Mesure de l’incertitude associée aux estimateurs pour petits domaines basés sur un modèle
Section 2. Estimateurs EB

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À la présente section, nous présentons les estimateurs EB pour les moyennes ou totaux de petit domaine, notés ${\theta }_i,$ pour $m$ domaines dont les échantillons sont de petite taille. Pour les modèles au niveau du domaine, nous supposons que les estimateurs directs ${\widehat{\theta }}_i$ et les covariables au niveau du domaine associées $z_i$ sont disponibles pour les $m$ domaines, où $z_i$ est un vecteur de dimension $p\times 1.$ Dans le cas des modèles au niveau de l’unité, nous supposons que les données au niveau de l’unité $\left\{\left(y_{ij},x_{ij}\right),j=1,\dots ,n_i;i=1,\dots ,m\right\}$ sont disponibles pour les domaines échantillonnés, où $n_i$ est la taille d’échantillon dans le domaine $i$ et $x_{ij}$ est un vecteur de dimension $p\times 1$ de covariables qui peuvent inclure des covariables au niveau du domaine. Nous supposons que les moyennes de population de domaine ${\overline{X}}_i$ sont connues.

2.1  Modèle de base au niveau du domaine

Nous supposons que l’estimateur direct ${\widehat{\theta }}_i$ est sans biais sous le plan (soit exactement ou approximativement pour une grande taille d’échantillon global $n).$ Par exemple, les estimateurs calés sur des moyennes globales connues de variables auxiliaires sont approximativement sans biais. Nous exprimons cette hypothèse sous forme d’un modèle d’échantillonnage ${\widehat{\theta }}_i={\theta }_i+e_i,$ où l’erreur d’échantillonnage $e_i$ est de moyenne nulle et de variance ${\psi }_i.$ Nous supposons en outre que la variance d’échantillonnage ${\psi }_i$ est connue et non aléatoire. En pratique, les estimateurs des variances d’échantillonnage sont lissés et l’estimateur lissé résultant est considéré comme une approximation de ${\psi }_i.$ Beaumont et Bocci (2016) proposent une méthode de lissage des variances d’échantillonnage dans le contexte de l’EPA du Canada. Le modèle reliant les domaines repose sur l’hypothèse que les ${\theta }_i$ sont aléatoires et obéissent au modèle de liaison « correspondant » ${\theta }_i=z_i^{\prime }\beta +v_i,$ où l’effet aléatoire de domaine $v_i$ est de moyenne nulle et de variance ${\sigma }_v^2$ et est indépendant de l’erreur d’échantillonnage $e_i.$ Nous supposons en outre que $v_i$ et $e_i$ suivent des lois normales.

La combinaison du modèle d’échantillonnage avec le modèle de liaison aboutit au modèle de base au niveau du domaine

$${\widehat{\theta }}_i=z_i^{\prime }\beta +v_i+e_i,v_i\stackrel{\text{iid}}{{\displaystyle \sim }}N\left(0,{\sigma }_v^2\right),e_i\stackrel{\text{id}}{{\displaystyle \sim }}N\left(0,{\psi }_i\right),i=1,\dots ,m.(2.1)$$

Les principaux avantages du modèle (2.1) par rapport aux estimateurs directs découlent du fait qu’il tient compte du plan d’échantillonnage grâce au modèle d’échantillonnage et qu’il ne requiert que des covariables au niveau du domaine, qui s’obtiennent plus facilement que des covariables au niveau de l’unité.

Pour des paramètres du modèle connus $\left(\beta ,{\sigma }_v^2\right),$ le « meilleur » (noté B pour Best) estimateur de ${\theta }_i$ est donné par

$${\tilde{\theta }}_i^B=\tilde{E}\left({\theta }_i|{\widehat{\theta }}_i,\beta ,{\sigma }_v^2\right)={\gamma }_i{\widehat{\theta }}_i+\left(1-{\gamma }_i\right)z_i^{\prime }\beta ,(2.2)$$

où ${\gamma }_i={\sigma }_v^2/\left({\sigma }_v^2+{\psi }_i\right).$ Le meilleur estimateur (2.2) est sans biais pour ${\theta }_i$ en ce sens que $E\left({\tilde{\theta }}_i^B-{\theta }_i\right)=0,$ où l’espérance est prise par rapport au modèle présumé (2.1), qui est l’espérance conjointe par rapport au modèle et au plan (Rubin-Bleuer et Schiopu-Kratina, 2005). Il découle de (2.2) que plus de poids est attribué à l’estimateur direct ${\widehat{\theta }}_i$ si la variance sous le modèle ${\sigma }_v^2$ est grande comparativement à la variance d’échantillonnage ${\psi }_i,$ et que plus de poids est accordé à l’estimateur synthétique $z_i^{\prime }\beta$ si la variance d’échantillonnage est grande.

L’erreur quadratique moyenne (EQM) du meilleur estimateur sous le modèle (2.1) est donnée par

$$\text{EQM}\left({\tilde{\theta }}_i^B\right)=E{\left({\tilde{\theta }}_i^B-{\theta }_i\right)}^2={\gamma }_i{\psi }_i,(2.3)$$

où le terme ${\gamma }_i{\psi }_i$ est souvent noté $g_{1i}\left({\sigma }_v^2\right).$ Il découle de (2.3) que l’estimateur optimal donne lieu à une réduction importante de l’EQM par rapport à l’estimateur direct si ${\gamma }_i$ est petit ou que la variance sous le modèle est relativement faible comparativement à la variance totale ${\sigma }_v^2+{\psi }_i.$ Ce résultat fournit une justification convaincante de l’utilisation de l’approche basée sur un modèle pour produire des estimations sur petits domaines.

