Mesure de l’incertitude associée aux estimateurs pour petits domaines basés sur un modèle
Section 3. Estimateurs de l’EQM basée sur le modèle

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À la présente section, nous nous concentrons sur l’EQM basée sur le modèle des estimateurs EB sous les modèles de base au niveau du domaine et au niveau de l’unité. Il n’existe aucune expression analytique de l’EQM, sauf dans quelques cas particuliers. Ce problème a fait couler beaucoup d’encre dans la littérature traitant de l’estimation sur petits domaines (EPD), et a mené à des approximations d’ordre deux de l’EQM qui, à leur tour, sont utilisées pour obtenir des estimateurs sans biais d’ordre deux de l’EQM sous les modèles hypothétiques.

3.1  Modèle de base au niveau du domaine

Nous nous concentrons sur les estimateurs du REML des paramètres du modèle, notés $\widehat{\beta }$ et ${\widehat{\sigma }}_v^2.$ Un estimateur d’ordre deux sans biais inconditionnel de l’EQM sous le modèle de l’estimateur EB est donné par

$$\text{eqm}\left({\widehat{\theta }}_i^{\text{EB}}\right)=g_{1i}\left({\widehat{\sigma }}_v^2\right)+g_{2i}\left({\widehat{\sigma }}_v^2\right)+2g_{3i}\left({\widehat{\sigma }}_v^2\right).(3.1)$$

Ici, le terme principal dans (3.1) est donné par (2.3) avec ${\sigma }_v^2$ remplacé par ${\widehat{\sigma }}_v^2,$ et les deux autres termes dans (3.1) sont d’ordre inférieur et rendent compte de l’estimation de $\beta$ et ${\sigma }_v^2,$ respectivement (voir Rao et Molina, 2015, chapitre 6 pour des précisions). L’estimateur de l’EQM (3.1) est positif et sans biais à l’ordre deux en ce sens que son biais est d’ordre inférieur à $1/m$ pour $m$ grand. Des méthodes bootstrap paramétriques ont également été utilisées pour obtenir un estimateur de l’EQM. Cependant, l’estimateur résultant n’est pas sans biais à l’ordre deux et un ajustement supplémentaire du biais est effectué pour s’assurer de l’absence de biais à l’ordre deux. Ces ajustements nécessitent habituellement des méthodes bootstrap doubles et certains des estimateurs bootstrap ajustés de l’EQM peuvent prendre des valeurs négatives; voir Rao et Molina (2015), chapitre 6.

3.2  Modèle de base au niveau de l’unité

Nous nous concentrons de nouveau sur l’estimation du REML des paramètres du modèle dans le modèle au niveau de l’unité (2.5). Un estimateur inconditionnel sans biais à l’ordre deux positif de l’EQM de l’estimateur EB ${\widehat{\mu }}_i^{\text{EB}}$ est donné par

$$\text{eqm}\left({\widehat{\mu }}_i^{\text{EB}}\right)=g_{1i}\left({\widehat{\sigma }}_v^2,{\widehat{\sigma }}_e^2\right)+g_{2i}\left({\widehat{\sigma }}_v^2,{\widehat{\sigma }}_e^2\right)+2g_{3i}\left({\widehat{\sigma }}_v^2,{\widehat{\sigma }}_e^2\right),(3.2)$$

où le premier terme est le terme principal donné à la section 2.2, le deuxième terme est dû à l’estimation de $\beta$ et le dernier terme est dû à l’estimation de ${\sigma }_v^2$ et ${\sigma }_e^2.$ L’estimateur EB ${\widehat{\mu }}_i^{\text{EB}}$ et l’estimateur de l’EQM inconditionnelle associée (3.2) sont valides quand la fraction d’échantillonnage $f_i$ est négligeable. Le lecteur est invité à consulter (Rao et Molina, 2015, section 7.2.3) pour l’estimation de l’EQM dans le cas de fractions d’échantillonnage non négligeables.

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