de l’EQM sur l’ensemble des 30 domaines et le tableau 5.1 donne les valeurs de la REQMR moyenne en % pour les domaines du groupe 1 et du groupe 2. Comme prévu, l’estimateur de l’EQM sans biais sous le plan affiche une très grande REQMR pour le groupe 1, la valeur moyenne étant de 246,71 %. L’estimateur sans biais sous le plan modifié de l’EQM est tout aussi instable pour le groupe 1 (REQMR moyenne de 221,86 %) en plus de présenter un grand BRA. L’estimateur de l’EQM sous le modèle est celui dont la REQMR est la plus petite, comme prévu, la valeur moyenne étant de 54,98 % pour le groupe 1 comparativement à 96,98 % pour l’estimateur composite 1 de l’EQM et à 146,31 % pour l’estimateur composite 2 modifié de l’EQM. Par ailleurs, pour les domaines du groupe 2 dont les variances d’échantillonnage sont plus petites, la REQMR moyenne est à peu près la même pour les trois estimateurs de l’EQM, soit 24,70 % pour l’estimateur composite 1, 26,61 % pour l’estimateur sous le modèle et 28,20 % pour l’estimateur composite 2 modifié de l’EQM. La REQMR moyenne pour les estimateurs de l’EQM sans biais sous le plan et sans biais sous le plan modifié est à peine plus grande pour le groupe 2, les valeurs étant de 33,62 % et 33,58 %, respectivement.

Enfin, nous nous tournons vers les taux de couverture des intervalles de confiance pour une valeur nominale de 95 %. Les taux de couverture selon la théorie normale pour l’estimateur de l’EQM sous le modèle se calculent comme il suit

$$\text{TC}\left[\text{eqm}\left({\widehat{\theta }}_i^{\text{EB}}\right)\right]=R^{-1}{\displaystyle \sum _{r=1}^{R}I\left[{\widehat{\theta }}_i^{\text{EB}\left(r\right)}-\text{1,96}{\left({\text{eqm}}_i^{\text{EB}\left(r\right)}\right)}^{1/2}\le {\theta }_i\le {\widehat{\theta }}_i^{\text{EB}\left(r\right)}+\text{1,96}{\left({\text{eqm}}_i^{\text{EB}\left(r\right)}\right)}^{1/2}\right]}(5.4)$$

où $I[·]$ est une fonction indicatrice prenant la valeur 1 si ${\theta }_i$ est compris dans l’intervalle calculé et 0 autrement. Les taux de couverture pour les autres estimateurs de l’EQM sont définis de manière similaire. La figure 5.4 donne le tracé des taux de couverture en % pour les estimateurs de l’EQM. La courbe associée à l’estimateur de l’EQM sans biais sous le plan n’est pas incluse dans le graphique parce qu’il est impossible de calculer les taux de couverture des intervalles de confiance en raison d’estimations négatives de l’EQM pour certaines simulations. Le fait d’écarter ces simulations et de calculer les intervalles pour les simulations restantes pourrait fausser le taux de couverture.

Le graphique révèle une importante sous-couverture pour les domaines du groupe 1 dont la variance d’échantillonnage est grande. En particulier, le taux de couverture moyen pour les estimateurs sous le modèle, composite 1 modifié et composite 2 modifié est de 68,53 %, 78,43 % et 72,87 %, respectivement, tandis que l’estimateur sous le plan modifié de l’EQM présente une certaine amélioration, le taux étant de 85,82 %. Par ailleurs, pour les domaines du groupe 2 dont les variances d’échantillonnage sont plus petites, le taux de couverture moyen augmente pour atteindre 91,73 %, 91,74 %, 90,89 % et 89,85 % pour les estimateurs de l’EQM sous le modèle, composite 1 modifié, composite 2 modifié et sous le plan modifié, respectivement. La figure 5.4 donne à penser que les taux de couverture pour les estimateurs sous le modèle et composites modifiés de l’EQM sont comparables pour tous les domaines, ceux du groupe 1 présentant une sous-couverture importante en raison des petites tailles d’échantillon ou des grandes variances d’échantillonnage dans ces domaines.