En pratique, les paramètres du modèle sont inconnus et nous remplaçons les paramètres figurant dans (2.2) par les estimateurs du maximum de vraisemblance restreint (REML) $\left(\widehat{\beta },{\widehat{\sigma }}_v^2\right)$ pour obtenir le meilleur estimateur empirique (estimateur EB):

$${\widehat{\theta }}_i^{\text{EB}}={\widehat{\gamma }}_i{\widehat{\theta }}_i+\left(1-{\widehat{\gamma }}_i\right)z_i^{\prime }\widehat{\beta }.(2.4)$$

Rao et Molina (2015), chapitre 6, décrivent en détail l’estimation du REML des paramètres du modèle.

2.2  Modèle de base au niveau de l’unité

Considérons maintenant un modèle de base au niveau de l’unité qui utilise des données d’échantillon au niveau de l’unité $\left\{\left(y_{ij},x_{ij}\right),j=1,\dots ,n_i;i=1,\dots ,m\right\},$ où $n_i$ est la taille de l’échantillon dans le domaine $i.$ Nous supposons que les moyennes de population de domaine ${\overline{X}}_i$ sont connues. Nous émettons en outre l’hypothèse d’un modèle de régression linéaire à erreurs emboîtées de base au niveau de l’unité pour la population et supposons que le même modèle tient pour l’échantillon (Battese, Harter et Fuller, 1988). Le modèle d’échantillonnage est donné par

$$y_{ij}=x_{ij}^{\prime }\beta +v_i+e_{ij},j=1,\dots ,n_i;i=1,\dots ,m,(2.5)$$

où les effets aléatoires de domaine $v_i\stackrel{\text{iid}}{{\displaystyle \sim }}N\left(0,{\sigma }_v^2\right)$ sont présumés être indépendants des erreurs au niveau de l’unité $e_{ij}\stackrel{\text{iid}}{{\displaystyle \sim }}N\left(0,{\sigma }_e^2\right).$ Les modèles au niveau de l’unité peuvent mener à d’importants gains d’efficacité par rapport aux modèles au niveau du domaine, parce que les paramètres du modèle peuvent être estimés avec plus de précision en utilisant toutes les observations dans l’échantillon global, contrairement aux modèles au niveau du domaine.

Pour les paramètres connus $\left(\beta ,{\sigma }_v^2,{\sigma }_e^2\right),$ le « meilleur » estimateur de la moyenne de domaine ${\overline{Y}}_i$ est donné par

$${\widehat{\overline{Y}}}_i^B=E\left[{\overline{Y}}_i|\left(y_{ij},j=1,\dots ,n_i;x_{ij},j=1,\dots ,N_i\right),\beta ,{\sigma }_v^2,{\sigma }_e^2\right]={\overline{X}}_i^{\prime }\beta +a_i\left({\overline{y}}_i-{\overline{x}}_i^{\prime }\beta \right),(2.6)$$

où ${\overline{y}}_i$ et ${\overline{x}}_i$ sont les moyennes d’échantillon, $a_i=\left(1-f_i\right){\gamma }_i+f_i$ avec la fraction d’échantillonnage $f_i=n_i/N_i$ et ${\gamma }_i={\sigma }_v^2/\left({\sigma }_v^2+{\sigma }_e^2/n_i\right),$ et $N_i$ est le nombre d’unités de la population dans le domaine  $i$ (Rao et Molina, 2015, chapitre 7). Si la taille de la population du domaine $N_i$ est grande et que $f_i\approx 0,$ alors (2.6) se réduit à une combinaison pondérée de l’estimateur « par la régression sur l’échantillon » ${\overline{y}}_i+{\left({\overline{X}}_i-{\overline{x}}_i\right)}^{\prime }\beta$ et de l’estimateur par la régression synthétique ${\overline{X}}_i^{\prime }\beta$ avec les poids ${\gamma }_i$ et $1-{\gamma }_i,$ respectivement. Nous désignons cette approximation de ${\widehat{\overline{Y}}}_i^B$ par ${\widehat{\mu }}_i^B.$ À mesure qu’augmente la taille d’échantillon de domaine $n_i,$ l’estimateur optimal donne plus de poids à l’estimateur par la régression sur l’échantillon. En pratique, nous remplaçons les paramètres du modèle par les estimateurs du REML $\left(\widehat{\beta },{\widehat{\sigma }}_v^2,{\widehat{\sigma }}_e^2\right)$ pour obtenir l’estimateur EB ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{EB}}$ ou ${\widehat{\mu }}_i^{\text{EB}}.$

L’estimateur EB sous le modèle au niveau de l’unité (2.5) ne tient pas compte des poids de sondage $w_{ij},$ contrairement au modèle au niveau du domaine. Par conséquent, l’estimateur EB n’est pas convergent sous le plan quand la taille d’échantillon de domaine augmente, à moins que les poids ne soient tous égaux à l’intérieur du domaine.

L’EQM de ${\widehat{\mu }}_i^B$ est égale à $g_{1i}\left({\sigma }_v^2,{\sigma }_e^2\right)={\gamma }_i\left({\sigma }_e^2/n_i\right),$ tandis que l’EQM de l’estimateur par la régression sur l’échantillon est égal à ${\sigma }_e^2/n_i.$ Il s’ensuit maintenant que l’estimateur optimal donne lieu à une réduction importante de l’EQM par rapport à l’estimation par la régression sur l’échantillon si ${\gamma }_i$ est petit ou que la variance du modèle ${\sigma }_v^2$ est petite comparativement à la variance totale ${\sigma }_v^2+{\sigma }_e^2/n_i.$

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