5.2 Modèle au niveau de l’unité

À la présente section, nous présentons certains résultats d’une étude en simulation limitée des propriétés par rapport au plan de sondage de quatre estimateurs de l’EQM sous un simple modèle de moyenne au niveau de l’unité donné par

$$y_{ij}=\beta +v_i+e_{ij},j=1,\dots ,N_i;i=1,\dots ,m(5.5)$$

où les effets aléatoires de domaine $v_i\stackrel{\text{iid}}{{\displaystyle \sim }}N\left(0,{\sigma }_v^2\right)$ sont indépendants des erreurs au niveau de l’unité $e_{ij}\stackrel{\text{iid}}{{\displaystyle \sim }}N\left(0,{\sigma }_e^2\right).$ Les estimateurs de l’EQM étudiés comprennent l’estimateur de l’EQM sous le modèle $\text{eqm}\left({\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{EB}}\right)$ de l’estimateur EB ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{EB}}$ (Rao et Molina, 2015, section 7.2.3), l’estimateur par substitution (plug-in) de l’EQM sous le plan ${\text{eqm}}_d^{*}\left({\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{EB}}\right)$ obtenu à partir de (4.9) en remplaçant les paramètres du modèle $\beta ,$ ${\sigma }_v^2$ et ${\sigma }_e^2$ par les estimateurs de leur REML, l’estimateur de l’EQM composite donné par (4.10), et un estimateur « conditionnel » de l’EQM, ${\text{eqm}}_{\text{CH}}\left({\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{EB}}\right),$ proposé par Chambers, Chandra et Tzavidis (2001, section 2.2.2).

Pour la simulation basée sur le plan de sondage, nous utilisons $m=30$ petits domaines et commençons par générer les tailles de population de domaine $N_i,$ à partir d’une loi uniforme $U\left[\text{443,}\text{542}\right]$ et les maintenons fixes pour toutes les simulations, à l’instar de Chambers et coll. (2011). Nous générons deux populations finies fixes $\left\{y_{ij},j=1,\dots ,N_i;i=1,\dots ,m\right\}$ à partir du modèle de moyenne (5.5) pour le paramètre moyen spécifié $\beta =500$ et les paramètres de variance ${\sigma }_v^2=\text{10,40,}$ ${\sigma }_e^2=\text{94,09}$ pour la première population finie (désignée population A) et $\beta =500,$ ${\sigma }_v^2=\text{40,32},$ ${\sigma }_e^2=\text{94,09}$ pour la deuxième population finie (désignée population B). Notons que le ratio des variances $\delta ={\sigma }_v^2/{\sigma }_e^2$ est égal à 0,11 pour la population A et est inférieur à 0,43 pour la population B. Ensuite, nous tirons des échantillons aléatoires simples stratifiés $\left\{y_{ij},j=1,\dots ,n_i;i=1,\dots ,30\right\}$ sans remise de chaque population finie, en traitant chaque domaine comme une strate, où les tailles d’échantillon de domaine sont choisies égales, soit $n_i=5$ ou $n_i=20.$ En tout, nous tirons $S=\text{10}\text{000}$ échantillons aléatoires simples stratifiés et calculons les estimations de l’EQM pour chaque échantillon. Indépendamment, nous tirons aussi $R=\text{30}\text{000}$ échantillons aléatoires stratifiés et calculons les estimations EB d’après chaque échantillon. Une approximation de l’EQM de l’estimateur EB pour chaque domaine est obtenue de manière analogue à (5.1) en utilisant les 30 000 simulations. En utilisant un grand nombre de simulations, $R=\text{30}\text{000,}$ l’EQM empirique représente une bonne approximation de l’EQM réelle de l’estimateur EB. Par ailleurs, un plus petit nombre de simulations, tel que $S=\text{10}\text{000,}$ est utilisé pour étudier la performance des quatre estimateurs de l’EQM, afin de réduire les calculs. Cette configuration de simulation en deux étapes est souvent utilisée pour le modèle au niveau de l’unité (voir, p. ex., González-Manteiga, Lombardia, Molina, Morales et Santamaria, 2008). Habituellement, le calcul de l’EQM est beaucoup plus rapide que le calcul du BR et de la REQMR de plusieurs estimateurs de l’EQM, en particulier les estimateurs bootstrap de l’EQM.

En utilisant les estimations de l’EQM simulées et l’EQM de l’estimateur EB simulé, nous calculons le biais relatif (BR), le biais relatif absolu (BRA) et la racine carrée de l’erreur quadratique moyenne relative (REQMR) des estimateurs de l’EQM de manière analogue à (5.2) et (5.3). Dans le cas de la population A et d’une taille d’échantillon de domaine de 5, l’estimateur par substitution de l’EQM sous le plan donne lieu à une sous-estimation dans tous les domaines, le BR variant de -87,0 % à -18,1 %. Cette sous-estimation est due au fait qu’il n’est pas tenu compte de la variabilité des estimations des paramètres. Par ailleurs, l’estimateur de l’EQM sous le modèle surestime généralement l’EQM sous le plan, le BR variant de -66,4 % à 150,1 %. D’où, l’estimateur composite de l’EQM réduit la sous-estimation causée par l’estimateur par substitution de l’EQM sous le plan, le BR variant de -55,0 % à 115,4 %. L’estimateur de l’EQM conditionnel surestime systématiquement l’EQM sous le plan, le BR variant de 31,7 % à 316,1 %. La performance des estimateurs de l’EQM en ce qui concerne le BR s’améliore à mesure que le ratio $\delta$ s’élève vers 0,43 ou que la taille de l’échantillon de domaine augmente pour atteindre 20.

Le tableau 5.2 donne les valeurs médiane et moyenne du BRA pour les deux populations et les deux tailles d’échantillon. Nous constatons que l’estimateur composite de l’EQM donne de meilleurs résultats que les autres estimateurs pour la population A et une taille de domaine de 5, les BRA médian et moyen valant 53 %. Par contre, l’estimateur conditionnel de l’EQM présente de grandes valeurs du BRA médian, soit 208 %, et du BRA moyen, soit 191 %. Les valeurs médiane et moyenne du BRA pour tous les estimateurs de l’EQM diminuent à mesure que le ratio $\delta$ augmente pour atteindre 0,43 ou que la taille d’échantillon diminue pour atteindre 20.

Le tableau 5.3 donne les valeurs médiane et moyenne en % de la REQMR sous le plan de sondage pour les deux populations et les deux tailles d’échantillon. Il montre que l’estimateur de l’EQM sous le modèle et l’estimateur de l’EQM composite donnent de meilleurs résultats que les autres estimateurs de l’EQM, surtout pour la population A et la taille de domaine de 5. Dans ce dernier cas, l’estimateur par substitution de l’EQM sous le plan et l’estimateur conditionnel de l’EQM présentent de grandes valeurs médianes et moyennes de la REQMR, soit environ 400 % contre 110 % pour l’estimateur de l’EQM sous le modèle et l’estimateur de l’EQM composite. La performance de tous les estimateurs de l’EQM s’améliore en ce qui concerne la REQMR à mesure que le ratio $\delta$ augmente ou que la taille d’échantillon de domaine augmente. Dans le cas de la population B et de la taille de domaine de 20, l’estimateur de l’EQM sous le modèle présente les plus petites valeurs médiane et moyenne de la REQMR, soit environ 10 % contre 30 % pour les autres estimateurs de l’EQM.

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